函数的单调性.docx

函数的单调性课题：§1.3.1教学目的：(1)通过已学过的函数特殊是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；(2)学会运用函数图象理解和探究函数的性质；(3)能够娴熟应用定义判定数在某区间上的的单调性.教学重点：函数的单调性及其几何意义.教学难点：利用函数的单调性定义判定、证明函数的单调性.教学过程：一、引入课题通过最近比拟热门话题的股票作为引题,用上证指数随时间的跌”、"涨以及人们往往都会在涨到最高点卖出在最低点买进，形象刻画本课的要讲授的概念：函数的单调性以及最大最小值。师：函数的性质的应用就在我们的生活中，我们的周边，如一天气温随时间的变更等。那我们今日就先来学习函数的单调性。1.画出以下函数的图象，视察其变更规律：1.)f(x)=x1.从左至右图象上升还是下降?2在区间上，随着X的增大，f(x)的值随着.2)f(x)=-2x+1.1.从左至右图象上升还是下降?2在区间上，随着X的增大，f(x)的值随着3)f(x)=x21在区间上,f(x)的值随着X的增大而.2在区间上，f(x)的值随着X的增大而问题设计的目的大体从三个层次上绽开。首先画出图像并视察图像，描述变更规律，如上升、下降，从几何直观角度加以相识；然后，结合图、表，用自然语言描述，即y随X的增大而增大(或减小)；最终，用数学符号语言描述变更规律，逐步实现用精确的数学语言刻画函数的变更规律。问题链的设计由具体到抽象，由特殊到一般，由远及近，一步一步地促使学生形成概念。问题1：列表描点，画函数f(x)=x2的图像。X-4-3-21Of(x)=x2169916意图：列表描点（自变量取值总是从小到大的选取，这与考察函数单调性时自变量总是从小到大取值是相同的，这也是学生早就熟悉的。这样可以不必探讨,函数在某区间上递增是指从左到右的问题），通过计算函数值可以体验当自变量从小到大取值时，对应的函数值的大小变更规律。说明：老师可以遵照p37来exce1.画图。问题2：利用画出的图像，请描述函数值增减变更特征。从函数图像及上述表格可以看出（这并不困难）：图象在y轴左侧“下降，也就是，在区间上，随着X的增大，相应的f（x）反而减小;图象在y轴右侧上升，也就是，在区间上，随着X的增大，相应的f（x）也随着增大。意图：几何直观，引导学生关注图形所反映出的特征。借助图像，体验自变量从小到大变更时，函数值大小变更在图形上的表现。问题3：当X从小到大变更时，y的值如何变更？意图：是对前一个问题（直观）的再一次概括，一次自然语言描述。而且，既不能说随着X的增大y增大，也不能说随着X的增大y减小。学生必需分段答复这个问题，体验函数的这一特征是函数的局部特征。问题4:比拟以下各数的大小。22,32,42,（4.5）2,（5.1）2,（6.3）2。就X在（0,+«）从小到大取值时，具体探讨函数值的大小变更。这不难得到22<32<42<（4.5）2<（5.1）2<（6.3）2。明显有：当OVXIVX2Vx3Vx4Vx5Vx6时，有OVX<x<x<x<x<x时，即OVy1.Vy2Vy3Vy4Vy5Vy6.意图：由具体的数字特征逐步向抽象的符号描述过渡。问题5:对于函数一个函数f（x）,假如一1V2时，有f（-1）<f（2）,能否说函数f（x）在区间（一1,2）上递增呢？问题6:函数f（x）,对于（0,8）上的多数个自变量的值x1.,x2,x3,当OVX1.VX2Vx3V.时，有OVyIVy2Vy3V.,能否说函数f（x）在（0,8）上递增呢？请画图说明。意图：这两个问题的目的是，逐步由静态”、"有限响"动态、"无限”过渡。答复这些问题须要必需的抽象思维。问题6引导学生用反例说明问题，以便抓住问题的正面特征。问题7:在函数y=x2的图像位于y轴右边的局部随意（随意）取两点，横坐标分别是x1.,x2,即当OVX1.<x2时，是否总有y1.<y2呢？意图：抽象前的铺垫，以“随意替代随意简洁被承受。问题8:在函数y=x2的图像位于y轴左边的局部随意取两点，横坐标分别是x1.,x2,即当XIVX2V0时，是否总有y1.Vy2呢？意图：把随意换成随意并不突然。随意X1.Vx2V0时，有y1.>y20而OVX1.VX2不变。这样，根本完成难点的突破。问题9:在函数y=x2的图像上随意取两点，横坐标分别是x1.,x2,当x1.Vx2时，是否总有y1.Vy2呢？意图：函数递增、递减描述须要分段表述。问题10：你能否举出一个具体的函数的例子,使得它在区间（-8,ooJ上，对随意x1.Vx2,总有yi<y2o意图：学生为找寻例子，会首先从形象直观的角度找寻思索，如f（x）=Xo加强几何直观与抽象表述之间的联系。问题11：你能否举出一个具体函数的例子，使得它在区间（O,oo）上，对随意XIVX2,总有y1.>y20意图：使得学生把当前学习的内容与以前学习过的内容联系起来，先有函数性质特征再找寻具体函数的例子。从具体到抽象，从抽象到具体，体验函数的这一特征。二、提出函数单调性定义1.增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为i,假如对于定义域i内的某个区间d内的随意两个自变量x1.,x2,当x1.1.t;x2时，都有f(x1.)M(x2),那么就说f(x)在区间d上是增函数(increasingfunction).思索:仿照增函数的定义说出减函数的定义学生活动)意图：造就学生数学表达实力。问题12：函数f(x)在区间(0,8)上，总有f(x)>f(O),能否说f(x)在(0,8)上单调增？请举例说明。意图：概念辨析。学生简洁画出图形来加以说明。从反面进一步体验到，函数单调性中“随意1.<2,都有f(x1.)>f(x2中随意二字的意义,体验到为什么要在区间上随意取大小不同的两个值。说明：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2必需是对于区间d内的随意两个自变量x1.,x2；当x1.1.t;x2时，总有f(x1.)1.t;f(x2)2函数的单调性定义假如函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间d叫做y=f(x)的单调区间：3.已学函数的单调性：三、单调性的应用：例1.(教材p29例1)依据函数图象说明函数的单调性.解：(略)稳固练习：课本p38练习第1、3题例2.物理学中的波利尔定律P=（k是正常数）告知我们，对于必需量的气体，当体积V减小，压强P将增大.试用函数的单调性证明之.分析怎样来证明体积V减小，压强P将增大呢，依据函数单调性的定义，只要证明函数P=（k是正常数）是减函数.怎样证明函数P=（k是正常数）是减函数呢，只要在区间（0,+-）（因为体积v>0）随意取两个大小不相等的值，证明较小的值对应的函数值较大,即设V1.VV2,去证明p1.>p2.也就是只要证明p1.p2>0.证明设VIVV2,v1.,v2（0,+o0）,p1.-p2=一=.因为k是正常数，v1.<v2,所以>0,p1.>p2.所以，体积V减小，压强P将增大.说明：老师把重心放在思路的分析上，而让学生进展具体的证明.稳固练习:1课本P32练习第4题；总结：利用定义证明函数f（x）在给定的区间d上的单调性的一般步骤：1任取x1.,x2d,且x1.1.t;x2；2作差f（x1.）-f（x2）;3变形（通常是因式分解和配方）；4定号（即判定差f（x1.）-f（x2）的正负）；5下结论（即指出函数f（x）在给定的区间d上的单调性）.探究：画出反比例函数的图象.1这个函数的定义域是什么？2它在定义域i上的单调性怎样？证明你的结论.（选讲）例3.借助计算机作出函数y=-2+2Ix+3的图象并指出它的的单调区间.解：(略)意图：新课程思想强调应用计算机软件等信息整合手段，本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象.四、归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先依据图象判定，再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要留意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值T作差今变形今定号今下结论五、作业布置1.书面作业：课本p39习题1.3S组)第5题2提高作业：设f(x)是定义在r上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y),1求f(0)、f(1.)的值；2假设f(3)=1.,求不等式f(x)+f(x-2)1.的解集.