微分几何练习题库及参考答案(已修改).docx

微分几何复习题与参考答案一、填空题1 .极限IimK期、1万-力+E=13r-8+*.2 .设W)=(Sinr)i+rj,g()=(r+1)1+j,求im(2)gS)=_Q.H3 .已知，rm=T,2,3),p(r)dz=-2J,2,«=2.1,1,fr=1.-I.O),则J)Xr()(1.f+bfar(k=3,-9.5).4 .己知产=4(0为常向量)，则Fa)=m+d.5 .已知产S)=依，(G为常向量),则Aa)=-Ca+c.26 .4“贴近”空间1.线的直线和平面分别是该曲线的一切线和亲密平面一.7 .曲率恒等于零的曲线是反线.8 .挠率恒等于零的曲线是平面曲线.9 .切线(副法线)和固定方向成固定角的曲线称为一般副线.10 .曲线/=%)在/=2处有方=3#，则曲线在/=2处的曲率K=_3_.11 .若在点(4,%)处,彳0,则3“,%)为曲面的一正常点.12 .已知/(/)=(2+1)了+(Inr)E,f()=(sin-(cosr)J.r>0.'J(gk=2-6cos4.13 .曲线了(，)=/4在随意点的切向贵为心犷石卜14曲线迎)=acosht,aSinh,m在r=0点的切向量为0,.15 .曲线")=.cos7,sin.M在r=0点的切向量为,Z>.1y一16 .设曲线UX=e,y=e1=J,当,=1时的切线方程为=三1.e2e17 .设曲线K=e'cos”=e'sinr,z=。'，当r=0时的切线方程为XT=Iy=z-1.18 .曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是一fA三e.19 .一曲线(y一曲线)的正交轨线的微分方程是£d“+Fdy=O(d"+Gdv=O),20 .在欧拉公式4,=KCoS,O+&sin*中，夕是方向(加.与“一曲线的夹角.21 .曲面的三个基本形式1.U,HI、裔斯曲率K、平均曲率H之间的关系是HI-2【1+KI=O.22 .已知(“4)=“+v,"-v,uv,其中“=/.v=sinr,则=2r+cosr.2，-8sf,2vr+"co23 .已知3®)=acoseCOS仇"cos夕sin®,sin.,其中W=r,=t',则=-43nOCOS-2«/CaSeM1.1，-asin8sin0+2"cos°cos”,cos>.24 .设>=«“,v)为曲面的参数表示，假如己X"则称参数曲面是正则的：假如八GTr(G)是一一对应的，则称曲面是简洁曲面.25 .假如“-曲线族和V-曲线族到处不相切,则称相应的坐标网为正规坐标网.26 .平面«“.，)=Wm0的第一基本形式为电»匕，面积微元为她.27 .悬链面f(".v)=cosh"cosy.cosh"sinvM第一茶本量是K=cosh%F=0,G=COSiu.28 .曲面z=,r，上坐标曲线x=%,y=此的交角的余弦值是IS±4+Xi+/%?)29 .正螺面r(w.v)=Msv.wsin'.bv的第一基本形式是d/+面+从Xhj.30 .双曲地物面(",V)=("+v),仅M-V),2wv的第一基本形式是('+Z+4)dJ+2(/-h'+4wv)drdv+(1+h'+4mJdv1.31 .正螺面r(u,v)=tcosvj/sinv,v的平均曲率为0.32 .方向(d)=d“:dv是渐近方向的充要条件是4(4)=0或，.而+2M,A"%+W/=0.33 .方向(d)=du:dv和()=w:Sv共匏的充要条件是IUdr.r)=。或ZdwE+M(du<|>v+d,u)+Ndv6v=0.34 .N是主曲率的充要条件是f.=0.AF-MAG-N35.(d)=d"S是主方向的充要条件是EAu+FdvFd+GdvJv'1.du+AfdvCT.=OpXEMd”十NdV-dudvdFG=0.MN36 .依据罗德里格斯定理，假如方向(d)=(d“:dv)是主方向，则曲=-kndr,其中人,是沿方向(d)的法曲率.37 .旋转曲面中的微小曲面是谢或悬徒面.38 .测地曲率的几何.意义是曲面S上的曲线在P点的测地曲率的肯定值等于等)在，点的切平面11上的正投影曲线(C*)的曲率.39 .木勺,儿之间的关系是二40 .假如曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为041 .正交网时测地线的方.程为=-cos-1T=Sineds2EG2GEducos而dvSine飞F42.曲线是曲面的测地线，曲线(C)上任一点在其切平面的正投影曲线是直线.二、单项选择题1 .已知r(r)=e*e,则F(O)为(A).11.0.1；B.-1.,0,1.；C.0J.1.；D.1.,0.-1.2 .已知尸")=(，),4为常数，则/为(C).1.xB.H：C.es'diD.ed.其中。为常向量.3 .曲线(C)是一股螺线，以卜命题不正确的是(D).A.切线与固定方向成固定角：B.副法线与固定方向成固定角：C.主法线与固定方向垂直：D.副法线与固定方向垂直.4 .曲面在每一点处的主方向(A)A.至少有两个；B.只有一个：C.只有两个：D,可能没有.5 .球面上的大圆不行能是球面上的(D)A.测地线；B曲率线：C.法截线：D.渐近线.6 .已知)，)=.%)，,小,求小j(1.2)为(D).A.ck,d),tk+2d),：B.dr+d>',d.v-dy,)：C.d,v-dy,dr+dv,0：D.dr,dy,2dx+dy.7 .圆柱螺线尸=cos,sin"的切线与Z轴(C).A.平行：B.垂直：C.有固定夹角巴：D.有固定夹角二.438 .设平面曲线C4=(三),s为自然参数，圆方是曲线的基本向盘.叙述错误的是(C).A.d为单位向盘；B.d1.dzC.d=-k0；D.=-ka+y.9 .直线的曲率为(B).A.-1；B.0；C.1：D.2.10 .关于平面曲线的曲率C疗=网S)不正确的是(D).A.k(三)=<()：B.A(三)=I飘s),。为4($)的旋转角：C.Jt(5)=-sD.(,v)=>(.?)1.11 .对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（D）.A,充分不必要条件：B,必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件：D.充要条件.12 .下列论述不正确的是（D）.,y均为单位向量；B.<21.iC.1.D.13 .对于空间曲线C,“挠率为零”是“曲线是直线”的（B）.充分不必要条件：B.必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件：D,充要条件.14 .X=4"-sin。,），=（1.-cos）,z=Msin1在点I=工的切线与2轴关系为<D）.22A.垂宜：B.平行；C.成巴的角：D.成色的角.3422215 .椭球面E+=1.的参数表示为（C）.a'b'c'.x,y,z=cos”OSacOS0sinasin夕:B. .r,y,z=acoscom0,hcos>sin0,Sin：C. x,y,z=acos88s,cos0sin，,c$inW：x,y,z=aCoSeCOS4力SineCos。,CSin2。.16 .曲面下（“,1，）=2“-1，,“2+1，“'_叫在点“（357）的切平面方程为（B）.A.21.v+3,y-52+20=0：B.18.v+3y-4-41=0：C.7.t+5,y-62-i8=0;D.18x+5y-3z+16=0.17 .球面1（"J）=?CoS“cosI1,/?COS“sinv,拉sin”的第,基本形式为（D）.2（d+sin2dv2）；B.R2（du2+cosh2rdv2）；C.i（dr+sinh2wdv2）；D.R2（du2+cos2zdv2）.18 .正圆柱面/1（",v）=?CoSHASinVM的第一基本形式为（C）.A.dw:+dv2：B.du2-dv2：Cdu+R2dv2：I）.d«*-2dv2.19 .在第一基本形式为Md/"）=dM+Sin1.fm1./的曲面上，方程为“=v（v,vS匕）的曲线段的<长为（B）.coshv,-coshv1sB.sinhv,-sinhv1.；C.coshv1.-coshx,2；D.sinhv1-sinh,.20 .设/为正则曲面，则M的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（B）.A.E=0:B.F=OsC.G=0;D.M=O.21 .高斯曲率为零的的曲面称为（A）.A.微小曲面；B.球面：C.常高斯曲率曲面：D.平面.22.曲面上直线（假如存在）的测地曲率等于（A）.0：B.1；C.2;D.3.23.当参数曲线构成正交网时,参数曲线U-曲线的测地曲率为（B）.InEIC1.nE比2在&，三B.7=-；2GOv1,1<5InG12InEc2E加：D.=.2G5u24.假如测地线同时为渐近线，则它必为（A）.直线：B.平面曲线：C.抛物线：D.圆柱螺线.三、推新题（正确打J,错误打X）1 .向量函数r=>具有固定长度，则/！尸（r）2 .向量函数尸=N/）具有固定方向，则0%）.3 .向量函数W关乎，的旋转速度等其微商的模|/（".×4 .曲线的曲率、挠率都为常数，则曲线是圆柱螺纹×5 .若曲线的曲率、挠率都为非零常数，则曲线是圆柱螺线.6 .圆柱面尸=R8se.Csin6.z）.z-线是渐近线.7 .两个曲面间的变换等矩的充要条件是它们的第一基本形式成比例.X8 .两个曲面间的变换等用的充要条件是它们的第一基本形式成比例.9 .等距变换肯定是保角变换.10 .保角变换肯定是等距变换.X11 .空间曲线的位置和形态由曲率与挠率唯一幽定,×12 .在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯，X13 .若曲线的全部切线都经过定点，则该曲线肯定是直线.714 .在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向.15 .高斯曲率与其次基本形式有关，不是内蕴量.×16 .曲面上的直线肯定是测地线.17 .微分方程A（",v）血+B（,v）4i，=0表示曲面上曲线族.×18 .二阶微分方程A（“.v）市J+28（"j,）d“小+C（".M小；=0总表示曲面上两族曲线.X19 .坐标曲线网是正交网的充要条件是产=0,这里/是第一基本量.20 .高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲而21 .连接曲面上两点的全部曲线段中，测地线肯定是最短的×22 .球面上的圆肯定是测地线.X23 .球面上经线忖定是测地线.24 .测地曲率是曲面的内苑址四、计算题1 .求旋轮线X=(r-sinr),y="(1.-CoSr)的0r2乃一段的煎长.解旋轮线>(，)=“(/-sin)m(1.-CoS/)的切向量为r,(t)=a-acont,asint.则在OVt211Zx2x段的弧长为：=r,()dr=2r1.-cosd=/.002 .求曲线x=sin,y=rcos,z=re'在原点的切向量、主法向疥、副法向量.解.由题意知产")=kin+rcosr.cosrsinr.e'+re',产")=2cosrsinr.-2sinrcosr,2"+tef.在原点，有/(O)=(OJJ),产(O)=(ZO,2),一尸A(尸力尸一尸)尸。7×r又=问B=I叩"I'k'，所以有T亭,”咚专当,"吟,冬冬3 .圆柱螺线为了(1)=“85人.$而，&,求基本向量a./j：求曲率人和挠率r.解尸二卜州皿八备5人耳，/1"（r）=-cosr.-sin.0,又由公式上衣_（/）/一（乙尸）尸”尸X尸乂国A式-网，P-川严XH，”,叼.d=-=-r7sin.<jcos.Z>.=-cosc-sin.0）.=-=1.=>sint.-hcost.a-<Ja'+b2（i2+b'由一般参数的曲率公式"r>=01及挠率公式Mr）=少出Id吟，T有,=一；“尸，=2b,4 .求正螺而r（,y）=WCOS%“sin”*的切平面和法线方程.解S=cos-Sin串,0,彳=-"sin%"CoSi，力,切平面方程为X-UCosvy-Msinvz-b'cosvsinv0=0,-wsinvwcosvb=Z>sinv-cosuy+uz-bv-O.法线方程为二3=23=三处.sinv-cosvu5 .求球面s(3,")="8S8cose,48S8sin0,sinW上任一点处的切平面与法线方程.解q=-“sin0cos"一sin°sin®MCOSW，%=-acos°sin0.cosecos“,×(=-wsin<>cosd?-<sin>sin“cosq-0cos*sin""coseCoS0O="?cos夕-cos3cos”,-cos0sin,一sin：.球面上随意点的切平面方程为(-s>cos.y-rtcossin.z-rtsinrt'cos>-cs>cos-cos>sinA-sin>=O.即COSeCosex+coseSiney+sin/z-a=O,法线方程为(x-«cospcos0,y-acosJsinff.z-asn)=(c<.>s(-cosws,-cossin-sin),即x-。8$夕cos®_y-acOSoSine_z-asin?8s«cos。COSeSineSino6 .求圆柱螺线x=acosf.y=«sinr,z=r在点(«,0.0)处的亲密平面.解产)=-asin,acos,1.,r*(r)=-acos,-asin,0),所以曲线在原点的亲密平面的方程为X-ay-0z-0-asiwacosz1=0,-aco”-asin/O即(sin/)X-(cos)y+az-«sin/=O.7 .求旋转抛物面2=°(./+)；)的第1基本形式.解参数表示为户(无>)=”,00?+12),i1.1.=j1.,0,2av),rv=0,1.,2q>,.E=A七=1+4"V,尸=4=4y,G=<<=+4a2y2.：.I(ck.d>)=(1.+4a2x')dr:+/1Ajt1.vdy+(1+4a2y2)dy'.8 .求正螺而(“,V)=WCOS%"sinv,Zn的第基本形式.解彳,=cosv,sinv,0,rv=-“sinv.wsv,b,E=Fut,u=I,尸=H=O,G=J,三w2+b2,I(du,dv)du'+(w2+2)dv2.9 .计算正螺面("j)=WCoS1.NSinv,加的笫一、其次基本量.解fu=cosV,sinv,0,匕=-“sinv,uCoSv,耳，fm=10,0.0.rut=-sin1.CoSy.0,r1.1.,=-msv.-sinv.0.1Jkfu×fv=cosvsinvO=Z>sinv,-cosv.wJ»-usinvwcosvb×fiZ>sinv,->cosv.ufC×¢IJir+irE=1F=rufi=Q,G=r,rv=u'+/r,1.=rA=0,M=fi1.=了.,r=r11=0.*f'f>?*+M10,计和抛物面z=V+）；的高斯曲率和平均曲率.解设抛物面的参数表示为汽X,），）=*,），,./+3?,则£=1.0.2x,>>1=0J,2>.1.=0Q2,%=七=0.0.0，%=0A2,×=10Ix=1-2a,-2>,1.0I2.v斤=凶=产-2刈,IqX小4+4y2+1.，E=I+4x2,=k=4j,G=H=I+4,；,22=Zf1.=I,M=r,=0,N=IJN=,y4xi+4y2+4.+4+1.,()v.1.N-M-4-+4y+14-EG-Fi-(1+4X1+4)-(4>)j(4x2+4y1+1)2IG1.-IFM+EN4.r2+4>2+2/y=,；=172EG-F(4÷4+1f11 .计算正螺If1.i(m.V)=mcosV.Usinv,av的高斯曲率.解干脆计尊知E=1.,F=0,G=u'+a2,1.=0,M=-TfN=O,777“1.N-M2a2'EG-F2三(+2)2,12 .求曲面Z=QJ的渐近线.解z=xy2,则P=牛=)5，q=-=2y,r=-4=0,S=二-=2y,t=4=2xxyxycy所以，1.=0,M=2vN=2Vy+y*+4x2y2y+y4+4xzy2渐近线微分方程为心4-I"、dy'=0.1+y4+4.v1y21+/+4x2y'化简得dy(2ydx+xdy)=0.Jy=0K2y<Zv+My=渐近线为y=G,xiy=C213 .求螺旋面r=WCOS"Sini，,如上的的率线.解=cosv.sinv.O).=(-usinv.ucosv,bE=j=1.F=i;=O.G=2=u2+b2._bsinv,-bcosv,u_bsinv,-bcosv,uIItXt.Ibsinv,-bcosv.ub2+u2j=0,0.0,v=-sinv.cosv.0j.v=-usv,-usinv.O*.1.=O.M=r-N=Or+b'曲率线的微分方程为:dv2-(Iudvdu210u2+b2=011JJv=±.1du0-b0-Ju2+b2Vu2+b2积分得两族伸率线方程：v=1.n(u+uy+br)+c1.f1.1.v=1.n(j+b'-u)+c,.14 .求马砥面/=在原点处沿随意方向的法曲率.解=1.,0,2w)=0,1.,-2v),E=2=1.+4«2,F=-4ttv,G=1+4/1=(1+4m;)c1.n:-Huvdia1.v+(I+4v*)Jv"-2u.2v.1.)4u2+4v2+I2-21.=111.1.=、-、.M=11,=0.N=ii.v=、一、4+4v*+1.4u+4v*+1.2.»1._H_1.+4uy+4：(du2-dv)1.1.+4w2+4v2*"*>J1.+4tr+4v2''"1(I+42)du2-8uvd1.v+(I+4v2)dv15 .求抛物面z=a(x2+)；)在(0,0)点的主曲率.解曲面方程即>=X,>(X2+/)|,r,=1.0.2av).=0.1,2uy),E(0.0)=1.,F(0,0)=0,G(0.0)1.,P*、=(0.0.2u.<v=OO.O.<,=(O.O.2«).1.(0,0)=2a,M(0,0)=0,N(0,0)=2a,代入主曲率公式，2ak"C°,=0,所以两主曲率分别为I=勺=2a.02a-ks16 .求曲面/=+-在点(1,1)的主方向.解<=1.,0.2u,=0.1,2p.E=1.+4.F=4mv,G=I+41.2£(1.1)=5,/(Ij)=4G(U)=5:1.=/、2.、,W=0,N=r4(4v,+/44+4V+/?1.(IJ)=Af(IJ)=-,M(1.1.)=O.代入主方向方程，得(而+小)(4小，)=0,即在点(1,1)主方向力，:小，=T:I;6“:小，=1:1.17 .求曲面%.%=-'+/上的椭圆点,双曲点和抛物点.解由="w+,得£=1,0.2“,片0.1,3/,94=0.0.2,<=0,0.0,二0.0,6哈1.=IM=0,N=I、4m*+9v4+14w+9v4+11.N-M，4i+9v4+1,AO时，是椭侧点：Y)时,是双曲点：g时,是抛物点.18 .求仰面N"J)=vm+v上的抛物点的轨迹方程.解由了(“,力=优,iu+y.得片0,2“,1,=3v2,0,1,=0,2,0,=0,0,0,=6,0,0),/,=.蓝尸,"=°，N=-JMF令1.N-M*=-产=0.得«=()或J=CyEGF2所以抛物点的轨迹方程为r=v0,y或.0,u.19 .求圆柱螺线Fa)=8S,“sin/,/”)自然参数表示.解i1.1.f()=(cos.asint.而,得=«sinf.«cos/.b,r'()=2+r,弧长S（三）=£yja+b'dt=yja2+bt.f=口:,曲线的自然参数表示为汽S)=cos-7=.si11.=,br-.f1.2+fr2a2+2+Z20 .求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.解设挠曲线为N="S),则主法线曲面为：T=G(SHM3,则a,=d,b,=f1.=kd+.a,b,=-k,b,2=k2+2.所以腰曲线是r=(i(5)-(三)=d(,s)*)、j(三)b,'k+r21 .求位于正螺面X=ucosv,y=usinv,Z-r上的圆柱螺纹x=Uocosv.y=M11sinv.z=v(ua-常数)的测地曲率.解因为正螺而的第一基本形式为I=d+(+')d,螺旋线是正螺而的1.曲线=%,由得曳=0.由正交网的坐标曲线的测地曲率得a=_%=T1.=.五、证明题1 .设曲线：r=r(三),Ej:(1.)Ar=-tf;(2)(f,'p.f)=k2r.证明由伏雷内公式，得E=&用力=次两式作点积，1.y=-k=-rk,(2)r=d,r=d=k,r=k+k=k+k(-kd+)=k-d+k+k.(7)=(<i.kfi,-k2d+kkrf)=(d,k,krf)=k2r.2 .设曲线：r=尸,证明：(fjykki-k).证明由伏雷内公式，得r=<2=k.F=kf1.+k=kf1.+k(kd+)=k-d+kf1.+ktr=-3kkd+(-k'+k-k)+(2k+k)f(7.7)=(AJ×(-jt2d+ZJ+Ar)>(-3Atf+(-j+A-Ar2)f+(2j1.r+Xrr)/)=(JIAA)(-3U+(-F+tM)W+(2ir+j1.ts)/)=-3,Ar+2A,Ar+A42,=kkr-k)3 .曲线疗=NS)是般螺线，证明:q=Ra-J饱:、也是般螺线(及是曲线的曲率半径).证明fi=Rd-(is,两边关于S微商，得a.-=RdRd-=RdR-=Rci.dsRdj,由于r是一股螺线，所以也是一般螺线.4 .证明曲线Aa)=jsin*",ajcos(t)dt./»(“.是常数)是一股螺线.证明,(r)=asin*),“cos飙/)./(r)=0'(/)CoS奴/),-a/(/)Sin奴/),0),/'"(/)=p,()cos>(r).-Sin旗r).0+")I-Sinxr),cos飙r),0/×Z=a,()yu2+hi,(凡/*,/W)=卜。训"(/)，k=印=一11%)"=，尸，=一丁%")|,IH«+bFX产I-+b'kaA-=.rb5 .曲而S上条曲线(C).P是曲线(C)上的正常点，人人人分别是曲线(C)在点P的曲率、法曲率与测地曲率，证明K=+42.证明测地仰率8=A3=A5)=*(d1.A,i)=孑，i=±AsinH(是主法向艮£与法向量行的夹角)法曲率幺=kfit1.=kcos,6 .证明曲线/=e'cosr,e,sin,的切向量与曲线的位置向量成定角.证明对曲线上随意点，曲线的位置向量为=卜co",sin,().该点切线的切向量为:产=e'(cos-sinr),e'(sinr+cosr),则有：CoSO=Aiqi=.故夹角为巴.rr224由所取点的随意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角.7 .证明：若产和产对切，线性相关，则曲线是直线.证明若尸和严对一切，线性相关，则存在不同时为。的/，g使f(t)rX)+g(t)r(t)=().则V/.f(r)×r(O=.又N)=侬口，故0有A(f)=O于是该曲线是直线.网8 .证明圆柱螺线="cos0=sinr.z=/"的主法线和Z轴垂直相交.证明由网意有/(/)=-«sinr.a0>sf.,zj*(r)=-<cos.-<sinr.0»知=-cos/,-sint,0.另一方面Z轴的方向向量为d=(Q1.,而G=0,故4J.A，即主法线与Z轴垂直.9 .证明曲线x="sin"v="sinrcos,z=co”的全部法平面皆通过坐标原点.证明由题意可得/)=asin2M8s2,-sin,则随意点的法平面为asin2/t>(x-<sin21.)+acos21.1.(y-asinrt>costy)-«sin1.(z-«cos0)=O(0,0,0)代入上述方程有左边=«sin2ro(0-sin:,)+wcos20(0-«sint0cos1.)-«sinr(0-acoso)=O=右边,故结论成立.10 .证明曲线=1.+N+Z,=2-2+5RZ=IT2为平面曲线，并求出它所在的平面方程.证明r=+3t+2r,2-2t+5r,1.-r2.产=3+4,-2+10z,-2/,r*=4,10,-2,r=0,0.0(r,r")=0.r=().所以曲线是平面曲线.它所在的平面就是亲密平面:(O)=3.-2.0),0)=4,10.-21.1.厂22-1亲密平面方程为3-20=0,4IO-2化简得其所在的平面方程是2r+3y+19z-27=0.11 .证明假如曲线的全部切线都经过一个定点，那么它是直线.证明设曲线方程尸定点的向径为凡，则/(.V)-=(v)a两边求微商,得”=(三)a+(sya=(sya+s)k0d-4)tf-z(W=由于&成线性无关，二F-'-A=0：.Jt=O曲线是直战.12 .证明假如曲线的全部亲密平面都经过个定点，那么它是平面曲线.证明取定点为坐标原点，曲线的方程为r=r().则曲面在任一点的亲密平面方程为(Q-Xr),产(。,产")=0因任一点的亲密平面过定点，所以(-r(),f*(r),z)=0,H1.1.(/(/),产Q),产")=0所以户=产(/)平行于固定平面，所以尸是平面曲线.13 .若条曲线的全部法平面包含非零常向星？，证明曲线是直线或平面曲线.证明依据己知条件，得GI=O，两边求导，得2=0,由伏宙内公式得AAg=0,i)=0,则曲线是直线:ii)/=()又有可知/I1.0因。是常向量,所以y是常向量，于是IrHf1.=O,所以=0,所以曲线为平面曲线.14 .设在两条挠曲线匚的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应的点的副法线相互平行，证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行.证明=±.A=±1.由伏雷内公式得a=±rS.4=±A进而4=±弓15 .证明挠曲线(r0)的主法线曲而是不行展曲而.证明设挠曲线为尸=尸,则挠率"0,其主法线曲面的方程是:Q=MS)+5(三)取4=Hs).6=4(三),则d'=<i(.v).f>'=BG)=-k+V/所以，(),b,b,=(5),(j),-kff÷)=(d(三),(三),-kd)-¥(,a(三),(三),)=TWO所以挠曲线的主法线曲面不是可展曲面.16 .证明挠曲线(rwO)的副法线曲面是不行展曲面.证明设挠曲线为了=凡s),则挠率r0,其副法线曲面的方程是：p=r(三)+ty(三)取4=f(三).b=/(5)，则a'=d(三).b,=A(三)=-所以，(a,b,b')=(5)(),-)=r0,所以挠曲线的副法线的面不是可展曲面.17 .证明每一条曲线在它的主法线仰面上是渐近线.证明设曲线=心),则曲线的主法线曲面为产)+0。f=a+<.-kd-')=(I-VA)也+丫彳片版),沿曲线(v=0)ti=,.=4"=(Ir火)I-WaRX川y(1.-vk)2+(vr)2'所以生法向量与曲面的法向呈夹角6=.幻=火cos。=0.所以曲线是它的主法线曲面上的渐近线.18 .证明二次锥面/=(”“cosO,bnsinc“沿每一条直母线只有一个切平面.证明f=4"cos。,加Sine.。“。(，,戾皿夕日二+刈肉仍为直纹面.(0,0(WW)=0.所以，曲面可展，即沿每条直母线只有个切平面.也可以用高斯曲率K-O证明.19 .给出曲面上一条曲率线，设上每一处的副法向量和曲面在该点处的法向量成定角,求证是一平面曲线.证明设副法向量和曲面在该点处的法向量成定角4,则M?=COSa两边求做商，得n./+ri.y=0由于曲线是曲率线,所以N,进而Mj=0,由伏雷内公式得一河4=0T=O时，是一平面曲线n=0,即n1.。，Jtf1.=kcos0=O.又因为是曲率线，所以而=-左"=0即n是常向量，所以是平面曲线.20 .求证正螺面上的坐标曲线(即-曲线族V-曲线族)相互垂直.证明设正螺面的参数表示是广。2)=“。08口后!1幺仇，则=cosv,sinv,0.=-“sinv,11cosv,>.=>=cosv,sinv.0-wsinv,wcosv.=0,故正螺面上的坐标曲线相互垂直.21 .证明在曲面上的给定点处,沿相互垂直的方向的法曲率之和为常数.证明由欧拉公式A'=&co/O+&sin'0k'n=1.cos"±(-(h+k2sinj±(0)=1.sin+kzcos*所以儿+<,=4+&=常数.22 .假如曲面上非直线的测地线r均为平面曲线，则必是曲率线.证明因为曲线r是非直线的测地线，所以沿此曲线有万=±A从而才=±(0i+?/),又因为曲线是平面曲线，所以r=0.进一步,=±k.由罗德里.格斯定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线.23 .证明在曲面2=f(*)+U)上曲线族4常数,y=常数构成共屈网.证明曲面的向量表示为/V,y)=x,yJ(x)+(y),卡常数,产常数是两族坐标曲线.4=1.0J')”0.1.*'"I。，。/，%=0。0，&=0,0"),因为M=忆-7rxr-=0,所以坐标曲线构成共和网，QEG-F°即曲线族X=常数,度常数构成共辄网.24 .证明马鞍面z=上全部点都是双曲点.证明参数表示为>(x,y)=x,%q,则=1.0,y.0,1.,x,乙=0.0.0,%=0.0.1,=0.0.0，1r.×f-y,-.v.1.>q=-yf1，"=7Ti=I；2JIG×SIa'+y+11.=Pt1.H=O,Mrnn=-i-N=fn=0,yx1+y2+1.1.V-fi=O×O-=-<0,X-+y+1X'+y+1故马鞍面z=.q上全部点都是双曲点.25 .假如曲面上某点的第一与其次基本形式成比例，即幽闻与方向无关，则称该点是曲I(d11,d)面的脐点：假如曲面上全部点都是脐点，则称曲面是全脐的.试证球而是全脐的.证明设球面的参数表示为f(u,)=RCoSvcosM,/?cosVSinu,Rsin»则=-AfcosvsinN,/Ccosvcosu,0./；=-Afsinvcomu,-Rsinvsin,cosv»u=-/?CoSvCOS,一KOoSvSinM0,J=a=Ksinvsin/，,一RSinvCoSM,0，1.=-/?cosvwsu,-/?cosvsinM,-/?sinv.E=rt,=Ricos2v,F=J.=0.G=ryf,=R,1.=-.-=-Rcov,M=WHu=0,N='=t.=-R,4EG-FiJEG-F)-Jeg-F2.(1.九N)=匕G),故球面是全脐的.A26 .证明平面是全脐的.证明设平面的参数表示为了(x,y)=x,F,则=1.,0,0.=0,1.0,匕=0,0,0，心=0.0,0，y=0.0.0.E=r,rt=,F=r,f,=0,G=<rr=1.1.=心"=0M=0.N=1.y八=0(1.M.N)=O(E.RG),故平面是全脐的.27 .证明曲面+)，=z'的全部点为抛物点.证明曲面的参数表示