积分第二中值定理的证明.docx

上一箱文章讲了枳分第一中值定理的证明，井给出了积分第一中隹定理更一般的形式，这篇主要讲积分第二中值定理的证明.枳分第二中值定理，/(x)在区间口向上可积，O(X)在区帆a,w上单调,那么在a,6上存在内点I,使得:特别的,当奴特在区间a,3两峭连续时,有枳分第二中值定埋是一个更为精确的分析，具，在证明这个定理之前,先介绍Abd引埋.Abd919数列引J和业，对于任造的”2>勺>0，有实际上：下面给出Abc1.引理的一个理解方式，便于记忆.众所周知，枳分与求和，微分与差分有许多相似之处，一个是时连续函数而言，一个是对离散的数列而言，只要把函数与数列的一些定理放在一起比拟,就会发现异曲同工之处.那么就来回忆一下分部枳分的方法：.do(.r)对应区间上的连续函数/(X)与(x).有再看上面的Abd引理.a“对应/(X),以对应制X).符号Z对应rr=n1.优一2小，(*)对应最后你会发现上面的Abd引理就对应/分部积分的这种形式我们在计算枳分的时候，适时使用分部积分会给计炜带来很多好处，同样对于数列的处理,利用Abe1.引理进行变换也能带来很多好处,下面就进入正题.证明积分第二中值定理.用了表示区间加上的一个划分天,西,占工表示划分的最大长度,接下来设*")非负H.单调不脸将得到：/(x)drJ：/(X)G(X)dr,其中XJITx*用表示|.f(x)在区间,回的上确界，令/=Jfxxdx-)fxy)dx,那么：三1.因为Ir0.那么-0.即£奴服)J'f(x)<bc/()0(x)aj下面将用Abd引理变换上面的式子，令4=J'/(x)dt,(&=0,1,2,.,)，那么，分别用M和”1来表示/(M”的在区间db的上卜确界，品然有"KAii,W.令Ja/1-1s=z4*()-e(+)+40（八）,由于Oa)单隔不增且非负,那么有：X-Im(i)SM(1.),当JtOH寸，有奴刍)8(a+0),S->ff(x)(x)dx.不等式可写为：Jant(a+)jf(x)(x)(1.xM(a+O).根据/()疝的连续性，区间存在内点J.使得J：/(XmX)&r=u+O)Jf(x)dx。如果*(x)泮负H.单调不Wb令x=b-y,那么，其中“<g=)-7<b,因此/(x)*(x)dx=(b-O),f(x)dx.媒合可得，当()在区间0,W上单调,枳分第二中值定理可表述为：jx)(x)dx=(a+0)Jf(x)dx+(h-0)'/(.v)<Zv特别地，假设9(x)在区阀6上单调且连续,那么这种情况可以用分部枳分给出推导过程.尽管不是严格的证明.但是从这个过程中应该能加深对枳分第二中值定埋的埋解.令F(x)=/f(“)疝,可知尸(")=0那么.在区在,回上,当一(X)单倜不减时,x)O,mx)F(x)xMx).例r)单调不增的情况同理可得。