第23讲：高频考点分析之不等式、线性规划探讨.docx

【备战2013高考数学专题讲座】第23讲：高频考点分析之不等式、线性规划探讨江苏泰州锦元数学工作室编辑12讲,我们对客观性试题解法进行了探讨.3-8讲,对数学思想方法进行了探讨.9-12讲对教学解遨方法进行了探讨，从第13讲开始我们劝高频考点进行探讨。不等式局部的内容是高考较为稳定的一个热点，考卷的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用.考查的特点是用独考查不等式的问题很少，尤其是不等式的证明即：不等式与函数、方程、三角、数列、几何、导数、实际应用等干j关内容综合在一起的综合试题居多：作为不等式与函数的综合应用,线性规划何超H显娠繁.结合2012年全国各地鬲芍的实例,我们从以下七方面探讨不等式、税性规划问题的求好：1 .解商次、分式不等式和指数、对数不等式：2 .解绝对值不等式：3 .不等式问题中“最依法”和“单调性法”的应用:4 .不等式问题中,数形结合法”的应用：5不等式问时中“特殊依法”的应用：6 .根本不等式的应用：7 .线性规划问题.一、解高次、分式不等式和指数、对数不等式：典型例题：例1.（2012年窟庆市理S分）不等式二二1.0的解第为【】【答案】A-【考点】分式不等式的解法.【分析】化分式不等式为整式不等式求解:X-I<0=>2x+1.M)(2.40=-2x+102例2.（2。12年宣庆市文S分）的式会。的解集是为“（八）(1.,+oo)(B)(Y,-2)(C)(-2.I)(D)(-<,-2)U(1.,+oo)【答案】C。【考点】其他不等式的解法.【分析】利用等价变形直接转化分式不等式为二次不等式求解即可：-<0=>(-I)(+2)<0=>-2<<I<应选C.x+2例3.(2012年江西省文5分)不等式工二>0的解爆是。x-2【答案】(-3,2)(3,+).【考点】其它不等式的解法.析】不等式可化为(x+3Xx-2X-3)>0,解得-3V.Y域r>3./.不等式的解集为(-3,2)j(3,48).例4.(2012年湖南省文5分)不等式x'-5x+6M0的解染为上.x2x3).【考点】一元二次不等式的解法，【解析】1.1.1.-5+60.1t)(x-3.t-2)0.从而的不等式"+60的解集为24x43.例5.(2012年山东省文5分)函数f()=的定义城为【】1.n(x÷1)A-20)(02B(-1.0)j(0,2C(-12),D(-1.2J【答案】B.【考点】函数的定义城。分式、对数、二次根式有意义的条件.1.n(x+1.)O卜WO【解析】胆据分式、对数、二次根式有意义的条件.得J+1>0,解得.4-x20-2x2：.函&f(x)?+4-x1的定义域为(-1,0)(0.2。应选B。1.n(x+1.)«16.(2012年庆市文5分)设函数/()=X2-4x+3,以X)=3'-2.集合M=XwRI例g(x)>0,N=xeRg(x)<2,那么MnN为（八）(1.-KO)(B)(0.1)(C)(-1.1)(D)(o,1.)【答案】D【考点】笈合函数的概念，解一元二次不等式和指数不等式，集合及其运算，【分析】利用求出集合M中以外的范例，结合集合N,求出g(x)的范围,然后求解即可:I1.1./(g(x)>O得g'(x)-4g(x)+3>O.g(x)<1或g(x)>3即3'-2<1或3'-2>3.XvI或-V>1.og,5,1.ipM=xeR/(g(x)>0=(o.1.)j(1.og5r+).由g(x)<2得3*-2v2,W31<4,x<1.og34,UPM=xeRg(.r)<2=(c,1.og,4).：.MN=(-o,)U(1.og,5>+)(-.k>g,4)=(c,I).应选D.例7.(2012年上海市班14分)函数/(X)=年(X+1).(I)假设0</。-20-/(工)1,求的取值范旭：(6分)(2)毅设g()是以2为周期的偶函数，且当OMXM1.时，有g(x)f(x),求函H1.y=g(x)(xe1,2)的反函数.(8分)【答案】C)fi1.1.22,.fJ)-1.<x<1.A+1.>022r?-2r由OVIg(2-2X)-Ig(X+1)=Ig-<Ift)I<-<i.x+1.x+1.V+1>0.x+I<2-2.v<10a+10.Wi-<.v<p-,<x<,21由421<x<-.-<x<-33当xw1.,2时,2-xe0,1.y=g(x)=g(x-2)=g(2-X)=/(2T)=1.g(3-x).由单调性可得jw0,1g2.*=3-HF,所求反函数是y=3-10*.*w0,1.g2.【考点】对数函数的概念、性质,反函数的求法.【解析】(1)fH0<(1.-2x)-(x)<1.,结合时数函数的性质，列不等式组求解即可.(2)根据对数函数与指数函数互为反函数的性质求解.二、解绝对值不等式；典型例题：例1.(2012年广东省理5分)不等式卜+2卜N1.的解象为.【答案】X?【考点】分类讨论的思想，解绝对值不等式，【解析】分类讨论：由不等式k+2-w褥,当X?2时，不等式为一(x+2)-(T)M1,即2?1忸成立：当2<x?。时，不等式为2+2?I,解得,2<x?-：2当x>0时,不等式为(.r+2)-xM1.,即2£1不成立.综上所述，不等式卜+2卜国MI的解集为X?另解：用图象法求解：作出图象，由折点参考点连线；运用相似三角形性质可得.例2.(2012年上海市理4分).假设集合A=x2x+1.>0,=x.r-1.<2加么AnA=.【答案】信,3).【考点】集合的概念和性质的运用，一元一次不等式和绝对伯不等式的解法，【解析】由鹿意,得2x+1.>0IXTI<2"x>-1、2=><x<3.-1.<x<3(4-小例3.(2012年天滓市理5分)集合A=xg+2<3,集合8=xg(x-"i)(x-2)<0.且A'BW-hi).那么in=.n=.【答案】-1.1.【考点】集合的交集的运算及其运算性质，绝对值不等式与一元二次不等式的好法【分析】由趣意，可先化荷4集合，再由8集合的形式及43=(-UOH接作出判断,即可得出两个参数的值：VA=(XMv+2O=-5<v<1.又.AC。0一,)，函数轴可知尸一,11=.例4.(2012年天津市文5分)集合A=xe1.x-25卜"最小整数为_【答案】-3.【考点】绝对值不等式的解法.【分析】：-3不等式x-2M5,WJ-5-25.-34x7.二集合A=H-3x47).集合=（xc1X-25卜口最小的盛散为一3.例5.（2012年山东省理4分）假设不等式kx-442的解集为x1.x3,届么实数k=.【答案】2。【考点】绝对Gi不等式的性质.Mtfr1.由IkN-42可得-2kx-42,即2kxM6,ffi1.1.x3.所以k=20例6.（2012年江西省理5分）在实数范胭内，不等式2-1+2x+1区6的解集为A.【答案】-j.rR-jx.【考点】绝对值不等式的解法.转化与划归、分类讨论的数学思想的应用.【标】原不等式可化为5或V:5或，-2x-2x-<62x-1.-2x-1.62.r-1.+2.v+1.6由得由知由都!ss.222222.康不等式的解%为eR-xP例7.（2012年陕西省文5分）假设存在实数X使x-4+*-1.3成立,那么实数"的收（ft范用是【答案】-24.【考点】绝对值不等式的性质及其运用，【解析】由题意如左边的最小值小干或等于3.根据不等式的性质.得-1x-11+x-13,解得，-24°【答案】v-t>y.【考点】解绝对值不等式.【解析】令/（x）=2x+1.卜2x-1.,那么由/（X）=-3,(<-)4x-1.,(-x1.)(x)>0的解集为3.(v>1.)例8.（2012年湖南省理S分）不等式2x+U-2x-1.>0的解集为_例9.(2012年全国课标卷文5分)函数)=k+4+x-2|(I)当=-3时，求不等式/(x)3的解集：<11)假设/()-4的邮集包含1,2,求“的取伯范I乩【答案】解：当=-3时,由/(x)3得x-3+x-223x2J2<x<3Jx3或城.3-x+2-x33-x+x-23x-3+x-2>3Wmx<1.sKx4.(11)原命题即/()-4在1.2J上忸成立，二|*+。|+2-*54-*在1,2上恒成立,即-2一44“42一人在1,2上恒成立.-30.【考点】绝对值不等式的斛法。【解析】(I)分段求解即可.(II)时于/(a)-4.把“作未知求解。例10.(2012年辽宁省文10分)/(工)=m+1|(“马，不等式/(X*3的解集为3-2刹&I).(I)求的值;(I1.)三设I/(X)-I”A恒成立，求人的取值范围，【答案】解：由/(xK3得-4MarM2°又；不等式f(xX,3的解集为x-2刹/I),.当0时.不合施意：42当>0时，-一-,得。=2,aa1,x-1.(心由/(x)=2a+1.记MX)=/(r)-2吗)=-4x-3,.(.v)1.o.jI1【考点】分段函数、不等式的根本性质、绝对伤不等式及其运用,分类讨论思想的府用.【解析】(I)针对"的取伯情况进行讨论即可.(II)针对/()一2/弓)的正负迸行讨论从而用分段函数表示，诳而求出k的取值范队例11.(2012年江苏省10分)实数X.y满足：x+yk?,2x-yk，求证：|讨以.【答案】证明：V31yI=|3>I=12(x+y)+(2-y)1.2.t+y+2.t-y.由即设1'+)，|<12一水2.33<!+:=.1.y1.<.【考点】绝对但不等式的根本知识.【解析】根据绝对值不等式的性质求证.三、不等式问题中Tt值法”和“单调性法''的应用：典型例题：例1.(2012年福建省文4分)关于X的不等式一祀+”>0在R上恒成立，那么实数”的取值范围是【答案】(0.8).【考点】一元二次不等式的解法.Mtff1.关于X的不等式F-r+2<>0在K上恒成立，瓶么满足A=炉7x2w<0,解得/8例2.(2012年福建省理5分)函数/(x)在，句上有定义，假设对任懑.,X2E1.a,h,有-j1.(x,)(x,).加么f(x)在小句上具有性质已设f(x)在1,3上具有性质P.现给出如下命四：/(x)在亿3上的图象是连续不断的：/()在1,小)上具有性质P；假设“X)在*=2处取得最大值1,那么f(x)=1.re1.3):对任.旗m-.g1.3),有/(亚产冲如(XM0H¼>tg其中直命题的序号是【】A.(3)®B.CD®C.D.【答案】E【考点】抽象函数及其应用，函数的连续性.MW】对于命题，设f(x)=F'''(O?"")显然它在,3上具有性质P,但函数在=2处是，O,=2不连续的.命题怫误：对于命题.设/(x)=-x,显然它在13上具仃性质R但/(V)=-V仲,赤上不JS忤质P.命题错误:对于命遨,Yfx在x=2处取得最大值1.在3Jt./(2>=/Ct+"tb/(x)+/(4-X),!J(x)+(4-x)2(x)=2./(x)÷(4-x)2/()(x)iw,=(2)=1o()=I,e11,34命题正确；/(4-x)(x)u,=(2)=1对于命感，对任意x,&,X”.“£(1.3),有命题正确.应选D,例3.(2012年北京市理5分)f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2,假设同时满足条件；<J>VxR.f(x)VO或g()<3xw(-8,-4),f(x)g(x)<O,那么m的取佰范困是【答案】(T-2),【考点】的易逻辑，函数的性质.【解析】1.1.1.g(x)=2x-2<0W<.：条件QVXWR,f(x)<0i(x)<0.当XN1.时,f(x)<O.当m=O时，f(x)=O,不能做到f(x)在x1.时，f(x)<O,所以舍去.：f(x)作为二次函数开口只能向下.mv,且此时两个根为x=2m,2=-n-3>_m<011<0为保证条件成立，必须x1=2m<1=>m<=>-4<m<0.2x2=-m-3<1.e、:*m>-4又由条件mx(-00.-4),f(x)g(x)<O的限制，可分析得出XG(-8.-4)时，f(x)恒负。；.就需要在这个范围内有如正数的可能，即-4应该比XrXa两极中小的那个大,由2n=-m-3由m=-1.当mw(-1.0)时，-m-3<T,解褥交集为空集，舍去.当m=-1.时，两根同为一2>4,舍去。当me(-4,-1)时.2m<-4=>m<-2.综上所述，m(-4.-2)(例4.(2012年北京市文5分)f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2'-2.假设VXWR,f(x)<0或g(X)<0,那么m的取值范眼足,MWH(-4.0).【考点】何易逻辑.函数的性质.MW】由MX)=2X-2VO得<.VxwR,f(x)<0或g(x)<0,二当1.时，f(x)<O.当m=0时，f(x)=O,不能做到“X)在x21.时,f(x)<O,所以舍去.f(x)作为二次函数开11只能向下，.m<0.R此时两个极为x=2m.x2=-m-3.为保证条件成立，必须<X=2m<1.nm<!n-4<m<0.X2=-m-3<1.m>,4.m的取值范围是(-4.0)。例5.(2012年江苏省5分)函数/()=./+加小加11)的值域为0.+8),假设关于X的不等式f(x)VC的解集为(M，”+6),那么实数C的值为.【答案】9.【考点】函数的值域,不等式的解集.【解析】由值域为0,+8)，当/+41+b=0时有丫=/-46=0,即8=£,4/(t)=r+7)VC解得-人3+.向；不等式/()vc的解集为("i,?+6),.(诉一9一(一7?-9=2/=6,好得c=9.例6.(2012年全国大纲卷理12分)谀函数/(x)=r+cosx,w0,.(1)讨论/(X)的单调性：(2)设f(x)S1.+SinX,求的取伯葩阳.【答案】解：,(x)=-sinxo(I)Vx0,1.Osin.v1.当时，f'()O,f(.r)在eO.上为单调递增函数：当“0时，/'(x)0,八外在xw0,m上为单调递减函数：当OVaVI时，由/'(x)=0得SinX=0,i1.1.fx)>00<arcsin。或“-arcsina<x11i由/'(X)<0得arcsina<x<11-arcsina：.当0<v1.时/(r)在0,arcsin«和11-arcsin<z,上为为总调递增函数：在(arcsina.11-arcsin上为国调递M函&.2(2)由f(幻+sin*恒成立可得f(11)1<=>-1<I<«<.11令g(x)=Sinxa<0X),那么g'(x)=cosx112c当XW(O,arcsin)时,g'(.r)>O.当x(arcsin二,巴)时,g'(x)<O>11112又g(0)=g(2)=0,所以g(x)20,即2Ssinx(0xv2>22故当Q二时有/()二+COS1111当0x2时，.rsin.r.cos,v1.所t1.(x)SI+sin.2当匹x*时,/(x)-.v+cos=1+(-)-sin(.v-)<1+sinx.2111122标上可知故所求”的取侑位图为aS,【考点】导数在研究函数中的运用,三角函数的有界性.【解析】(1)利用三角函数的有界性，求解单调区间。(2)运用构造函数的思想,证明不等式。关键是找到适宜的函数，运用导数证明最值大于或者小于零的何阳得到解决。例7.(2012年全国课标卷现12分)函数/(.r)满足满足f(.r)=r(1.)eZ-/(0).r+gx(1)求/(x)的解析式及单调区间：(2)黄设/(幻2；./+依+乩求(+1.)的最大值“【答案】幅(I)V/(x)=,(k,1-/(0)x+1,(x)=,(1)'-/(0)+X.令X=I得，/(0)=1.f(x)=f()e-'-A+.ti.A/(0)=,()e'=1,得/=e°.,.f(x)的轿析式为/(X)=e'-x+xi.设g(x),(x)=e*-1.+x.那么(x)=e,+1.>0.g(x)在XWR上单调递增.又,：/3>0=,(0)时，X>O,/(x)单调递增：/'(x)v=/(O)时，x<0,/(幻M递减.:/(X)的单调区间为：单调递增区间为(0.+8),单调递减区间为(一肛0)。(2)'：f(x)x2+ax+b,：.e'-(a+)x-bO<.h(x)=e-(+1.)x-得,(x)=e-(+1.)当+1.O时,/CO>0,二(x)在XWR上单调递增.但X->-co时，(.r)->-co与A(X)0矛盾。当+1.>O时，由力'(外>0得x>1.n(+D:由(幻VO)XV1.n(+D当X=1.n(+1)时，j(.v)m,=(f1.+1.)-(+1.)1.n(+1.)->O(+)b(u+1)2-(a+1);1.n(a+1).令F(x)=x2-X2Inx(.r>0)；那么F,(.r)=.r(1.-21.n.r)>由尸'(刈>O得O<X<W；由F'(x)VO得X>4°二当X=7时，F(x)m,=.当=<7-=?时，(4+1劝的最大值为-.【考点】函数和导函数的性质.M|析】U)由/(幻=/'。修7-/(0)+:/求出八0)和/'即可解到八幻的解析式,根据导致的性所求出单调区间.It1./(.V)=-X+-.V2和/(.v)-+0v+>.表示出(。+1劝.根据导函数的性质求解.22例8.(2012年全国课标卷文5分)设函数f(x)=c'-a-2I)求f(x)的单调区间（三）假设尸】，k为整数,且当x>0时，(x-k)fx)+x+1.>O,求k的及大位【答案】解：(IM(X)的的定义域为(一8,+8).f()三e*-a.假设a40,那么:卜)=<?-2>0,./卜)在(-8,+8)上单调递增。线设a>0,那么当xw(-8,Ina)时,f(x)三ex-a<Ot当XW(Ina,+8)时,f(x)=e-a>O.：.在(-8.Ina)上单调速i*f(x)在(Ina.+8)上单调递增.(I1.)Va=1.(x-k)(x)÷x÷1.=(x-k)e'-1)+x+I，当x>0时，(x-k)(c-1.)+x+1.>0它等价于kV：，；+K(x>0).令g(x)=罟+x，那么g'(x)=,1.；+I=C'T).CT(CJ)(Cj)由(I)知,函数h(x)=e"-x-2在(0.+8)上单调递增.Vh(1.)=e-3<O,h(2)=cz-4>0,.h(x)在(0,+8)上存在唯一的零点。.g'(x)在(O,+=)上存在唯一的零点,设此零点为a,那么ac(1.2).当xw(0.a)时,g'(x)<0：xe(a.+)Bf.g'(x)>0.g(x)=-+x在(0,+8)上的最小值为g（八）(e-I又.g'（八）=O,IWe0=a+2.g（八）=-+a=a+1(2,3).c1因此k<g（八）,即整数k的最大值为2【考点】函数的单调性质，3数的应用,【解析】(I)分a0和a>0讨论f(x)的单调区间即可,(H>由于当X)时，(x-kXe"-1.)+x+1.>O等价于k<3+x(x>O).令t,x+1g(x)=T-7+x'求出导数.根据函数的零点情况求出整数k的最大值.例9.(2012年天滓市现14分)函数/(X)=X-Ina+)的报小值为0,其中>0.(I)求的值：(II)快设对任意的XO.+/).有f(x)kxz成立，求实数JI的最小值；(111)证明Z-r-n(2n+1.)<2(nGN)【答案】好：(I)函数的定义域为(y,+8).求导函数可得/co=1-1.=Hi二1.'x+ax+a令八%)=()，=-w>-<-当X变化时，AX)和fix)的变化情况如卜衣：X(-a,1-«)-a(1-«>+<xjf()0+极小值/.J(X)在=1.-处取得极小值,二由跑意.f/(1.-)=1.-1.n1.=1.-=O.A=I.(II)当ASO时，取尸1,(1.)=1.-1.n2<0,故k0不合SS意，当人>0时,令g(x)=(x)一短，即g(x)=x-1.n(r+1.)-fc?.求导函数可得()=1-2kx=、+1二>2八今、="0-2k).x+1x+1x+1.i-2X-令g'(x)=0,得.q=02k当人之?时,<0,g'(x)<0在(0.+«>)上恒成立，因此g(9=/(X)-k'22k在(0y：上单调递取,从而对任意的xe0,+8)总行g(x)g(O)=O即对任意的xs0+*).*1.符合题意。2(I_>kIOf.当OVkV1.时.匚W>0,对于46(0,匚上),gTx)>O,因此gCv)在22k2k(0,匕丝)上单调通熠，因此取XW(0,上丝)时，gJ>MO>=O,即有八)A不成立.2k2k.0人,不合胭意.2标上，实数人的最小值为1.2(III)证明：当=1时，不等式左边=2Tn3V2=右边，所以不等式成立。当“2时.Wkn一).在(2)中.UU=-./(.r)-x1(.vO),“1,卜一1一3)一I)S'的2>发TWA噂上冲M用<25次辅=2-In“2绘上，y-1.n(2+)<2(N'),【考点】导致在最大值、最小(ft问题中的应用.利用导致求闭区间上函数的最值.【分析】(I)确定函数的定义域求导函数,确定函数的刑圜性，求得函数的最小伯利用函数/（八）=A-1.n(x+«)的最小(ft为O.即可求得“的值.（三）当*0时,取.v=1.,有/=1-|!12<0,故心0不合题意.当>0时,令小)=/(力-&,1I-OjI求导函数，令导函数等于0,分类讨论：当21.时，1.上0,g(x)在(0,也o)上单调遢减，从22k,11一”I-2k而对任瓯的xw0,+x>).总有Mx)g(0)=0。当OVAVa时.>0,对于XG(O,W-).-2jIg<x>>O,因此g(x)在(O,1.W)上单调递增,由此可确定A的坡小值,2k(I1.1.)当=I时，不等式左边=2Tn3<2=右边,所以不等武成立.当2时,阳上八j-gf机取电”亭从而W岛<1ir(er,i2卜白此可证结论.例10.(2012年浙江省现14分)«>0.>gC函数/()=4t'-2fer-+b.(I)证明:当0x1.时，(i)函数/(x)的JR大值为I勿-Q+a：(ii)/(x)+2-+():(I1.)©设T*)1.对xO,1.忸成立，求+b的取值范围.【答案】(I)证明:(i)*(v)三12-2.当b0时，,(v)-1.W-2>0在0r上恒成立，此时，(K)的最大值为：/(1)三4<-2Z>-11÷>三.Vi-1>=|2«-h*a.当。>0时，/'(«)12加-沙在O0上的正负性不能判断，此时/()的最大值为:(.v)三11ux(O)./()三nax(-)t(%-),?"：?>：”=&一“，1.*db<2a综上所述：函数/()在0r1.上的最大值为|加一1近(ii)设Mx)=-/(0V,v(.v)"-4</.r'+2a+-»,.令g*)-I2a+240=>.v三当/0时，/()-12<+2<O在0v1.上恒成立，此时£()的最大值为：K(O)一b<M一方=2a*G当。<0时，'(.v)-12d+乃在0r1.上的正负性不能判断，2a-G综上所述：函数武、)在091.上的坯大值小于(或等于)3一“",即/(>)+2a-h在OSK1.上恒成立.(I1.懈：由(I>知：函数/(r)在gr1.上的最大值为|加一加“，且函数/。)在0<1.上的最小值比-(3一切*“)要大.TSf(x)1对x0'IHfi成立,.2-*1.取力为纵轴，“为横轴.rt>0a>0那么可行域为：N2a和><2a目标的数为N=。+A-<I3ai1.作图如下：由图易得：当目标函数为2=“+/>过P(1.，2)时.有j,=3.所求“+，,的取信范国为：【考点】分类思想的应用，不等式的证明，利用导致求闭区间上函数的最值,简单线性规划.【解析】(1)(i)求号后，分运0和b>0讨论即可.(4)利用分析法，要证/(.V)+2a-ba>0.即证K(X)=-/(x)2a-A»a,亦即i三g(x)在09W1.上的最大侑小于(或等于H2“一加a,(I1.)由(I)知：函数在0x1.上的几大值为|加一囱/且函数在0v1.上的最小值比-(2afa)要大.根据一1/(x)01对XGI().1而成立,可得2a一加a1.从而利用线性规划知识.UJ求a+b的取值范困。例II.(2012年浙江省文15分)w.函数/(x)=41-2at+"(1)求/")的胞调区间(2)证明：当OWXe时，/(X)+|24>0.【答案】解：(1)由愿意得/'(X)=122-2a当a0时，'(x)20恒成立，此时/(.0的总网递增区间为(c,3)：当a>0时，f'(x)=1.2(x-J)(x+J),此时由ft/()的单调递增区间为(2)由于OMNM1,当“M2时，/()+1«-2=4-2-+24.?-4x+2：当>2时,/(x)+w-2=4+2(I-x)-24+4(1-)-2=4-4.v+2.设g(x)=4x'-4+2.01.那么g'(x)=2?_4=2(x那么有XOB3囹Ig,(x)0+g()I减极小值1.:g(x)三i"=8(,)=I一呼>°，当0X1时,总有g(X)=4x,-4a-+2>0j()+«-24-4.v+2>0.【考点】分类思怛的应用，利用导致求闭区间上函数的鼓伯和单调区间,不等式的证明.【解析】(1)求出导数.分M0和>0讨论即可，(2)根据|2-4分2和”>2两种情形，SI/(x)+-24-4x+2.从而改出新函数g(x)=4N-4x+20MxM1.,应用导数.证出g(x)*=g(y)=1.->O,得到g(x)>O恒成立，即/(x)+k-24-4x+2>0例12.(2012年潮,省理13分)函数X)=尸T,其中。和.(I)黄设对一切Xemf(X)多恒成立，求”的取值集合.(II)在函数M的图像上取定两点A(.V,.(X1).(A2,(,)(X1<X,),记直缨AB的料率为，问：是否行在(牛七)，使r,)>R成立？假设行在,求Xi)的取值范困：要设不存在，请说明理由.【答案】解：(I)假设“v,那么对一切x>0,J(X)=e'v-x<,这与应设矛盾，又0,故>0".,(x)=aea'-,.令/'(X)=0,得X=1.m1.aa当二M二时，/')<o()雅调递诚：aa当>'n1.时，f'(x)>o,f(x)单调递增.aa二当=bn,时，/(Aj取最小(ft/(I1.n1.)=I-!-In-!-.aaaaaaa于是对一切Xe凡(x)1.惧成立，当E1.仅当!一1.In1.Iaaa令g")=r1.nr.那么g'(r)=-1.nr.当O<r<1.时，g'(f)>O,g")单调递增:当，>1时，g'(r)<O,g()单调递成，二当，=1时g")取域大值g(1.)=1.二当且仅当1.=I即=1.时，式成立。a综上所述,。的取值集合为1。(I1.)存在。由题意如，.=/5)-/(."J1二啖x1A-X1心WI令以X)=f1.k=OeN，一那么七"K)=-e"+R-(*27J-1,x-x仅引=-£-e"'"E-Q(N一引一小x-tiF(O=e,-r-h那么"'U)=-1°当r<o时,尸(，)<o.尸的调递减：当r>o时.Fa)>o.尸")单词递增，.当，=0,F(0>F(0)=OJiPe,-1.>0.二f>-(Xj-ai)-1>(),*“-)-(X1.-W)-1>0.Ut14U%又,；，>0.->0.<(x)<0,x.)>0,x2-iX2-,r,函数y=x)在区间若,&上的图像是连续不断的一条曲线二存在G(8,工)使次%)=0.x)=a2ea'>0,(x)单调递增,故这样的C是唯Iea':IeM：-er,一的.且C=1.1.nf.故当且仅当XW(1.1.nf,.)Br.f,(x0)>k.a(x2-1.)a(.t2-.t1)'综上所述，存在&e(芭.王)使f'(xv)>k成立.且小的取伯范第为I产-e*u'(-In-.J.aa(x2-x1.)*【考点】利用导函数研究函数单调性、以值、不等式恒成立,分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法的应用.【解析】(I)用导函数法求出X)取最小值/(1.1.nI)=I-1.1.n1.对一切XGR/(x)1.恒(Iaaaa转化为/()mi,1.1,从而得出。的取值集合.(I1.)在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数.研究这个函数的单网性及最值来进行分析判断0例13.(2012年湖北省文14分)设函数HX)="d(1.r)+仇x>0)”为整数,为常数.曲线F=启)在(I，4I)处的切线方程为x+y=1.(I)求“，的值；（三）求函数.HQ的最大值：(III)证明：x)<【答案】解：(【)7U)=b,由点(I,与在x+>=1.上，可汨1+)=1,RPb=O,:3="几d'ur+I)/./(I)=-Uo又切线x+y=1.的制率为一I,.-=-1.,即O=1.<a=1,O=OC(I1.)由(1)知，fix)=xo(1.-)=xa-x,./(x)=(n+1U,(-X).令/(x)=(),解得X=W即/(X)在(0+劣);有唯一零点XO=W1“在3鬲匕r(v)X).Ar)单调递增：在仔十OC)上,八*0,/U)单调递减.在(0.+8)上的最大(ft为彳帚=(帚)(1_高=洋7.(I1.1.)证明；令M=In1.I+jv>O),那么-'(。=十一、一，JQ>0)。一在(0.1)上,v>V)<O,中单圜递减:在(I,+0>)±,-OO,一。单调递增,.力在(0.+上的最小值为帆I)=O.)>(r>1.).BIJ1.n>1-j(>1).令",ni>7”r>e,即消k由(Ii)知，v)"g.<,，所证不等式成立.【考点】利用导致求闭区间上南数的呆值，利用导致研究函数的单调性，利用号数研究曲线上某点切线方程.【解析】(I)由璃意曲统.y=k)在(I,7(D)处的切战方程为x+y=1.,故可根据球数的几何意义与切点处的困数值建立关于参数的方程求出两参数的值.(I1.)由于tx)=xa(I-X)=Xo二"，可求八X)=O1.+1)Xnr牌7一，利用导数研究函数的总调性,即可求出函数的最大值.(II1.)结合di).欲在：R)Ve由于函数)的最大伯J(UT)=牌TX1.一备)=u,故此不等式证明问应可转化为证明F<士.对此不等式两边求以C为底的对数发现.可构造函数帆。=Iiw-I+r>0),借助函数的最值辅助证明不等式例14.(2012年辽宁省文12分)(x)=1.nx+7-1.,证明:(1)当.丫>1时，/(x)Vm(X-I)（三）当1.<x<3时，f(x)丝x+5【答案】证明：(I>i5()=(