函数的概念与表示知识点与经典题型归纳.docx
函数的概念及表示.学问领航1 .函数的定义般地：设A,B是非空的数集,假如依据某种确定的对应美系，使对于集合A中的随意个数X,在集合B中都有唯一确定的数/(M和它对应，则就称f(xy.AB为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x).xeA.留意：函数概念中的关键词(1)A,B是非空数集.(2)随意的A,存在唯的yB及之对应.2 .函数的定义域，值域其中，X叫做自变量，X的取值范围A叫做函数的定义域；及X的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合(x)xwA)叫做函数的值域.3 .函数的三要素定义城，值域和对应法则.4 .相等函数假如两个函数的定义域和对应法则完全样，则这两个函数相等：这是推断两函数相等的依据.5 .区间的概念设是两个实数，而且“力.我们规定：< 1)满足不等式axb的实数X的桀合叫做闭区间,表示为< 2)满足不等式“<x<>的实数K的集合叫做开区间，表示为(%).< 3)满足不等式xv方或<<xM1.的实数X的集合叫做半开半闭区间,分别表示为|”.与，这里的实数都叫做相应区间的端点.实数”可以用区间表示为(F.+).“8”读作“无穷大”，“70”读作“负无穷大”，“皿”读作“正无穷大”，我们可以把满足x,x>”,xb,x<%,的实数X的集合分别表示为,÷>),(,+cc),(-co,ft,(x,).6 .函数的表示法< 1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法.< 2)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法.(3)图像法：用图象表示两个变量之间的对应关系的方法.用描点法画函数图象的一般步骤：列表，描点，连线(视其定义域确定是否连线).7,求函数的解析式的方法(1)待定系数法：适用于已知函数的模型(如一次函数，二次函数，反比例函数等.< 2)换元法:适用于已知/(g(x)的解析式,求/().(3)消元法:适用于同时含有/(x)和,或/(x)和/().8 .分段函数在它的定义域中，对于自变显：的不同取值范闹，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数.9 .映射的概念设,B是两个非空的集合，假如依据某种对应法则，使对于集合A中的的.窗一个元素X,在集合B中都有唯一确定的元素/（八）及之对应，则就称对应/(x).AB为从集合A到集合B的一个映射.留意I由映射的定义可以看出,映射是函数概念的推广，函数是种特殊的映射，要留意构成函数的两个集合A.B必需是非空数集.e线聚焦【例1】F例图象中不能作为函数的是().ABCD解：答案为B因为B中存在X,使得有两个.y及之对应.【例2】已知函数.(D求函数的定义域.<2)求/(一3)J(6)的优(3)当4>0时，求/()JS-I)的值.解：(1)使得77J有意义的实数X的集合是xxN-3,使得一二有意义的实数K的集合是WX-2),x+225T所以，这个函数的定义域就是X2-3上1.-26)=673+-(3)因为>O,所以/(),/(4T)有意义,f(a-1)=Ja-I+3+=Ja+2+-1+24+1【例3】已知/()的定义域为0,2,求f(2-1.)的定义域.解：由题意知，02v-1.2,所以所以/(2x-1.)的定义域为【例4】求下列函数的值域.(I)y=77+(2) y=-4.r+6.re1.,5(3)(4) y=x+>2x-解：(I)因为70,所以7+1.1.,所以y=7+1.的值域为Um).(视察法)<2)配方,=(x-2)2+2Xg1.5,所以2My1.1.,所以y=V-4x+6.xd.5的值域为2.11.(配方法)Xx-3+33<3)V=I+x-3x-3.v-3因为，所以,丫工1所以的值域为1.y>H1.(分别常数法)(4)设“=2.v-1.,贝U”之。且所以即所以Y=X+£7=7的值域为.(换元法)【例4】卜.列函数中哪个及函数y=x相等()A.y=(v)'H.y=C.y=G'D.解：函数)，="的定义域为/?，对应法则为y=x.A中y=(J7)2的定义域为0,o),所以,v=(J7)2及Iy=X不是同一个函数：B中y=J7的定义域为R,且N=MJ=x：y="7及y=x的定义域和对应法则都相同，所以为同一函数：C中y=JF的定义域为R,但Iy=G'=1x1，所以y=JF及y=x不是同一个函数：D中的定义域为xXK0,所以及y=x不是同一个函数.所以，应选B.【例41某种笔记本的单价是5元，买NXW1.,2,3,4,5)个笔记本须要)，元.试用函数的三种表示法表示函数),=/(!).解：这个函数的定义域是数集1.2,3.4.5)用解析法表示为y=5A.r(1.234.5列表法表示如下：第记本数X12345钱数V510152025用图象法可将函数表示如卜图:y252015-105-I1.1.1.1.512345留意：(1)函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线，折线，离散的点等等.(2)函数的定义域是函数存在的前提，写函数解析式的时候，般要写出函数的定义域。【例5】已知/(x+D=2x+3,求/(X)和/(-1).解：令，=x+1.,OJ1Jx=Z-I,所以/=2(-1.)+3=2+1.,所以f(x)=2x+1.,所以f(-1.)=2x(-1.)+1.=-1.留Ih此方法为换元法.【例6】已知/(x)是一次函数./(/（八）)=4a-1,求/的解析式.解：设/(X)=Ax+尔VO),则/(/(x)=f(kx+b)=k(kx+切+b=k2x+kh+b=4x-i对比系数得解得或所以函数/(x)的解析式为或/()=-2x+1.留;t:此方法为特定系数法，适用于已知函数的模型(如次函数.二次函数.反比例函数等).【例7】已知3(x)+2/(一)=X(XX0),求/(X)的解析式.X解:用上代誉K得X所以消去解得留意：此方法为消元法求函数的解析式，适用于同时含有/(K)和.或/(K)和/(f)【例8】已知函数(1)求的值.<2)若/(x)=3,求K的值.解：(1)/(3)=2x3=6/(-5)=-5+2=-3(2)若x-1.,则x+2=3,解得x=1.,不满足xM-1.,舍去：若一1.<x<1.,则/=3,解得x=6或x=-6，x=-6不满足一1.<x<1.,舍去:所以X=6：若X之2,则2x=3,解得，不满足”之2,舍去.【例9】画出函数y=x的图象.解：依据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图：例10某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1) 5公里以内(含5公里)，票价2元：(2) 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里的按5公里计算).假如某条线路的总里程为20公里,请依据题意，写出票价及里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.解：设票价为y元，里程为X公里，由题意可知，自变量X的取值范围是(0,20.由“招手即停”公共汽车票价的制定规定，可得到以下函数解析式：依据这个函数解析式，可画出函数图象,如卜.图：Yb双基淘宝细致读题，确定要选择最佳答案哟！1 .下列说法正确的是()A.函数值域中每个数在定义域中确定只石个数及之对应B.函数的定义域和值域可以是空集C.函数的定义域和值域确定是数集D.函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了2 .下列说法中正确的为()A.)'=八6及)'=就表示同个函数B. y=/及y=<x+1.)不行能是同一函数C. .Rr)=1.及0=，'表示同一函数D.定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数3 .下列函数完全相同的是()A. )=M>g()=()2B. /(A)=kbg()=?(1)C.AV)=WI，go?f9Dg(x)=x+34.图中(1)(2)(3)(4)四个图皴各表示两个变室a.y的对应关系，其中表示y是X的函数关系的有5.下列集合A到集合3的对应/是函数的是()A.A=-1.,OJb=(0,1.fzA中的数平方B.A=0.11.Zf=-1.0.1),/：A中的数开方C.A=Z.B=Q,/：八中的数取倒数D.A=R,8=正实数,/：A中的数取确定值6.下列两个函数是否表示同一个函数/(x)=x;g()=W7即2<3)f()=2;(.t)=(>,)<4)f(x)=x;g(x)=x17.求下列函数的定义域(1)<2)f(x)=11"+2-8 .已知函数/(2x-1.)的定义域为(-1,5,求/*)的定义域.9 .求下列函数的值域<1)y=x2-2x+3,XGR(2)(3) y=2.t-.v-1.10 .已知|r)=j7%xR且x-1),(.r)=x2+2(.vR).求购,g(2)的值：求加)的值.11 .已知函数)=M11(aV0且为常数)在区间(-8,I上有意义，求实数。的取值范.12 .画出下列函数的图象：(I)f(x)=2x,xeR,且2<2)f()=x+2,*eN,且x3)13 .已知二次函数/*)的图象过点八(0.-5),仇5,0),其对称轴为X=2,求其解析式.14 .已知/(x+1.)=F+2x+2,求/(x)的解析式.15 .已知/()+2/(T)=3x+V,求/(x)的解析式.Ir-3r>9曲<9求"的值17 .已知/()=3"'X"),求使得f(x)2-1.成立的X的取值范围.TX-I)2,x>018 .某市居民自来水收费标准如卜丁每户每月用水不超过4吨为每吨1.80元，当用水超过4吨，超过部分每吨3.00元，某月甲，乙两户居民共缴水费)，元，已知甲，乙两户的用水量分别为5.r,31(吨).(D求y关于X的函数:(2)若甲，乙两户该月共缴水贽26.40元，分别求出甲，乙两户该月的用水量和水贽.
