绝对值不等式例题解析.docx
典型例题一例1就不等式x+1.>2r-3-2分析：好含有绝对f的不等式，通常是利刖绝对值概念时=.”：(：，)，将不等式中的绝刻符号去拉，转化成与之同解的不含绝为值的不等式(组)，再去求解.去绝对伯符号的关键是找零点(使绝对值等于零的那个数所对应的点)，将数轴分成假设干段，然后从左向右逐段讨论.-1X令x+1.=O,.x=-1.,令2x-3=(),.=g,如下图.(I)当x-1.时原不等式化为一(x+I)>-(2-3)-2.>2与条件矛盾.无解.(2)当-1.<x°时.原不等式化为x+1.>-(2x-3)-223:>O故0(,.2(3)当X时，原不等式化为23x+1.>2,一3一2.,<6，故j<x<6.线上，原不等式的解为乜0VV6.说明:要注意找零点去绝对伯符号爆好行数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理清是、不取不漏.典型例题二例2求使不等式x-4+x-3<”行解的“的取值:范围.分析：此遨假设用讨论法,可以求好，但过程较宏：用绝时值的几何意义去求解十分简便.解法一：将数轴分为(-oo,3,13,4,(4,yc)三个区间当x<3时.原不等式变为(4-x)+(3-x)<x>-有解的条件为<3,即。>1：22当3MxM4时.得(4-x)+(x3)<,即>1：当x>4时.得(-4)+(x-3)<,即x<"2.有解的条件为5>4：.a>.22以上三种情况中任一个均可满足造目要求，故求它In的并集，即仍为>1.解法二：i殳数,3,4在数轴上对应的点分别为P,A,B,如图.由绝对值的几何定义，原不等式IPd+归目<的旗义是P到A、B的矩离之和小于0.因为IA4=1,故数轴上任一点到A、B矩离之和大于(等于I),HII1.X-4+x-31.故当.>1.时.,_4|+卜_斗<4有解.典型例题三例3x-<-.O<y-<-,ye(O.W),求证y-Z><j:.分析，根据条件凑工一“.)，一人.证明：xy,-at=,11-y(i+ya-at=IM)+6*2d+4<M声+即新£.说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用冷的方法.典型例题四例4求证tJH-fe网分析，使用分析法证明时>0,二只需证明两边同除时,即只需证明TM-比即W2W网M册I三baa-三H-H<o.京不等式显然成立.二原不等式成立.说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法.本例也可以一开始就用定理:三=H-gHmmi«1.（I）如果21，那么MI-Io,原不等式显然成立.（2）如果口1，那么一，|一小利用不等式的传递性知4-g附时-小二原不等式也成立.典型例题五例5求证分析，此区的证法很多,下面给出一种证法：比拟要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明.证明,设八6=比=g="_1.1+.V定义城为（XXe/?，I1.x-1,/（.6分别在区间（re.-D,区间（-1.+g）上是增函数.(4+H)m+仰|“+耳V冰MIa1.WV1.aJ41.+1+/1.+0)+1.+0+-1+a1.+ftj.原不等式成立.说明.在利用放缩法时常常公产生如卜邓误：.k+qM+H,+k+q>o,.0+b+w时I网,MIIH"+a+bI+1«+i>1.+1.+>1.+1+|同错误在不能保证1+"+421+|“|，1+0+421+M.绝对假不等式±qW+K在运用放缗法证明不等式时有非常重要的作用，其形式转化比拟灵活.放缩要透度,要根据题目的要求,及时调整放缩的形式结构.典型例题六例6关于实为A与5.求使/分析：分别解，解不等J5一1一士2，八=卜I2（i好不等式当>1时（3当g时（当a时，当a1.时.3*'.a=-1.所以a的取住说明：在求京例6数列通T%,7<g分析，数列。|«|+%+I：证明I/m>'I=.1£±1.»2何-D-与/一3<a+Dx+2(M+1)4O(aeR)的解集依次X-+1.«/?1.,x-(3rt+1.)1.(x-2)().X2.t3<1.+1.w>-r.得8=1X3a+x2,a-.2(i2.,故1.a43:2+1.3+1.,2t3a+1.2+1:-1.-1JI.a=-1.J1.a3.,要注意关于“的不等式祖中行没有等号，否那么会导致误解.典型例题七sinasin2(isin3asinu2222,2*对于正整数，”、，当，心”时，求证:“项和,它的任意两项差还是某个数列的和.再利用不等式+j+-+an,问他便可解决.2*rsin("2)a2""Sinma2wI、8,然后再分类讨论.sin("+Dasin(11+2)«rr-;-+-;+'i(.2"21击)<(°<>*<d说明:不7i+产+彳7是以广为首项,以1为公比.共有"一”项的等比数列的和,误认2为共有m-“-1.项是常见错误.正余弦函数的值域，即MnaI41,IeSaISI,是解此题的关键,此题把不等式、三角函数、数列、“个变量的绝对值不等式何超连在一起,是一个较为典型的综合题目,如果将此起中的正弦改为氽弦.不等式同样成立.典型例题八例8/(x)=2-+13.x-<1.,求证：(x)-/()<2(+1)分析，此遨中给定函数©和条件k-a<.注意到要证的式子右边不含因此对条件x-h<i的使用可有几种选择：直接用：翻开绝对值用-1.v<+1.,博山x：(3)用绝对鱼的性质IHTd业-d<=>W<4+进行普换.证明1V/(X)=X2-x+13./(rt)=0j-+1.3,Vx-<1./.t-1«|«|<I.IM<|«|+1,*(v)-/(«)|=.r2-a2+-.v=(x-Xx+rt)-(x-<j)=(x-a)(.v+a-1)|=x-.v+-1.<x+-1.<+d+1.<+1.+a+1.=2(Ia1.+1).即依*)-f()v或0+)说明：这是绝对值和函数的纤公烟，这类题通常要涉及绝对值及绝对侑不等式的性须等琮合知识的运用.分析中对条件x-a<I使用时出现的三种可能是经常琲到的，要结合求证，灵活选用.典型例题九x>0例9不等式组）3-*J2-J的解集是（）.57>2+xA.x0<<2B.（.v0<x<2.5jC.HOVXV阂D.（.v0<<31->0.-3<x<3.Xx>O,3+x分析,此遨是考查含有绝对依不等式的解法，由黑>W0<x<3.解原不等式组实为例不等式(0<x<3).解法一，不等式两边平方得：(3-xM(2+x)2>(3+x)2(2-x)2.(.V2-X-6)2>(x2÷-6)2,1.(.t'-x-6÷x2÷x-611x2-x-6-.v2-x+6)>0,.*.x(6-2)>0X0<.v<3.1.v-6<O；.0<入、后选00<x<3解法二：.>O,.可分成两种情况讨论：(1.)0<.r2Bt,不等式祖化为三士>2Z(O<.v2).3+X2+解得0vx2(2)当x>2时，不等式组可化为=>二(->2).3+x2+x解得2vx痴.综合(1)、(2)得，原不等式组的解为OVXVn，选C说明，此题是在x>0的条件下解一个含绝对俄的分式不等式.如何去绝对侪是此途的关键所在,必须注意,只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方.另一种方法那么是分区间讨论,从而去掠绝对伯符号.当然此题还可用特殊伯排除法求解.典型例题十M1.O设二次函数八x)=d+加+c(>O.f1.Z>O).ha,(0)1.(-1.)b().当M时.证明If(K)I.分析从0>o知，二次因数的图像是开口向上的抛物城：从Ng且|/(T)14,知，要求证的是If(K)14，所以抛物线的顶点一定在K轮卜方，取绝对值后,图像翻到'轴上方.因此抛物城的顶点的取值非常正要，也是解这道SS的关键所在.证明，V2A=(+b+c)-(f1.-fe+c)+)+d+"-b+d=(1)+(-1)1+1=2，.fc1.又.网40,.m1.二卜配T.又H=|0心|,/(-A)=±!1.z£=c,£,2it404«=|<j+-+-1=.而AO的图像为开口向上的岫物线,且wi-x.'(K)I的最大值应在M1，X=-I或.tn-(处取得.v(i),(-i),归,()-.4说明,此他考交了绝对值不等式的性质、：次函数的最值及分类讨论的思想和爱轼思维的能力，关键是通过对参数“，b.C的分析，确定抛物税顶点的取信范困，然后通过比拟求出函数在凶41范国内的最大值.
