第三章(曲线拟合的最小二乘法-2).docx

第三章曲线拟合的最小二乘法一、曲线拟合的最小二乘法根据一组给定的实验数据点EJ），=1，,求出），=/（X）的近似函数关系（1）观测数据本身有误差（2）反映实验数据规律的数学模型问题特点：所给数据本身不一定可靠，个别数据的误差甚至可能很大。研究目标：设法构造一条曲线所谓拟合曲线反映所给数据点总的趋势，以消除其局部波动与插值问题不同，不要求通过点（XQ.）,，=1,2否那么将保存着一切观测误差,只要求在给定点匕上的误差最小，即构造一条最正确拟合曲线Ca）节点Xi误差（偏差）：i=6（巧）-乂=1,最正确标准：1mi11：误差绝对值最大到达最小（不易算）2园=min：误差绝对值和最小（不易算）3d2=min：误差平方和到达最小或平方误差，常用，最小二乘拟合定义1：给定数据点J)，=12，%假设拟合曲线的函数形式为：其中%()建为的线性无关函数。求系数。0,。:,使得：称"(X)=NaM(X)为最小二乘拟合函数假设/(X)=/M=0,1."时称为最小二乘拟合多项式S为误差平方和函数注：假设33建为定义在区间/上的/1+1个函数满足：那么称。(%)，0。)，亿(X)是+1个线性无关函如：%()=J,Z=O,/；线性无关如:1.,cNx,sin晨在整个数轴上是线性相关，因为Co=1.g=c2=-时I-COS2X-Sin2x三0二、最小二乘拟合多项式的求法如：m=4,n=24为使S(QoM,%)=ZK%+a玉+a2xi)-1.2=1三由极值点必要条.有：也y1.-i=1.¾x/=!加2z/=Ix'i444玉2天3玉4Vz-44工吃2七4z=14=1一即（法方程组）最小二乘拟合多项式求解一般情况5<M假设给定数据，%)，=12拟合多项式为：夕(X)=%+4/+anxn为使：由=/可得：%"1+-+4<=)',=1./=1r=1.,E+卬S+÷1引"=Xaf-1.f-1.7-1Z-I*"7mm/7a。町+<+1+,-,1=X：y/=1/=I/=I/=1/77mx,ntH1.<<1+,法方程组，见书P74注：系数矩阵关于主对角线对称，次对角线元素相定理1.以上法方程组在&互异时有解存在且唯一,而且其解即为S3。吗，)=唉)-疔=1.1.in的解使4840误差取平方和最小的极小点例1：一组实验数据如表所示.123Xi24621128试求最小二乘拟合曲线.解：作散点图,如下图，说明它可用线性函数作曲线拟合，即选择形如。（尤）=。+W作为拟合曲线.这里9(x)=Qo+W?=4/=1,故法方程得QO-12.5,tz1-6.55所求的最小二乘拟合曲线为：9（X）=-12.5+6.55X例2:求以下数据（如乂）（，=0,123,4,5）对应的最小二乘拟合多项式12345Xi0123453112解：做散点接近抛物线，因此。（无）=4。+ax+Ci2X2法方程组为:*1y/2/1XX6662"-=XX3，4-./收6»422+644+/X2./3/61*,6.411+1+6246=i6=iO)解得：。()=4.7143,(7,=-2.7857,生=0.5从而:(P(X)=4.7143-2.7857X+0.5x2三、非线性模型的线性化定义2:假设拟合函数与待定参数。M,。为线性关系，就称其为线性最小二乘拟合,如9(九)=Q()+1x+anxn假设拟合函数O(X)与待定参数。M，”为非线性关系，就称其为非线性最小二乘拟合，如y=x)=QoeTA非线性模型有时可经过变换可化为线性模型,这些也应按线性模型处理。注：对于线性最小二乘由S=S(4o,.M,)=>0(Xj)-M2及=0=0,1,2,可得到关于。0,。,，CIn的线性法方程组例3:给定数据(XQ)(，=0,123,4,5)如下:12345Xiyi1.001.251.501.752.005.105.796.537.458.46求y=O(X)=的最小二乘拟合曲线.指数模型解：y=e()="*不是多项式，但两端取对数得Iny=Ino+bx.假设令y=1.ny,A=In,月B么有y-A+hxf它是线性最小三乘拟合问题，为求得A和仇先将区，y)化为(卬R.转化后的数据表为故有法方程：解得A=1.1221=0.5056m=3.071,于是得最小二乘拟合曲线y=3.O71e5*