微分方程稳定性理论简介.docx

第五节微分方程稳定性理论筒介这里简洁介绍下面将要用到的有关内容：一、一阶方程的平衡点及稳定性设有微分方程=f（x）（1）dtJ右端不显含自变室t,代数方程/（八）=0（2）的实根X=X。称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解）假如从全部可能的初始条件动身，方程的解Xa）都满意Iim.r（r）=x1.（3）J*则称平衡点与是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）：否则，称W是不稳定的（不渐近稳定推断平衡点是否稔定通常有两种方法,利用定义即（3）式称间接法,不求方程（1）的解X"），因而不利用（3）式的方法称干脆法，下而介绍干脆法。将在品做泰勒绽开，只取次项，则方程（1）近似为：=f'W（x-xt,）（4）atC4）称为（1）的近似线性方程。即也是（4）的平衡点。关于平衡点%的稳定性有如下的结论：若U（%）0,则是方程（IX（4）的稳定的平衡点。若/卬o,则与不是方程、（4）的稳定的平衡点品对于方程（4）的稳定性很简洁由定义（3）证明，因为4）的般解是x（r）='u'+%（5）其中C是由初始条件确定的常数。二、二阶（平面）方程的平衡点和稽定性方程的般形式可用两个阶方程表示为p=f（Xt,X2）atdx.t）,、-=g（xy.x,）at右端不显含3代数方程组/（1,x2）=Og（p,0）=O(6)<7)的实根（端.4）称为方程（6）的平衡点.记为M）IimxIa)=X：Iimx2（三）=X*(8)假如从全部可能的初始条件动身，方程（6）的解再（）x*）都满意则称平衡点外片局）是稽定的（渐近稔定）；否则，称P,是不程定的（不渐近桎定）。为了用干脆法探讨方法方程（6）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程<9)曲Si,I1.="内+瓦勺力dx,(t),=a2x1.+b2x,系数矩阵记作A=FVa、A三a并假定A的行列式detA=O于是原点?0.0）是方程（9）的唯平衡点，它的稳定性由的特征方程det（A-Z）=O的根尤（特征根确定，上方程可以写成更加明确的形式：2+m+<=0p="（1.+2）（10）q=de1.A将特征根记作人&,则(11)&A=3（一p±Jp'-M）方程（9）的解一般有形式Gd+cjy（4工不）或（q+H）e"（4=4=2）q,G为随意实数。由定义（8）,当4,4全为负数或有负的实部时E>（00）是稳定的平衡点，反之，当4.4有个为正数或有正的实部时以0.0）是不稳定的平衡点微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、鞍点、中心等类型,完全由特征根44或相应的取值确定，下表简明地给出J'这些结果，表中最终一列指依据定义（8）式得F马看花关于稳定性的结论。表1由特征方程确定的平衡点的类型和稔定性p，q平衡点类型稳定性<<op>O,q>O.p'>4q稳定结点稳定1.>2>0p<O.q>0.p'>4(/不稔定结点不稳定1.<0<q<0鞍点不稔定4=4<0p>O.q>Q.p'=4q稳定退化结点稳定4=4>0p<O.q>O.p'=Aq不稔定退化结点不稳定1.,2=a±h.a<0p>O,q>().p'<4g稳定焦点稳定i,2=a±h.a>0p<().r>().>'<4q不稔定焦点不稔定=a±,a=0p=0,(>0中心不稔定由上表可以看出，依据特征方程的系数.4的正负很简洁推断平衡点的稳定性，准则如下：若p>0,<>0（12）则平衡点稳定，若p<0I<0（13）则平衡点不稳定以上是对线性方程（9）的平衡点R（0,0）稳定性的结论，对于一般的非线性方程（6），可以用近似线性方法推断其平衡点&*H）的稳定性，在匕*：/）点符芭,三）和翼七,七）作泰勒绽开，只取一次项，得（6）的近似线性方程(14)竽=人(端,的d)+",巾5Y)=gq(x>x*x-尺)+工一X2)Ut系数矩阵记作A-I°e%TM>一6J16町.特征方程系数为明显，兄（用引）点对于方程（14）的稳定性由表1或准则（12、（13）确定,而I1.已经证明白如下结论：若方程（三）的特征根不为零或实部不为零，则/（*；.W）点对于方程（6）的桎定性与对于近似方程（14）的稳定性相同。这样，E>（x：,x；）点对于方程（6）的稳定性也由准则（12）、（13）确定。第六节种群的相互竞争与相互依存当某个自然环境中只有种生物的群体（生态学上称为种群）生存时,人们常用1.OgiStiC模型来描述这个群数量的演化过程，即华=M-2）dtNX（t）是种群在时刻t的数量，是固有增长率，N是环境资源容许的种群最大数狂，在前面我们曾应用过这种模型，由方程（I）可以干脆得到，/=N是稳定平衡点，即t-g时X（D-N,从模型本身的意义看这是明显的结果。假如个自然环境中有两个或两个以上种群生存，那么它们之间就要存在着或是相互竞争，或是相互依存，或是弱肉强食（食饵与捕食者）的关系。这里将从稳定状态的角度分别探讨这些关系。、种群的相互竞争当两个种群为了争夺有限的食物来源和生活空间而进行生存竞争时，最常见的结局是竞争力较弱的种群灭亡，竞争力较强的种群达到环境容许的最大数量。人们今日可以看到自然界长期演化成的这样的结局，例如个小岛上虽然有四种燕子栖息，但是它们的食物来源各不相同，一种只在陆地上觅食，另两种分别在浅水的海港上和离岸稍远的海中捕鱼，第四种则飞越宽敞的海面到远方攫取海味，每一种燕子在它各自生存环境中的竞争力明显地强于其它几种，这里我们建立个模型说明类似的现象，并分析产生这种结局的条件。模型建立有甲乙两个种群，当它们独自由一个自然环境中生存时，数量的演化均遵从1.ogiS1.iC规律，记XIa）,（，）是两个种群的数量，不4是它们的固有增长率，及、风是它们的最大容量，于是对于种群甲有其中因子（1-a）反映由于甲方有限资源的消耗导致的对它本身增长的阻滞作用，工可说明为相对于M而言单位数量的甲消耗的供绐甲的食物量（设食物总量为1）。当两个种群在同一自然环境中生存时，考察由于乙消耗同一种有限资源对甲的增长产生的影响，可以合理地在因子（I-S）中再减去项，该项与种群乙的数量小（相对于Nz而言）成正比，得到种群甲方增长的方程这里的意义是，单位数量乙（相对风而言）消耗的供给甲的食物量为单位数量甲（相对M）消耗的供给甲的食物量的倍。类似地，甲的存在也影响了乙的增长，种群乙的方程应当是dx、.x,x-,、T=M<y/）atN1N2对q可作相应的说明。在两种群的相互竞争中%是两个关键指标，从上面对它们的说明可知,%>1表示在消耗供给甲的资源中，乙的消耗多于甲，因而对甲增长的阻滞作用乙大于甲，即乙的竞争力强于甲，对%>1可作相应的理解。般地说，巧与方之间没有确定的关系，但是可以把下面这种特别状况作为较常见的一类实际状况的典型代表，即两个种群在消耗资源中对甲增长的阻作用对乙增长的阻滞作用相同，详细地说就是，因为单位数量的甲和乙消耗的供给甲方食物量之比是1：1,消耗的供给甲方食物量之比是%：1,所谓阻滞作用相同即1：,=,:1,所以这种特别情形可以定量地表示为2=1.(4)即巧、巴互为倒数，可以简洁地理解为，假如一个乙消耗的食物是一个甲的G=A倍，则个甲消耗的食物是个乙的下面我们仍旧探讨叼、巴相互独立的一般状况，而将条件(4)下对问题的分析留给大家探讨。稳定性分析为探讨两个种群相互竞争的结局,即t-3时MdXw)的趋向,不必要解方程、(3),只需对它的平衡点进行稳定性分析.首先依据微分方程(2)、(3)解代数方程组/(x,)=j,r1(1-i-1.-)=O'2(5)g(x,.x2)=r2x2(1.-2-)=OzvIzv2得到4个平衡点：M.0).-(0.NJ.R(M(I-5)AyI-/),5(0.0)1.-1,I-1.,因为仅当平衡点们于平面坐标系的第一象限时(不公0)才有实际意义，所以对巴而言要求巴、%同时小于1,或同时大于1.依据推断平衡点性的方法(见前面计算图11<1.,>14稳定S1.:dxtI(it>O.dx2dt>0(6)S2<1.xJdt>0,c1.xJ<it<0(7)Sdx1.dt<0,dx2dt<0(8)可以证明，不论轨线从哪个区域动身，18时都将趋向巴(N1,0),若领线从S1.动身，由(6)可知随着t的增加轨线向右上方运动，必定进入工;若轨线从S：动身，由(7)可知轨线向右下方运动，那么它或者趋向点，或者进入S”但是进入S、是不行能的，因为，假如设轨线在某时刻3经直线0:0进入,则d.(tJ<“0,由方程(2)不难算出dt2N21dt由(7)、(8)知心/力<0,故d*力2>0,表明.在3达到微小值，而这是不行能的，因为在S：中dxidt>0,1.!1.1(t)始终是增加的：若轨线从S,动身，由(8)可知轨线向左卜.方运动，那么它或者趋向E点，或者进入S:,而进入s：后，依据上面的分析最终也将趋向综上分析可以画出轨线示意图（图I）,因为直线W=O上dn=o,所以在0=0上轨线方向垂直于演轴：在W=O上d.V2=O1轨线方向平行于x轴。2、1.>1.,<1,类似的分析可知已（0,Nj；稳定。图21.>1.,<1稳定3、<<1.,%I,由表1知对于P、点p>0,q>Q,故P,稳定，对轨线趋势的分析见图3。图31.<1.,<1稳定4、1>1.,>I,由表1知对于6点qVO,故R不稳定（鞍点），轨线或者趋向R，或者趋向鸟，由轨线的初始位置确定，示意图见图4.在这种状况下4和生都不能说是稳定的，正因为这样，所以<稳定（与初始条件无关）的条件须要加上5<1，鸟稳定的条件加上<1。图41.>1.,>IPi不稔定结果说明依据建模过程中q的含义，说明匕、Pe6点稳定在生态上的意义。1、1.<1.2>1.,5<1意味着在对供给甲的资源的竞争中乙弱于甲，2>意味着在对供给乙的资源的竞争中甲强丁乙，丁是种群乙终灭亡，种群中趋向最大容量，即Wf）,公趋向平衡点EaY,0）2、1>1.,<1,状况与1正好的相反。3、1.<1.,<1.,因为在竞争甲的资源中乙较弱，而在竞争乙的资源中甲较弱，于是可以达到个双方共存的稳定的平衡状态/，这是种群竞争中很少出现的状况。4、1>1.2>1.,谛大家作出说明。生态学中有一个竞争排斥原理；若两个种群的单个成员消耗的资源差不多相同，而环境能承受的种群甲的最大容量比种群乙大，那么种群乙终将灭亡，用本节的模型很容说明这个原理。将方程（2）、（3）改写为原理的两个条件相当于N,N,、r'N式'2从这3个式子明显可得5<1,%>1.,这正是匕稔定，即种群乙灭亡的条件。二、种群的相互依存自然界中处于同一环境卜两个种群相互依存而共生的现象是很普遍的，植物可以独立生存。昆虫的的授粉作用又可以提高植物的增长率，而以花粉为食物的昆虫却不能离开植物单独存活，人类与人工饲养的牲畜之间也有类似的关系，这种共生现象可以描述如下。设种群甲可以独立存在，按1.ogiStiC规律增长，种群乙为甲供应食物，有助于甲的增长，类似于前面的方程<2）,种群甲的数量演化规律可以写作（r1,N1.,N?的意义同前）前面的一号这里变成十号，表示乙不是消耗甲的资源而是为甲供应食物，?的含义是：单位数呈乙（相对于M）供应的供给中的食物园为单位数量甲（相对TN1）消耗的供给甲食物量的5倍。种群乙没有甲的存在会灭亡，设其死亡率为R,则乙单独存在时有dx2dt=-r2x2（10）甲为乙供应食物，于是（2）式右端应加上甲对乙增长的促进作用，有(11)dx2/dt=-rzx2(-2明显仅当时种群乙的数量才会增长，与此相同乙的增长又会受到自身的阻滞作用,所以93)式右端还作用加1.ogiStiC项,方程变为dx,Idt=-nx,(1.-,+(12)方程(9),(12)构成相互依存现象的数学模型，下面利用平衡点的稔定性分析，探讨时间足够长以后两个种群的改变趋向。类似于前面的作法将方程(9)、(12)的平衡点及其植定性分析的结果列入表2表2种群依存模型的平衡点及稳定性平衡点Pq稳定条件E(M.0)-r2(1-1.)一MaT)2<1.1,<I1,V,(1.-,)AUct1.-I).1.-1.21.-12.-crj+矢(6-D1-5%彳劣(1-5)(。2-1)1-5%,<1.<7,>1,1.,<IA(0,0)i+r2-fir2不稳定明显，A点校定才表明两个种群在同环境里相互依存而共生，我们着重分析巴稳定的条件。由4的表达式简沽看出，要使平衡点A仃实际意义，即位于相平面第象限(m0.七0),必需满意下面两个条件中的一个：A:5<1.2>1.,<1A2>1.1<1.1.<,>1而由表2中8点的、q可知，仅在条件A卜？才是稳定的(而在&卜巴是鞍点，不稔定)，图5画出J'条件A下相轨线的示意图，其中/=1.-±+d=,V=-1.+,-o直线/=O和W=O将相平面(1O.,O)划分为4个区-N1.N2S1:dxiIdt>O,<Zr,</<0S2:dx1./dt>09dx2f>QSd%力vd0/山>0；SJdXJd1.<0,去Jdi<0.从这4个区域中dxjdt,<与Ut的正负不难看出其相轨线的趋向如图5所示。图5在条件A,下巴桎定的相轨线分析条件A的实际意义，其关键部分是%>1,考虑到生的含义，这表示种群甲要为乙供应足够的食物维持其生长，而03G则是在q>1条件下为巴位于相平面第一象限所必需的，当然这要求名很小（?<1是必要条件），留意到力的含义，这事实上是对乙向甲供应食物加以限制，以防止甲的过份增长。在种群依存模型（9）、（12）中假如平衡点E（M,0）稳定，那么种群乙灭亡,没有种群的共存，请大家分析导致小M.0）稳定的条件及在生态学上的意义。评注模型（9）、（12）是种群相互依存的一种类型，即种群甲可独立生存,而种群乙不能，依存模型还有其它类型，如两种群均能独立生存，及均不能独立生存的状况，这些状况的整态结果如何，大家可以类似探讨。