示范教案(指数函数及其性质-第二课时).docx

第2僵时指数函数及其性质(2)导入新课思路1.菱习导入：我们前琳课学习了指数函数的概念和性质.下面我们一起回忆一下指数函数的概念、图象和性质.如何利用指数函数的图象和性质来解决一些何超、这就是本堂课要讲的主要内容.教师板书课阳思路2.我In在学习指数函数的性旗时.利用了指数函数的图象的特点,并且是用类比和归纳的方法得出.在理论上.我们能否严格的证明特别是指数函数的单调件.以便于我们在解题时应用这些性质.本堂课我们要好决这个问遨.教师板书深巴:指数函数及我性质(2).应用例如思路1例1指数函数f(x)=a'aAO且听1)的图象过点(3了).求醺)用词-3)的值.活动：学生审题,把握题意,教师适时提问,点拨,求值的关彼是确定a.般用待定系数法,构建个方程来处理,函数图象过点,说明点在图象上.意味希点的坐标涵足曲戏的方程,转化为将戊的坐标代入指数函数f<x)=a*(a>0F1.aW1.)求a的值.进而求出f(O),U).的3)的值即学生上黑板板氏及时评价.解，因为图象过点(3,n),J1.所以1.-(3>=a'=11,UPa=11'.RxH*'>'.再把0.1.3分别代入,得f<0)=11o=1.f(1.)=111=11,f(-3>=x1.=-.11点诲，根据待定系数的多少来确定构建方程的个数是解遨的关犍.这是方程思想的运用.例2用函数单诩性的定义证明指数函数的单门性.活动：教师点拨提示定义法判断函数总调性的步骤,总调性的定义证明函数的单调性,要按规定的格式书证法一：设XieWR.且XIVX2.那么yj-y=a,2-a'=ax(arx-1).因为a>1.,×2-x>0,所以a*jX>1.,即a'-x-1>0.又因为%>0.所以y2-y>0.即y<y2.所以当a>1.时.y=a"xR是剧函数.同理可证.当OVaV1.时.y=a'是减函数.证法二：设XgWRJ1.X«X2挪么次与力都大于0.那么三=与=a"f.居a'因为a>1.,X3->0,所以ixt-x>1.!jA1.>,y1.<y2.J1.所以当a>1.时.y=ai6R是增函数.问理可证,当0<a<1.时=a*是减函数.交式以悠黄设指数函数y=(2a-1.)*是取函数.那么a的范困是多少？答案：-<a<1.2例3限止.到1999年底.我国人口的13亿,如果今后能招人口年平均增长率控制在1%那么经过20年后,我国人I数最多为多少(新确到亿)？活动：师生共同讨论将实际向遨技化为数学表达式,建上目标函数,常采用特殊到像的方式能师引导学生注意即目中自变量的取值范用.可以先考虑一年一年埴长的情况,再从中发现规律.最后解决问题：1999年底人口约为13亿：羟过1年人口约为13(1+1%)亿；经过2年人口妁为13(1.+1.%)(1.+1.%)=13"+1%)2亿：经过3年人口约为13(1.+1.%)2(1.+1.%)=13(1.+1%)3亿：经过X年人I的为13(1.+1.%"亿：经过20年人口约为13(1+1%严亿.M>设今后人口年平均增长率为1%,经过X年后,我国人口数为y亿,那么y=1.3<1.+1.%)当x=20时,y=13(1.+1%产s1.6(亿).答，羟过20年后,我国人口数最多为16亿.点评：类似此题设Ki伯为N,平均增长率为P,那么对于姓过时间X后总吊y=N(1.+pfy=N(1.+p-等形如y=ka'(kR,a>O11a1.)的南数称为指数鞭函数.思路2例1求以下解数的定义域、(ft域：x,:(2)尸3的;(3)尸2'+1：(4)产不£.晶由x1.0得X#1,所以所求函数定义域为xxW1.,由对。得y#1.即函数做域为yy>O且y1.(2)由5x-1.0得XN1.所以所求函数定义域为xx.由、后二T0得注I.55所以函数值域为yR1.(3)所求函数定义域为R,由2，>0可得22>1.所以函数值域为<yy>1(4)由得：函数的定义域是RH(2x+1.)y=2'2即(y-1.)2=-y-2.一、，一2一y2因为y1.,所以2'=.又X&R、所以2*MJ.>0.解之,得2<y<1.>'-1>,-因此函数的值域为RIvyv1.点呼：通过此例SS的训练,学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域,还应注意书写步骤与格式的标准性，交式调练1-1.求函数y=(g)Xc的定义域和值域.解，要使函数行意义.必须x+30.即xW-3,即函数的定义域是HxW-31.I1I因为味却'所以=1.又因为y>0.所以值域为(0.1)U(1.y).例2(I)求南数y=(；)E”的单调区间并证明(2)设a是实数.f()=a-二一(X亡R).试证明对于任意a,f(x)为增函数.2'+1活动t(1)这个函数的单调区间由两个函数决定,指数函数y=(gp与y=K-2x的红合函数，(2)函数单两性的定义证明函数的单调性,要按规定的格式书写.H-:设XVX2那么之=(1.)-21-2(1严TWT)J1.(I)*2,-2¾22因为X<X2,所以X2-X>0.当X2三:H1.J时的+'W).这时(xKx+xr2)<O.即县>1,所以y>y,函数单调递增：X当小凶e1.1.÷X>)时K+X2>O.这时(x*X)(Xy*N2aO.即&<1.所以y2<yh函数单调递减;所以函数y在(J上单调递增.在口,+8)上单调递送.解法二，(用更令函数的单.两性)：设u=J2x.那么尸(；.对任意的1.<x1<x2.UHu"又因为y=(y,是减函数，所以yvy>所以月；/-”在1.,+8)是减函数.对ff：意的XVX2I,有U1>U2,又因为y=(；产是减函数，所以yvy>所以月；/"'在上是增函数.引申：求函数y=<g-”的值域(Q<y2).AWi(I)求复合函数的单调区间时,利用口诀“同增并减二(2)此题虽形式较为复杂,但应严格按照单调性的定义进行证明,还应要求学生注意不同遨型的斛答方法.证明：设XI.X2三R.II.XVX2.那么22f(x)f(X2)=(«-_-)-(a-2i+12½+222(2,-2%)2+1-2k-(2)+1.)(2*2+D由于指数函数y=2'在R上是增函数.且Xe?.所以2'v2即2'-2'M).又由2'X)得2'+I>O,2'2+X),所以f(X)RX2)V,即f(X)<f(X2).因为此结论与a取值无关,所以时Fa取仆意实效.f(x)为增函数.点讦：上述证明过程中,在对羌式正负判断时,利用/指数函数的位域及单调性.知能调练1 .函数y=a(a>1.)的图象是(图2-1-2-8分析：当x0时,y=aM=a'的图歙过(0.1)点,在笫象限图象下凸,是增函数.答第B2 .以下函数中.值域为(0,+8)的函数是(A.y=(；产B.y=J1.-4*Cy=Jo.5'-ID.y=2,+1分析3因为(2f)WR,所以y=(一)2'(VHC):产J1.4*0jjy=0.51-1.-Hoky-2r+132,+8).答案：A3 .函数f限)的定义域是(0.1).那么f(2、)的定义越是()A.(0.1)B.(-.1)C.(-.0)D.(0,+)2分析：由密电:得0V2'V1.,即0V2'V”所以V0.即x(-«.0).答案tC4 .假设集合A=Wy=ZFGR1.B=Ny=XhGiq.那么()SbBC.-BD.B-0分梳A=IyIy>O.B=yyO,所以A嚷B.答第A5 .对于函数f(X淀义域中的任意的X1.X2gfx”.有如下的结论：f(xI+xj)=f(xI)嗔3;RxrxjMx)+f(xj);皿巫2刈/(土冯,x1-x22X1-x2当f(x尸10'时,上述结论中正确的选项是.分析:因为f(>(>MxWx2.所以f(+2)=101.+*,=10"10"=f()f(2)所以正确：因为f(xM=(T'J0"+0"=nxi)+f(X2),不正确：因为f(x>=10'是埴谪数,所以f(x>-ftx2)XrX?同号,所以JS匕乂82X),所以正确.X1.X2因为函数f(x)=1.b图象如图2-1-2-9所示是上凹下凸的,可解行正确.图21.-29答第另解，VIO'1>O,IOSX).xX2,.!也;吧>10,'10'3：.吗;丝>J1.OK,即I。->W号."+口>山).21-x22拓展提升在同,坐标系中作出以下函数的图象,讨论它们之间的岷系.(I)y=3x.y=3'T.y=3'人<2)y=(J汽y=(；广)y=(,.活动：学生动手画函数图象,教师戊拨,学生没有思路教师可以提示.学生回忆函数作图的方法与步骤,按规定作出图象.特别是关键点.答案1如图2-1210及图2-1211.图2-1-2-10图2-1-2-11观察图2-1-2-10可以看出.y=3'.y=3e.y=3'T的图歙间干j如下关系：y=3"的图象由y=3'的图象左移I个单位得到：y=3'的图象由y=3'的图象右移1个单位得到;y=3v,的图思由y=3'T的图象向右移动2个单位得到.观察图2I21.I可以看出,y=(1)',y=<；厂1尸(；广的图象间有如下关系：y=<J产'的图象由y=T)'的图象左称1个单位得到：y=(；)'"的图象由月：广的图以右移I个单位得到；>-=<y尸的图象由ywI,的图象向方移动2个单位得到.你能推广到一般的情形吗?同学们留作思考.课青小结思考我们本堂课主要学习了哪些知识,你有什么收获?把你的收块写在笔记本上.活动：教师用多媒体显示以下内容,学生互相交流学习心得.后是否与多媒体显示的内容致.本节课,在发习IH知识的根底上学习了数形结合的思想、函数与方程的思想,加深了对问题的分析能力,形成了一定的能力与方法.作业课本Pw习题2/B殂I、3、4.ttii-本堂谀主要是夏习稳同指数函数及其性质.涉及的内容较多.要首先组织学生回忆指数函数的性质.为此.必须利用附数图©,数形结合,通过数与形的相互转化,借助形的宜观性解决问时,本节课要训练学生能够恰当地构造函数,根据函数的单调性比拟大小,有时要分a>1.(ka<1,这是分类讨论的思想,因此和大了习时和练习的量.目的是让学生在较短的时间内,掌握学习的方法,提高分析何趣和解决问题的能力.要加快速度.多运用现代化的教学手段.(设计者：王建波)