线性代数讲稿.docx

第一章Gauss消元法与矩阵的初等变换教学目的与要求，1 .掌握GaUSS消元法解跷性方程祖的根本思世，会用矩阵的初等变换解线性方程组；2 .蒙梅雄性方程组有斛的判定方法：3 .掌握矩阵的我的概念及会求矩阵的秩：I.掌握矩阵的标准形的概念.点，线性方程组有解的判定定理：矩降的初等行变换魔点：矩阵的初等变换解现性方程组.问1.1(解的存在性和惟一性何趣"1.eOntief(列品捷夫)静态投入产出模型”中的线性方程如是否有解？如果有解.解是否惟一？问SS1.2对于仃解的线性Zf程组，怎样求得其全部解或解的衣达式？ 1 1.1线性方程组与GaUSS消元法1.1.1 线性方程蛆引例(i)空间中三个平面UX-2),-z=24.x-6y+2z=-26.x+2y-7z=-24是否有交点？(ii)如果有交点，有多少个交点？I1.x-2y-z=24分析:解决此何题的关键是求解线性方程组JK-6y+2z=-26的解.(1.1.1).v+2y-7z=-24定义1.1.1:-般地,设n个变尿.卬x2,，Xn之间满足如下形式的规性美系内+。”占+43=4，211.+2,X2+-+2nn=,.，1.1.1.4)4内+1X"=&那么称(1.1.2)为含有n个未知里个方程的妓性方程组(1.inearSystems),简称为jx型然性方程俎(或n元线性方程组)，其中卬占,，X”代表(1.1.2)中出现的n个未知为，a,amt称为方程组的系数.b,%称为常数项.方程组的解：满足n元设性方程殂(1.1.2)的一个有序实效组(c1.,C2,-,CD.方程组的解柒：方程组(1.1.2)的所有解构成的集合.“翻译”成如下代数问题（多见引言中的问题1.1）：HS1.i1.1.2（i）方程组（1.1.1.）是否有解？（ii）如果有解.有多少个解？注意:如果两个mXn线性方程组的系数和常数项对应相等，加么这两个方程组贴相同的.例如（1.1.1）1.；以下方程组是相同的:(1.1.3)11.x1.-2x,-Vj=24.x1-6,v2+Ixy=-26,Xy+2xi-7xj=-24.1.1.2 Gaus消元法例1判断线性方程组是否行解W-X/3XJ=I1-x,-xj=3d-X,+3/=1 2 ）3x2+2x,=-I:（2）_：（3）.44土+2.v4-2Ox3-4解（I）方程组有解,且只有一个解：x1=-3,=-1,a3=1s（2）显然,假设令x,=G-2=b.a,/为任意实数,那么方程组的解为：x=（3+/）-2（1+a）x2=b,x3-2（1+）x4-a.所以该方程组彳!解，且有无穷多个解.（3）该方程组无耨,因为对任意.0Ar&来说"0"都是不可能成立的也称这样的方程组为“不相容的.总结:设性方程蛆的解的情况:无蟒有唯一解有无数多个解一般的线性方程组可能不具有“阶梯形”,但我们可以使用GaUSS消元法把它化成阶梯形.其思路是：用“初等变换”对方程组进行同解变形.例1化的以下线性方程组并判断其是否有的：1112x,-X3=24,x1.-6.r,+2xi=-26,.t1+2.r,-7.V,=-24.解作如下变形：先把第一个与第三个方程互换位置，方程祖化为xi+2xz-7X3=-24.r1-6.v,+2x=-26（1.1.4）1Ix1.-2x,-Xy=24将（1.14）中笫二个方程减去第一个方程，第三个方程战士第一个方程的11倍，这样后两个方程中的x都被消去，U1.4)化为i+2.v,-7*3=-24(1.1.5)-8x,+9a=-2-24.0+76.=288将(1.1.5)中第三个方程减去第二个方程的三倍得49Xj-294,然后将该方程乘以京,(1.1.5)化成“阶梯形”方程细x1+2x,-7.t,=-24-8x2+9x=-2AT3=6(1.1.6)(I.1.6)只有一个裤：芭=4,电=7,&=6,又由于(1.1.6),(1.1.5),(1.1.4)、(1.1.1)均为同解的方程组，故(1.1.J)有价且只有一个解，即(4,7.6).定义1.1.2：线性方程组的初等变换(c1cmcnIaryopera1.ions)：1、互换两个方程的位置：Ik用一个非零数乘某个方程：IIK把第j个方程乘以一个(非零)数再加到第i个方程上.定理1.1.1施行初等变换不会改变税性方程组的好.即：假i殳一个mXn现性方程组羟过某一个初等变换后变为另一个方程处,那么这两个方程组同解.线性方程组的，广矩阵(augmentedmetrix)：线性方程组的系数和常数项IU出来按原次序排列起来，就确定了一个长方形的去.例如本例中方程组的增广矩阵为：2-8利用线性方程组的增广矩阵可以把本例中的消元化简过程描述如下:2-I2462-262-7-24以最后，个表为增广矩阵的方程组就是一阶楮形”方程殂(1.1.6).例3化简然性方程性(1.1.7)并判断其是否有解.1.1.x1-2x,-50.=24x-6.+2xj=-26(1.1.7).1+2x,-7,=-24M我们利用线性方程组(1.1.7)的增广矩阵来描述消元化简过程:以粉后一个表为增广矩阵的方程组就是“阶梯形”方程组x1.+2xi-Ixy-24-8x?+9.q=-2(1.1.8)0=294显然方程组(1.1.8)无解，因而(1.1.7)无解.从例1.1.1例1.1.3中我们百到.有的线性方程组无解.有的有惟一解.有的有无穷多个例.自然要问：是否还有其它的情况出现？一个统性方程组在什么条件下一定有解？在什么条件下有惟解？§1.2矩阵的初等行变换与矩阵的秩1.2.1 矩阵及其初等行交换线性方程阻的系数矩阵(coefficient,ma1.rix)：找性方程组的系数取出来按原次序排列起来所确定的长方形的我.例如(1.1.1)的系数矩阵为：11-21-6212-7更一般地,我们有以下定义.定义1.2.1一个mxn个实数排成行、n列的表k««.iJ称为一个mxn矩阵matrix),其中的每一个数都称为该矩阵的元索.位于第i行与第Ij列交叉处的元素称为矩阵的(i,j)元，而mxn称为矩阵的型.«1定：一个1X1矩阵就是一个数.UH(«,)=«例如方程组(1.1.2)的系数矩阵和增广矩阵分别是mXn矩阵和mXS-D矩阵特别.(1.1.1)的增广掂阵是一个3X4矩阵.(1.1.I)的系数矩阵是一个3X3电阵,其系数矩阵的(2.3)元是2,(3,1)元是1,其型为3X3.矩阵常用大写字母来发示，为了指明一个矩阵A有行n歹J,我们果用符号A.Xm如果矩阵飞”的(i,j)元是铀,加么可以记成儿“=(%).零矩阵：zeromatrix):元素全为。的矩阵，记为0“或简记为().方阵(SqUaremi11rix):行数与列数相等的矩阵.例如AMI称为U阶方阵.n阶单位JE阵：idcn1.y<trix)：可简记为&=(¾,其中a,=，'为克罗内克(Kronecker)符号.例如E：,就是方程祖x+0x1+0.r,=H0演+占+0,=b的系数电阵.0x1.+(k,+x3=C同型矩阵：行数与列数均相等的两个矩阵相等的矩如果矩阵A、B的行数、列数、对应元素全都相等的矩阵，记为A=B.与雄性方程组的三种初等变换相对应(注记1.1.1),对矩阵也有三种变形，称为矩阵的(三种)初等行变换(e1.ementaryrowoperations)：I .互换两行,比方第i行和第j行.记为：ri<->r,:II .用一个非军数8乘某行比方第i行,记为：比或kxr”III .把第j行乘以非零数人加到第i行(ij).记为：ri+kri不难看出，初等行变换都是“可逆的.也就是说，假设R可通过初等变换变成B,那么通过相应的“逆变换”就可把B及原为A.例如对匕作变换耳+2zi后得到一个新的矩阵，但是再作变换zi-2后就更原了：fOO)p20p00'Ey=010；i-JI0:>0I0.J)O1.j1,0011001;在一匕一节我们看到,对线性方程组进行消元化筒就是对增广矩阵使用了掂阵的初等行变换.例1判断以下方程祖是否有解.0.v1+0,+OXj+Ox4=()由例1.1.1(2)知，(1.2.1)有无穷多个解.I-1上例中，与“阶拂形”方程组对应的矩阵0000设后一个矩阵对应的“阶梯形”方程组为：x1-2-xj+Ox4=3f.v1-X1-x3=3Ox1+Ox,+j+2x4-2即，xi+2.v4-2(1.2.2)0=0-103'I2-2具有两个特点：000(1)元素全为0的行(称为零行)均在下方(如果有零行的话)：(2)两个相如的非零行中，下一行的从左边数起的第一个非0元家称为该行的主元)必GZ于上行的生元的仃边.今后我们称具有这两个特点的犯阵称为行阶梯形矩阵(roueche1.onBaIriX).任何,个非零矩阵R都可以经过一系列(有限次)初等行变换化成行阶梯形矩阵，这个矩阵称为A的一个行阶悌形.'1-10、例2:化用阵221为行阶梯鞭矩阵.、64Oy结论:矩阵的行阶梯型矩阵可能不唯一.矩阵的不同行阶悌蟹矩阵的非零行的行数相等.1.2.2矩阵的费定义1.2.2假设非零矩阵hn的一个行阶梯形B.X”有r个非零行，那么称r为地阵A的松(rank),记为rank（八）=r(或简写成R(R)-r).规定，等矩阵品”的秩为零.注记1.2.2容易看出，行阶梯形矩阵1.x”的非,零行数就是其主元的个数，所以R（八）就是1.x”的主元个数.由于BnXn的主元必位于不同的行、不同的列，所以R（八）Wmin(m,n,也就是说，R（八）Wm和R（八）Wn总是成立的.注意到初等行变换都是“可逆”的,所以由上述结论和定理1.2不难得出推怆初等行变换不会改变矩阵的秩.于是,为了计算出矩阵的秩R（八）,只要用矩阵的的初等行变换把电阵A化为它的一个行阶梯形,然后计算这个行阶梯形的主元的个数就可以得到R（八）."11-2-1、例3（八）设方程组(1.1.1)的系数矩阵为A,增广矩阵为B,那么A=I-62,b2-7)I1.-2-I-24,B=I-62-26,且由例I.1.2后的讨论过程可以看出R（八）=R(B)=3、I2-7-24,(b)设方程组(1.1.7)的系数矩阵为A,增广矩阵为B,那么R（八）=2,R(B)=3.(c)在例1.1.I中的三个方程空中，系数矩阵A的秩与增广矩阵B的秩分别是：(1)R（八）=K(B)=3：(2)R（八）=R(B)=2：R（八）=1.R(B)=2.可见.只要用矩阵的初等行变换把矩阵A化为它的一个行阶梯形，就可算出A的秩R（八）.§1.3线性方程组解的存在性和惟一性在这一节中我们要对-淡的Xn级性方程姐(1.1.2)答复本堂引言中的问题1.1,即讨论融性方程组解的存在性和惟一性问题.1.3.1 主要结论定理1.3.1(判定定理一)设mXn线性方I组C.I.2)的系数矩阵为A,，广矩阵为B.那么：(1)方程组(1.1.2)有解当且仅当R（八）=R(B)：(2)方程组(1.1.2)有惟一解当且仅当R（八）=R(B)=M(3)方程俎(1.1.2)有无穷多个解当且仅当R（八）=R(B)”时.注意,由于R（八）不可能大于RB),所以?（八）KR(B)就意味着R（八）R(B).2u-3v+1.w+5t=1例1利陆方程如是否有解.w-v+w-1.=I+v-8v+=04-3v+5f=0解用B我示该方程组的增广矩阵，A表示其系数矩阵.下面计算R(B)和R00.将B化成行阶梯形:I-I1.-IIP-I10-1575i6+2匕Io-1500I169i20010000-81I100I-I71616f2-3i-II14-371-8O5-12-37I1-84-30-15-1z,j-2r1.ri-r5-9-4-41/所以R(B)=4,而R（八）=3,由定理1.3.1(判定定理一),原方程组无解.3,v1+x,-x-2x1=2试确定t的值使方程组X1-5x,+2a-3+x4=-1.有解2x1.+6,-3xj-3x4=1+2-x1.-11.x,+5x,+4.v4=-4'31-1-22CI-52I-I26-3-31.+-I1.54-4,4-普'1-521-1、016-7-55016-7-53+21.0-1675-5；»*<*>-521016-7-50000,0000解5-2O当2关2时，-20.所以R（八）=2,R(B)-3.原方程组无解:'1U=2时，?（八）=RB)=2-=4,原方程俎有解，且有无穷多个解.考前须知:含有参数2的矩阵称为2-矩阵.其初等行变换有r,ri<2)kri4+旬或q+以7其中含4的函数关系式不能做分母.x1.+xj+tv,=4练习：设有线性方程殂-x+h2+X,=/，问k取何值时,此方程殂有唯解？无解?有无限多个解？x1-X,+2j=41.3.2 齐次线性方程坦有著解的条件11×n齐次线性方程31(Homogenous1.inearSystems)11.v1+1.2.v2+-+1.,x11=O.(1.3.Dajtxt+at2xi+-+a2nx,=O.4丙+。.西+4<=0,其系数矩阵是A=/增广矩阵B由A和位于R右边的一列“。”构成,显然齐次线性方程组(1.3.1)至少有一个解，I(O.-S0)(也就是再=±=X"=0)，称之为零解(ZerOs。IU1.ion)或平凡解(IriVia1.so1.ution).除零解之外的其它解(如果有的话)均被称为非解InOnZerOSoIUtiOn)或非平凡I1.1.nOntriViaISoIUtiOn).一个齐次线性方程组可能只有零好.问题:在什么条件下.齐次然性方程组(1.3.1)会有非零解？首先由于齐次线性方程组必有耨,所以R（八）二R(B)(判定定理一之(D).其次，“(1.3.1)只有零解”意味着-(1.3.1)有惟一解%判定定理一之(2)说明这等价于R（八）=n.因此，n元齐次规性方程组(1.3.1)只有零解的充分必要条件是R（八）=n.注意到R（八）不可能超过n(注记1.2.2),所以我们证明了E1.3.21判定定理二)n元齐次战性方程蛆1.3.1有非零解的充分必要条件是R（八）Vn,即系数矩阵的秩小于未知元的个数.在(1.3.1)中由于R（八）Wm(注记1.2.2),所以当<n时，就有R（八）Vn,从而由判定定理二可得出:推论(充分条件在齐次线性方程组中，如果方程个数小于未知元个数，那么该方程组必有非零解.由判定定理一，当(1.3.1)有一个非零解(c1.cj,.c.)时，它必有无穷多个非零解.事实上,这时(c1.,cs,.,AeJ也是(1.3.1)的解.其中1可取任意非零实数(参见§5.1).例3判断齐次战性方程组是否有非零解，其中t我示一个实数.(1)11.v-2y-z=0.v-6y+2z=0.Ik-2y-%=0.(2)x-6y+2=0.x+2y-7=0.解(1)方程组未知元个数n二3.系数矩阵A的秩R（八）W2,由判定定理二.方程组有非零解.(注:也可以直接用定理1.3.2推论轩出谈结论.)(2)未知元个数n=3.为计算系数矩阵A的一,对>施行初等行变换,可得'11-2r'A=I-62I2-7加等行女换、'1-6208-9(OOr+5(1.讨论：当t=-50时,R()=2<n,此时原方程组有非零解:(ii)t-5011t,R（八）=3=n,此时原方程姐只有辱解.1.3.3线性方程级解的情况及定海程图流程图一mm非齐次线性方程组的判定流程，其中A为系数矩阵，B为增广矩阵.*的府尢另多储I流程图：Inm齐次线性方程组有非零解的判定流程，其中A为系数矩阵.§1.4矩阵的标准形矩阵的初等列交换(e1.ementaryco1.unoperations):I、÷÷ci(交换第i列和第j列，ij):IkAXq(GNO)(用非零数k柒第i列)；IIkq+S(把第j列乘以非零数A加到第i列上).定义1.4.1.矩阵的三种初等行变换和三种初等列变换统称为矩阵的初等变换.如果矩阵A通过.系列初等变换变成矩阵B,那么称矩阵A与B是等价的(equiva1.ent),记为A出凡矩阵的等价满足以下性质1A1.4,1(I)假设AqB,那么BgA:(2)假设A出B,BC,那么A9C：(3)假改AgC,B5C.那么A/B.证期(I)'H±.钱设A通过初等变换变成氏注意到初等变换梯是可逆的，故通过相应的逆变换,就可以把B变成A.(2)由定义可以直接推出.(3)利用、(2).由于在初等变换的过程中矩阵的行、列于不变，即矩阵的型不变,所以不同型的矩阵不可能等价.M1.判断矩阵A与矩阵B是否等价,其中rII(I)A=1-2-124'-62-262-7-24I100"=O1.OO01I0rW-2-50'(-1-1(2) =1-62,B=2-2-112-73-3-1/(3) A同,B=>解(I)A与B都是3X1型矩阵.下面分别用初等变换把,B化成“最简单”的形式,然后进行比拟11M.U2-800I00=(E1.OK0010；于是-B-(E30)m,所以B9(4O1.由性质1.4.1,A与B等价.(2)A与B都是3X3蛰矩阵,注意到：<1等H攵换P-16Ef,°0IB-匕M2I)0000100Oj'°0°,所以A马B等价.(3)因为A是3X1矩阵，B是4X4坦阵，所以R与B因不同型而不等价.猜测：任何非零矩阵AIXn都可经过一系列(有限次)初等变换变成形如I'0I的矩阵，其中'u*rt“左上角”是一个r阶的单位矩阵,而其它元素全为0我们称这个矩阵为A的标准形(SU1.ndform).的标准形为；).上述猜测是正确的,而且由此可以推出更一般的结论:11-2-50、例如1一6222-7,m的矩阵，其中JtS1.4,1(1任何非零矩阵4n都可经过有限次初等变换变成形如i''0Io0r=R（八）.2两个等价的矩阵具有相同的标准形，反之亦然.RM1.4.1设矩阵A是某线性方程组的增广矩阵.如果时A施行初等列变换得到B.加么B所对应的线性方程组与原方程组是否一定同解？为什么？本章小结：本章主要学习了矩阵的初等变换,知阵的秋、矩阵的标准形的有关知识，并学习了用矩阵的初等行变换求解线性方程组第二章行列式做学目的与夫求，1 .掌握行列式的概念及性旗：2 .常握行列式的计算方法：3 .挈握n×n组线性方程组的解有唯好时的求法.点,行列式的性旗与行列式的计算：克拉姬法那么。充点,行列式的计算HftS2.1nXn型规性方程组（n元线性方程组）在彳I惟一解的情况下，解如何表示？HftS2.2mXn型规性方程组在有解的情况下，解如何表示？§2.1 n阶行列式的定义本节将通过对：元戌性方程组、三元线性方程组解的讨出，分别给出:阶行列式的定义和三阶行列式的定义，然后归纳定义n阶行列式.2.1.1 二阶行列式的定义我们考虑二元战性方程加卜内+"I="<2,1.0f1.2-v+。22占=4使用芯斯消元法，在”一“2%。时，我们得到二元线性方程组（2.1.D的解X1=皿二也.=%心（2.1.2）>22-a2a2taUa22a1.2a21.为了得到n元线性方程组在有惟一解情况下的解的表示，我们希望1.2）能有更简便的表示形式,因此,我们考察代数式一42%”并结合二元线性方程组1.1）未知元司和与系数的相对位置.给出定义定义2.1.1我们给出4个数排成的两行、两列的数表称代数式孙O22-%为数表(2.1.3)所确定的二阶行亮式(determinantOforder2),记作(2.1.1)我们称数件(i=1.2；j=1.,2)为:阶行列式1.Q的元素，称元素陶的第一个下标i为行标,说明该元素位于第i行,称元素%的第二个下标j为列标.说明该元素位于第j列，称元素到。”的联线为主对角戏，称元素42到的岷战为副时角践.因此,(21.4)也称为行列式对角线展开法，IW二阶行列式的值等于主对角戏元素的积减去副对角戏元素的积.我们取记号那么.二元战性方程组1.D在有惟一解的情况K,其解(2.1.2)又可以衣示为D1DyV万8二方可见，二阶行列式给我们表示二元线性方程组的解带来了方便.H8i!2.1.1：系数行列式DWO与系数矩阵的秩R()-n-2有什么关系？例1解方程组j2.v-3y=45x+6y=1.2.1.2 三阶行况式的定义我们考出三元设性方程组ai1.xi+a1.2x2+a1.ix3=biw,1.x,+>,x,+,1.1=b,(2.1.5)+3,2+3jxj=A使用商斯消元法,在a320时,我们得到三元线性方程统1.5）未知元Xr4和4系数的相对位置,蛤出定义定义2.1.2我们给出9个数排成的三行、三列的数&(2.1.7)auanatia2ta2iaIf«51rtW0"为了便于记忆，三阶行列式（2.1.8）也可以采用下面的记法（行列式对角线屣开法）iianis%a2iai)aJiai3+2,a31.+ana21.,2-ana23a32-ana21.a,i-a1.3a22ai1.(2.1.9)我们取记号那么,三元线三方程性(2.1.5)在有惟一解的情况下,其解(2.1.6)又可以表示为“尸吟可见，三阶行列式给我们表示三元规性方程组的解带来了方便.例2解方程111I2=OMIX2=+1+2-2XT-X=/-3X+2=0,解得X1.=1.x2=2.2.1.3 n阶行列式的定义HS1.j2.1.2：n元线性方程组内十。0+",=A2x1+a22x2+a1.nx=b24丙+Wz+""=",的解的表示是否类似于二元、三元线性方程组的解的表示？这里首先要解决的何超是定义n阶行列式,考虑到n元线性方程组(2.I.10)未知元.，系数的相对位置.并结合二阶、邛介行列式的定义，我们给出我们给出n"ni2)个数排成的n行、n列的数表.ua2i<ia1.f1.IJ«21a数表(2.1.ID所定义的n阶行列式为22简记作det(%),我力称数4为n阶行列式1.12)的元案.我们规定：一阶行列式何J=%注记2.1.1(1)”阶行列式不要和绝对侑符号相混部；(2)n阶行列式的值是一个数，而矩阵Au,“在一般情况下是一个数表：(3)二阶、二:阶行列式的对角税法那么对四阶及以上高阶行列式不成立.为了使得n阶行列式(2.1.12)表示更简便，我In给出余子式和代数余子式的概念.定义2.1.4我们划去n(ni2)阶行列式中元素与所在的第i行和笫j列，制余元素不改变相对位置所构成的nI阶行列式称为元素的余子式ICofaCt。).记作我们称代数式(-1)”'My为元素q的代数余子式;a1.gebracofactor).记作A,=(T产/现在我们可以将n阶行列式(2.1.12)表示为ai2an的心如"一4+卬出+q人(2.1.13)%i1.n21,a<w13250-147例3a.求Mr和A”23105973I35解MU=2301.×3×33×0×5*5×2×95×3×51.×0×93×2×3-6593仆=(-y=-6例4证明下三角行列式(IOWertriangu1.ardeterminant)证期问即：一般的n阶行列式如何计算？§2.2行列式的性质问遨2.2.1：观察以下4组行列式，结果有什么关系?从以上实例，我们归纳出行列式的性质，这些性质有助于我们今后计算行列式.HA2.2.1行列式的做等于任意行的各元素与其代数余子式的柒枳之和.即%=A1+3q+,+%4(i=1.2,3,，n)我们称之为行列式按第i行展开法那么.«11rt!2,uaW21%定义2.2.1记D=«21a21.”2",D'=an。22%annai1.,a2我们称行列式DT为行列式D的IH1.行界式（IranSpOSiIionofdeterminant）.转就行列式就是将行列式的行改写成列.假登记=det（a；）,I）Eet（与），那么a；=。户.«2.2.2行列式与它的转置行列式相等.即D-I）'.由此性质知：行列式但凡对行成立的性质对列也一定成立，反之亦然.行列式的伯等于任意一列的各元素与其代数余子式的乘积之和.即2+/4j='2.3,.n我们称之为行列式按第j列展开法探么.ItM2.2.3交换行列式的两行（列），行列式变号.记作：r,3r（c3cj）.如果行列式有两行（列）相同，那么此行列式等于零.证明交换这两行（列）,有D=-D,于是，D=O.性质2.2.4行列式的某一行（列）中所有元素乘以同一个数k.等于用数k乘此行列式.记作：ir×k（c×k）证期按第i行展开k%k%kat,=kai1.Ai+kai2Aa+-+kainA=(114,1+aAi2+f1.i,A1.i,)=kD.aam行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的前面.记作：11÷k(c÷k)如果行列式有两行成比例,延么此行列式等于冬.证明将这两行中某一行的比例系数提到行列式外面，那么这两行相等，由性质2.2.3之推论，此行列式等于缪.假设行列式的某行均为两数之和.那么该行列式等于两个行列式和加.印112Ci1.1.+a1.ta1.2oi,Og+a”«11«12u«2!a22a2n%ai2f1.1%那么D=D1.+D2.证明按第i行展开，有D=(拆+an)A,1.+(%+a'n)A,+仇+OAJ=(%Ai+%A2+3“)+(CA+%'+其4)=S+R行列式的某一行(列)中所有元素乘以同一个数k然后加到另一行(列)对应的元素上去.行列式不变.记作:r+krj(ci+krj)«1.«!2«1.rtI1.«12«1«a1.aI2%”。%阿kai2kafn。心rin.+(iJ)=aJ1.a2”aianainaa)2明«n21"%42-4E%2%性质2.2.7行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）对应元泰的代数余子式的乘积之和等于零一异行（列）展开法那么.即aiiAfi+ai2Ai2+"+（IinAf1.t=O（ijsi.j=1.2.3,.11）或a1.1.Ah+ai1.Aij+a111.A,v=O<ijji.j=1.2.3,，n)例1证明上三角行列式(UPPertriangU1.ardeterminant)«11«125"()(IC1.h222"="Ua”0W(话熟记此结论)00(In证明将上三角行列式粒置成下三角行列式，再根据例2.1.4,有«iiaIa110000例2计算0-32112-13013-600-IO1900I1.-1712-13I2-I3013-6013-600I200I200I1.-17000-39="(1×1×1×(-39)=39.一般来说,在计算n阶行列式时，我们通常采用初等行（列）变换的方法将行列式的左上角的元东调整为非零数.然后采用初等行变接逐次招n阶行列式第1列、第2列、第n1列（第2行、第3行、第n行）对招税下（上）元索变为客，从而将n阶行列式化为n阶上（下）：.用行列式，再极据例2.2.11例2.1.4）得出结果.例310-11-I02ID=11-15-1132计算(1)Ai-Aj+A4；(2),+2A22A,+3241解（1）直接计尊D的三个三阶代数余子式，将非常烦琐，仔细观察，我们就会发现，A1.-A”+A,恰好就是D按第一行的展开式,于是0AU-As+A”=O=0000000-1I02（2）仔细观察.我的就会发现,-&|+2人22-43+344不是D按第二行的展开式，根据行列式按行展开法那么.我们可以构造个新的四阶行列式0-I112-13I-15使得G按第二行展开的展开式恰好就是一,1+2,-Aj+3A,4.于是IO-III0-11-12-1302-24-aH+2/-&+3am=G=11-15411一不。+40104-11320123IO-III0-101-120IIr2÷2,ry-ri,ri-rz2(>019rt-32（）（）1fV1二0031IJ/A0003-5=2×1×1×(-1)×(-5)=10.§2.3 行列式的计算本节我们将给出计算n阶行列式的6种常用方法.2.3.1 化行列式为上（下）三角行列式法一般来说，在计算n阶行列式时，我们通常采用初等行（列）变换的方法格行列式的左上角的元素调整为非零数，然后采用初等行变换逐次将n阶行列式第1列、第2列、第n-1列（第2行、笫3行、第n行）对角线N（上）元素变为零，从而将n阶行列式化为n阶上（下）三角行列式，再根据例2.2.】（例2.1.4）得出结果.例1计算5I解我们发现除了主对角线外，其它元素都是1.另外.短列元素的和都是8,因此，将第四行、第三行、第二行同时加到第一行再提出公因式8即=8×1XIX1X4=512.例2计算错形行列式(ai0.i=1.2.n)怎解显然，采用初等行变换将Dn”化为下三角行列式要比将Dnr化为上三角行列式容易，将DnT的第i-1行乘以加到第1行（i=1.,2,，2.有2.3.2 按行（列）展开法一般来说，在计算n阶行列式时，我们通常寻找零较多的行（列）,然后采用按行（列）展开法,到达降阶的目的.d«=,Ai+«/2A2+3m(i=1.,2,3,n)例3计算abOOOOabOOOOaOOOOOabbOOOaDn=解将行列式按第一列展开，有abOOObO0OO0abOOQbOOO00aOO+伏-1严OabOO=n+(-1.),1.Z>n0OOabOOObO0OOOG»-1OOOabc-1.Dn(-D,*'2.3.3 递推法从而得到一个通我们在计尊r.阶行列式Drt时，常常会得到含同型的n-1阶行列式Dn-I的代数式,推公式,然后再根据这个递推公式计算Dn.例4计算按占I展开按Zj展开a(T)M:«>bOOb。2。21-6论=2=d-加)4(2)=(/)2%f=S-b')n-'D1=(f1.2-b2r2.3.4 数学归纳法例5证明范彼蒙5NandeSOnde)行列式X“Y=11(r-j>1.i<inYcT证明用数学心纳法.当n=2时，Dz=X2-X1=PJ(X,-xi).结论成立.1.<2假设对n1阶行列式,结论成立,证明对n阶行列式结论也成立.从画的第n行起.逐次后行减去前一行的X倍,有OX2-.t1.Xj-X1Pn=OX2(X,-.v)X3(.Vj-X1)OXf2(X2-X1.)-Xj2(x3-X1)1.(x“一XJx：y(X"-j将上述行列