第4课时三角函数的图象与性质.docx

第4爆时三角函数的图叙与性质I.正弦函数,余弦函数、正切函数的图象和性质函数y=sinXy=cosxy=tanx图象y1.y11X¥&.0wy*Tf/。等，-I-IIIIII定义域RR+Ajt.21值域1.IJ1.IT,“R单调性21c21差增区间：2A11+f(*Z);的减区间：211÷>E+芋卜WZ)递增区间：2履it.211(Z);递减区间：2bt.2j+11(FZ)递增区间:k11版+哥(Z)最值.v=2jt11÷5(JtWZ)时,>w=hx=2k11-2伏Z)时，Vmin=I*=24MtWZ)时»y11j=1：x=211+11伏WZ)时，Vmm=-I无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心:(ku,0)(依Z)对称中心：11÷2t。批£对称中心：俘O)(JtZ)Z)对称轴：x=11÷5GeZ对称轴：x=k11,AZ无对称轴周期2112s32阴断以下结论的正误(正确的打“J”，错误的打“X”)(1.)y=sin.；上是增函数.(，)(2)y=sinx在第、四象限是增函数.(X)(3)所有的周期函数都有最小正周期.(X)(4)y=IanX在整个定义域上是增函数.(X)(5)y=sinx+1.(.rR)的最大值为+1.(×)(6W=SiniH为偶函数.(J>(7)y=sin讯和y=sinx的周期都是11.(X)(8)y=tanx的对称中心为(辰，0)伏Z).(X)假设Sinx>孚，那么QaX)(10)y=sinx与y=cosx同时为增的区间是(2fac一12A11.A,Z.()考点一有关三角函数的定义域、值域问题1.利用三角函数图象解简单的三角不等式命题点2.求三角函数的俏域(I)函数=1.gsinx+2cosX的定义域是.3.求三角函数与其它或合函数的值域sin>O,112cosx>0.例1|解析：Asin.v>0且COSXW作单位圆中三角的教级(图略)，211+j2A-11+11,AZ,，函数的定义域为:由履+为V2E+n.Z',答案：卜2fat+j.v<211+11,Z函数.=2sin管一W10WW9)的最大值与最小值之和为()A.2-3B.0C.-1D.-1.-3解析：利用三角西4t的性质先求出西敷的最值.c1.WCK1.K71771.0.v9.产¥一产不.闻/_翡邛,'.y-3,2),.*.J,max÷Vmin=2/5.答案：A当X亳，差!时，函数)=3-Sin1.2c(的最小值是,最大值是解析：卷,.sinw1又y=3-sinx-2cos.v=3-sina-2(1-sin*r)=2sinx-.当SinX=I时,加n=1.当Sin.T=3或SinX=叶，y11ux=2.方法引航I1.求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.2.求解三角函数的值域(最值)常见的有以下几种类型：(I)形如y=0sinx+Z>cos+(的三角函数化为y-4sin(x+)+的形式,再求最值(值域).(2)形如y="sin2+加inx+c的三角函数.可先设SinX=八化为关于，的二次函数求值域(最值).形如y=sinXCoS.v+Z>(sin.v±cos.r)+c的三角函数，可先设I=Sin.v±cosx,化为关于r的二次函数求值域(最值).1 .假设将本例(I)变为y="T=丞oA,其定义域为.解析：12CoSQO,.'.cos,当Xe(0,2t)时，cos=cosJt=,.*.cosx,XW(：.).R时，COSXWT的解集为1.“+2履SXWK+2kt.AZ',答案：+2A11.vj11+2A-11.AZ2 .假设在本例(2)中,X的范闱变为“一1WXS9"，其它不变，如何选答案.解析：1.x9t,<g-11.Isin-y(-2.2,.vnun+ymin=0.答案：B3.假设将本例闭中的函数换为“)=5而一3+5访：05*引0,11',如何求解？解：令r=sin3-cosx,又x0,n,.7=ViSin(X一：)，(-1,2.由=sin8sx,一户一户得/2=1-2SinxeOsX,即sincosx=f-原函数变为),=+f-,(-1,2,即y:当/=I时，Vmax=1：当r=-1时，Vm1.n=5(2)2+I=-1.考点二三角函数的单调性和周期性命题1点I.求三角函数的最小正周期2 .求三角函数的单调区间3 .利用单调性、周期性求参数I例2(2016高考山东卷)函数yu)=(5Sinx+cos.v)(3cos1.Sin)的最小正周期是()A.B.113C.tD.211解析：法一：由超诙得(x)=3sin.tees-3sin2x+3cos2A-sin.rcosX=Sin2v+3cos2,v=.故该函数的最小正周期T=%E=兀应选B.法二：由凝愈得v)=2sin(.t+×2cos(x+*2sin(2r+"故该函数的最小正周期T=y=.应选B.答案：B（2）（2016湖北武汉模拟）设函数公）=人sin3x+“AX）,80,期司与直线y=3的交点的横坐标构成以n为公差的等差数列，且工=*是Kr）图象的一条对称轴，那么以下区间中不是函数Kr）的单调递增区间的是（）11一3,一411一J1.B一O1.一c(M-三3一511.6,解析：由意冉4=3,T=R,.0=2.(.t)=3sin(2A-+9),又/£)=3或/)=3,11-611-211-6义:厕号.R吟.,./）=3斌2丫+到45+2112+2A11.Z.1.O27+11x7+11,*ZJ0故当=-1.时，危）的增区间为一表.一到，当E）时，（r）的增区间为一品2，当k=1时，府）的塔区间为I久卷,应选D.答案：D（3）e>0,函数式D=Sin（QX+：）在6，Ji）上单调递减，那么的取值范围是（）“一，加211-411-4+严如答案：A方法引航形如V=in(3+0的函数的单调区间的求法1111三BB三,(1)代换法,假设A>0,>0,把®x+e看作是一个整体，由2+2H<ax+9*+21.3112履(4Z)求得函数的增区间，由2+2W3x+夕W2+2E(4Z)求得函数的减区间.,假设A>(),s<(),那么利用诱导公式先将。的符号化为正，再利用的方法，或根图复合函数的单调性规律进行求解.(2)图宅法：感出三角函数图然，利用图象求函数的单调区间,对于函数的单谡区间的某一局部确定参数”的范围的问题，首先,明确的单调区间应为函数的单调区间的子集；箕次，要确定函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解.1 .函数©=2sin(2&x加>0)的最大值与最小正周期相同，那么函数人目在1.1.II上的维调增区间为.解析：由腱知言=2,得Q=I11,.U)=2sin(u-£).令一T+211Wi1.RWZ,解得一1+2jtWxw(+2,Z,案答3-4所以函数於)在1.I,I1.上的单调递增区间为Id萼2 .假设聘本例(3)改为4X)=Sin在(去J上为增函数(卬>0),如何求”的范围?解：当今VVj时，竿VeoAyft11®>0)二等,11)22O.sj'5co*.2»考点三三角函数的奇偶性、对称性1.判断三角函数的奇偶性命题点2.求-：角函数的对称轴、对称中心3 .利用奇偶性、对称性求参数I例3(1)以下函数一，最小正用期为人且为奇函数的是()A.y=cosQf+9)B.)'=sin(1.r+4)C.y=sin2+cos2aD-y=sina÷cosx解析：对于A,y=cosZv+5)=-sin2x,7=Jr为奇函数，应选A.答案：A(2)(2016,高考全国甲卷)假设将函数厂2sin2r的图象向左平移盍个里位长度，那么平移后图象的对称轴为()A.r=-(Z)B.x=#+加WZ)C.x=-'p(Z)D.r=7÷y5(Z)解析：法一：将晶数y=2sinIr的图象向左平彳哈个单位长度，得到y=2sin2(x+=2sin(2r+M的图强由2.v+=+A11(Z).*.x=g+11.(Z),即平移后图象的对称轴为X=:+酬WZ).法二：.y=2sin2r的对爵轴为x=：+&,向左平移盍个单位后为X=:一言+%=会+1应选B.答案:B(2017.吉林长春模拟)函数尺0=3心+”画词向左平移沙单位后是奇函数，那么函数加在,手上的最小值为.解析：函数Kr)=Sin(2x+sGJ1.V卦句左平移看个单位后得到函效为彳x+*=SiJ2.r÷+>sin2+f>|,因为此时函数为在函数，所以：+伊=人6伏Z),所以3=冶+/(£2).因为MVT，所以当Jt=O时，=J.所以.r)=si当OWXW时，2v-y.即当2丫_'=一彳时,答案:-当函数/(x)=sin(21.§有最小值为sin(一：)=坐(4)(2017湖南六校联考)假设函数HX)=sinx+bcosx(0<<5,bW0)的图象的一条对称轴方程是X=合，函数/(X)的图象的一个对称中心是，0),那么凡r)的最小正周期是又/(*。,"ecos会sin余)=0解析：由飕设，得尼;J=±亦即平(”+)=±>/加+分,/.a=b./.tan1.v11=11+?,.=Sk+2,(AZ)oQ而OVft>V5.OV8k+2V5.,.=0,=2,.U)=0(sin2+cos2)=5sin2.t,T-«2-11,答案：11方法引航I函数儿V)=A3n(sx+同的奇偶性和对称性(I)假设凡T)=ASin(ex+e)为偶函数，那么当X=O时，火K)取得最大或最小值；假设/U)=ASin(ex+伊)为奇滂数，那么当X=O时，/（八）=0.(2)时于函数y=Asin(sx+0，其时称轴一定经过图里的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x=.m或点0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检测大加)的值进行判断.(3)求形如>=4sin(ttw+刃或),=Acos(sx+)的函数图象的对称轴或对称中心时.都是把u<oxjfn看作一个整体，然后根据y=sinx和y=cosx的图象的对称轴成对称中心迸行求解.1.函数加=sin.v+cosX(Gb为常数,4K0)在x=：处取得最小值，那么函数g(.r)=J亨r)是()A.偶函数且它的图象关于点0r,0)对称B.偶函数且它的图象关于点(芋，0)对称C.奇函数且它的图象关F点俘Q)对称D,奇函数且它的图象关于点(,0)对称解析：选D.因为")=J?TSin(X3)在X=4处取得城小伤.所以卜夕=2/一与，KZ.aTeT故夕=学一2/，Z,得.Ax)=7a2+-SinG-当J,g(*)=V苧一"=一，”:+Sin.r,所以g(x)为号函数，且其图象关于点(n,0)对称.2.=cos(1.+3)一5sin(1.+a为偶函数，那么少可以取的一个值为().“cJ1.a6b3CnCjtc-6d,-3解析：选D.曲得儿r)=2cojyir+|y+；)|为偶函数.由谤导公式可知少+名=人兀伏Z)当X=O时.=1.(也可由八一x)=(x)恒成立率.)易错警示求,V=八Sin(QX+夕)的单调区间的,的符号处理借助于y=sinX的单调区间求厂ASin(+伊)的单调区间时,首先保证”4(),然后再看A的正负，结合整体“c*+e”，求X的位围.I典例函数y=sin(-2r),那么函数在一兀，0)上的单调递减区间为.I解析F=Sin(W-2iJ=-Sin(2x-1,令2反一?W2xgW2E+3(KZ).工DN得E一强WXWAn+雪，Z.1MIM所以,y=s喈-2a)在一小O1.上的成区间为一自俗案弋，oI警示I当s>O.AVo时"，y=Asin（ftr+>）的增区间是利用2版+与Wsx+衿&+2履，（kZ）求得X,减区间是利用如一血+少追+2履，"Z）求得X.高考真题体哈）1. （2016高考全国乙卷）函数府）=sin（sx+3）（s>0,IQIW芬.1.-；为,AX）的零点，尸；为y=Kr）图象的对称轴，且Kt）在岛粉上总调，那么”的最大值为（）A.I1.B.9C.7D.5解析：选B.先根据函数的零点及图象对称轴，求出M满足的关系式，再根据的数Hx）在偏普）上单调，那么（知的区间长度不大于函数Kr）周期的/然后性合|夕导计算3的最大值.因为/（x）=Sin（QX+夕）的一个室点为X=X=；为产HX）图象的对称轴，所以仁融为奇数）.义r=界，所以s=k（k为奇"我）.又西货Kr）在合,韵上单调，所以今WaX法，即“WI2.假谩S=I1,又刷W；,那么伊=一：，此时,/U）=Sin（UX-：）"x）在僚,招）上单调递增,在偌,豺上单调递减,不满足条件.假,设s=9,又刷W；,那么e=：,此时，.Nx）=sin（9x+*满足危）在住，粉上单调的条件.应选B.2. （2016高考浙江卷）设函数K6=sin2+Mnx+c,那么/W的最小正周期（）A.与，有关，I1.与C有关B.与b有关，但与。无关C.与/，无关，且与C无关D.与人无关，但与C有关cosnt解析：选B.由于.A）=sin2+bsinx+c=工一二+bsinx+c.当b=0时，凡r）的最小正周期为n:当#0时，AD的鼓小正周期为2.c的变化会引起Kt）图象的上下平移，不会影响其最小正周期.应选B.3. (2014高考课标全国卷I)在函数y=cos2N>=COS,y=cos"+*y=tan(2c一胃中，最小正周期为11的所有函数为()A.©B.C.dXg)D解析：选C.中，y=cos21=cos2x,周期T=n,杼合；+CoA9V丁二，周期7=n,符合：中，周期丁=小杼合：中，周期T=会不符合.符合条件的函数为(2).4. (2012高考课标全国卷W>O0<eVn,直线广：和户号是函数凡0=3收冰+力图象的两条相邻的对称抽，那么少=()11-3B11-4A.3114亢尹C11-411-2解析：选A.由于直线X=：和X=-是函数./(x)=sin(<y+3)图象的两条相钵的对林轴，所以函数/k)的最小正周期丁=2七所以S=_n=75. (2016,高考北京卷)函数/(x)=2Sinxcos<,r+cos2诉的最小正周期为11.(I)求的值;(2)求人Y)的维调递增区间.解：(1)因为/U)=2sinfttcosx+cos2x=sin2.t+cos2x=2sh2x+|,所以於)的最小正周期r=2='依题意,=兀，解得>=1.（2）由（I）知人t）=Vsin（2r+；函数.y=sinX的单曲递增区间为1履一会2"+小Z）.由2A11-x2x÷72fac÷¾AZ）,X4N得jt11-rxfat+f（Z）.OO.（r）的单调递增区间为，11一11.An+底z6. （206高考安徽卷）函数y=（sin+cos"+cos2x.（1）求贝X）的最小正周期:（2）求/U）在区间,手上的最大值和最小值.解：./U）=Sin'+2SinKCOS+cos2+cos2a=1÷sin2a+cos2x=，isin（2x+：）+1,所以函数KV）的最小正周期为T=7=11.（2）由的计算结果如，/（）=2sin（zv+.当xj,2x+j,用由正强函数y=sinx在其朗上的图象知，当2r+j=4,即X=T时，Ar）取最大值小+1：当2r+：=苧，即X=W时，4x）取最小值0.往上，危）在卜），外上的成大值为i+1.,最小值为0.课时标准训练A组根底演练1 .函数/W=cos（2t+；）的最小正周期是（）“-2BC.211D.411解析：选B.由周期公式丁=?=衣.2 .以下函数中周期为X1.1.为偶函数的是()解析：选A.y=sin2cos2v为偶曲数.J1.周期为J1.3 .与函数y=tan(2x+：)的图象不相交的直线是()11,11A.x=5B.y=5cx=8d>,=1解析：选C.2v+：=3+E.Z.fx=+vkSZ'k=0三,t.a.4 .将函数.=sin的图象向左平移T个单位，得到函数)=KU的图象，那么以卜.说法正确的选项是()A. y=K»是奇函数3-.2B. y=(x)的周期为JtCy=(x)的图象关于直线*D.产府)的图象美于点(T0)对称解析：逸D.由题意知，KO=Cos所以它是儡的数，A错：它的周期为2”，B错：它的时称轴是支线x=fat,AZ,C错：它的时称中心建点。r+米0),AZ,D对.5.函数/)=2cos(3x+>)+>对任意实数X有(x+j=(f)成立，旦周=1.那么实数b的值为()A.-1B.3C. -1或3D.-3解析：进C.由/(x+1=/(X)可知函数火X)=2coMsx+夕)+)关于交线X=T对称，又的数人用在时称轴处取得最侦，故土2+=1,-1或.Z)=3.6 .函数©=Sin（21.g在0,手上的单调递增区间是.解析：由2/-*2xME+2E,kZ.-11x+211.&Z.A0,TI上的单/q/oO1.调增区间为（）,右4答案：（0.117 .函数y=cosX与Iy=Sin（2t+w）（0WeVJO,它们的图象有一个横坐标为的交点，那么0的值是.解析：由飕得COs；=Sin停+8）,即siny+>）=；.V0p<11,.pt+j<y,.+=t那么e=言.8 .设函数y=sin（的+03>02J；，号）的最小正周期为兀，且其图象关于直线=今对称,那么在下面四个结论：图象美于点修，0）对称：图象关于点件0）对称：在0,制上是增函数;11-6上是增函数中，所有正确结论的序号为解析：:丁=兀，.e=2.又2X金+w=11+*WZ),p=*11+(Z).,'三-2'由图象及性质可知正确.答案：9 .设函数/U）=sin（2+e）（一“V3<0）,y=（*）图象的一条对称轴是直线X=；.求仍（2）求函数y=Hx）的单调地区间.解：（I）令2Xj+e=/+与，Z,.夕=11+j,AZ,X.11<<（）,那么3=一竽(2)由(I)得：1.=Sin2x苧)，令一名+211W2v-,q+2411,Z,可解得等+履，4Z,OO因此=(x)的单调增区间为，+E.1+履kWZ,10 .函数HX)=2cosMsin+cos.r).求娼%J值：(2)求函数;()的最小正周期及单酒递增区间.靠谭+co号)解:(2)因为0=2sinAcos+2cos*=sin2v+cos2x+1=啦sin(1.v+；+1,所以=jy=11.g-811-8所以/U)的单调递增区间小11一1，ht+1.AZ.B组能力突破I.函数.v=sin(s+e)(s>0且期岑)，在区间片科上单调递减，且函数值从1减小到一1 .那么此函数图象与>'轴交点的纵坐标为(AW乎C坐D.甲解析：选A.曲邈意知J=m一今=与，.F=Jr=套,.s=2.将点(5，1)代入y=sin(2t+?)得又W1.VB,伊吟故,y=$in(2r+2令X=0,那么，=；.2 .假设函数y=W+cosx在一?竽上单调递减，那么阿可以是0A、1B.cosxC."snXU.sinx解析：逸C.-sin÷cosA=COS-sin=2co.v+,V-7j,Ox+11,：.函数y=sin.V+cosx部11-4-为戒函数.3.函数/(x)=tan(2x-；)的单调递增区间是()A卷一强T+Z)(ku11k11,511',b-T2-T÷12>ez>cQx+专，H+葡也WZ)D.A11-y,E+驾卜任Z)解析：选B.由E*2rgvkt+我Z)得.z<.v<+¾XZ).所以函数1V)=M”一手的单调递增区间为性一,，9+凝Z).4 .设函数/(x)=3singx+"假设存在这样的实数.小,对任意的xR,都有凡)jWg成立，那么k一刈的最小值为.解析：/(x)=3singr+扑勺周期7=2JCXQ=4,v),大应分别为匹敦人幻的最小依和最大值，故k一刈的最小值为J=2.答案：25 .>0.函数段)=-2min(2x+*+2a+/>,当XW0.外时，5x)1.(I)求常数G8的值：设g(x)=j(x+知且Ig1.g(.v)>O求g(.r)的单调区间.HHt(1.),.,1,2r+用sin2t+I.*.-2sinfzr+2a,.U)b.3a+b,又V-5WyU)W1.=5,3+力=1,因此=2,b=5.(2)由(I)得，危)=-45(2吟)一1,4sinQ+力1,又由Igga)AO,得g(x)A1.,4sin2v÷-1>1,sin1.v+>5,2A11+<2r+<2bt+r,人Z,.g(x)的增区IhJ：2瓜+W<2x+乏2E+T，即EVXWfat+也g(x)的成区间为2人11+Tw2t+,V2E+，即E+汪XVkt+；,故g(x)地区间为|，ArJ减区间为履+/，11+AZ.