函数的奇偶性、单调性、最值综合问题探究.docx

函数的奇偶性、单调性、最值综合探究新泰一中闫辉学问梳理1 .函数的奇偶性：<1)奇函数：假如对于函数y()的定义域内随意个X,都有/(-X)=-(x)(SJc(x)+f(-)=0),则称/CO为奇函数“(2)偶函数：假如对于函数/(x)的定义域内随意一个X.都有f(-.v)=<-)(f1.Jt(x)-/(-X)=0).则称f(x)为偶函数.(3)奇、偶函数的性质具有奇偶性的函数，其定义城关丁原点时称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称).奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于S轴对称.若奇函数的定义域包含数0,则/(O)=S奇函数的反函数也为奇函数.奇偶函数的运算性质：设y=f(xKxD)为奇函数，y=g(x)(x6)为偶函数，O=A2,则在D上有：奇士奇=奇(函数)偶士偶=偶(函数)奇X奇=偶(函数)偶X偶=偶(函数)奇X偶=奇(函数)2 .函数的单调性：(!)增函数、减函数的定义般地，对于给定区间上的函数尸/(x),假如对于属于这个区间的KS意两个自变量的值用、4，当箱<X2时，都有/(不)</(«>(或都有/(用)><X2).那么就说/(*)在这个区间上是增函数(或减函数).假如函数T(X)在某个区间上是增函数(或减函数)，就说/(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，这区间叫做/(r)的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间.(2)函数单调性可以从三个方面理解图形刻画：对于给定区间上的函数f(r),函数图象如从左向右连续上J1.-.则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减.定性刻画：对于给定区间上的函数/(x),如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上雎调递增，如函数值随自变鬓的增大而减小，则称函数在该区间上单调递她.定址刻画，即定义.(3)关于函数单调性的几个!应要结论和函数的单调性：若y=f(x)与y=g(x)在公共区间D内都是增(诚)函数,则函数y=f(x)+g(x)在D内是增(减)函数.若y=f(x)在区间D内是增(减)函数，则函数y=kf(x)k>0(k<0)在D内是增(减)函数。奇偶函数在对称区间上的单调性奇函数在(a,b)和(-b,-a)(a<b)上单调性相同，偶函数在3b)和(-b,-a)(Xb)上单调性相反。3 .函数的最值：(I)函数的最值的定义：定义：一般地，函数y=f(x)在4处的函数值是f(x0),假如对于定义域内随意X,不等式f(x)2NXo)(f(x)Wf(xo)都成立,那么f(X0)叫做函数y=f(x)的最小值，(最大值)记做：ynin=f(xo)(yma=Mxo)>(2)求函数最值的常用方法有：(1)配方法：将函数解析式化成含有臼变批的平方式与常数的和，然后依据变量的取值范围确定函数的最值：(2)换元法：通过变员代换达到化繁为简、化难为易的目的。(3)数形结合法：利用函数图象求出函数的最值.(4)函数的单调性法.一、函数奇偶性的判定问迤。【例1】推断下列函数的奇偶性：(1.)(x)=x+1.-k-1.;(2) f(x)=(-1)；(3)/()+2-2：(4)/()Jx(I-X)1x(1+x)Cr<0),(x>O).剖析：依据函数奇偶性的定义进行推断.解：(1)函数的定义域KW(8,+8),对称于原点."f(-X)=-+1.-II=Ix-1.-k+1.=-(x+1.-k-1.)=-()*.,(X)=A+1-|x一1|是奇函数.(2)先确定函数的定义域.由三20,得一1.<x<1.,其定义域不对称原点，所以/()既不是奇函数也不是假函数.(3)去掉肯定值符号，依据定义推断.由尸一得已I；匚+2-2O.IXHo且XHY故J3的定义域为-1，0)U(0,I,关于原点对称，且有x+2>0.从而i-.t、JI-x'V-.t2'->4yrftJ-()'JI-X'.,V有f<.v)=-,这时有/()=-=-=/(.V),-2X-.tX故f(x)为奇函数.(4)V函数的定义域是(一8,()U(0,+«),并且当x>0时.-,r<0.：.f(-)=(.-)1-(-)=-(1.+x)=-/(x)(x>O>.当XVO时，一.r>0,：.f<-)=-(I-X)=-/()(XVO).故函数/O为奇函数.评述：(1)分段函数的奇偶性应分段证明.(2)推断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.二、奇偶函数的解析式问趣。【例2】已知f(x)是奇函数，当x(0,1)时，/(x)=Ig-1.,那么当I+.V(-1,0)时，/(.V)的表达式是.解析：当XW<1.0)时，一<0.1).(,r)=/()=-=Ig(i-).答案：f(x)三Ig(1-X)三、奇偶函数的图象问题。【例3】卜面四个结论中，正确命题的个数是偶函数的图象肯定与)'轴相交奇函数的图象肯定通过原点偶函数的图象关乎)，轴时称既是奇函数，又是偶函数的函数肯定是/(x)=0(XR>()A.1B.2C.3D.4解析：不对：不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点：正确：不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为/(x)=O(XW(一“，”)答案：A四、函数单调性的判定问题。【例4】证明:函数/(x)-+x是增函数【例5】探讨函数f()=卢<>0)在x(-1,1)上的单调性.X-I解：设一IVx1.VX2V1,则/5)-/5)X-1工？_xj_aqxj_rr(xj-xi)(x,+I)(XJ-D(XJ-DU2-1Xx22-1).I<.n<2<1.*2-,11>0.11X2+I>O.(.112-1)(.xr-1)>0.X,«>0.(.t)-/(-2)>0,函数f(x)在(-1.1)上为减函数.五、函数单调区间的求法问题。【例6】求函数y=x+1.的单调区间.（对号函数【增减减增】剖析：求函数的单调区间（亦即推断函数的单调性），般有三种方法：（1）图象法：（2定义法：<3）利用已知函数的单调性.但本题图您不易作，利用产X与尸的总谢性（一增一减）也难以确定，故只有用单调性定义来硬X定,即推断了（X2）-<x）的正负.解：首先确定定义域：xUH0,，在（-8,0）和<0,+）两个区间上分别探讨.任取XI、2（0.+8）旦<.V2则f（XI）f（.V2）=+-=XM-I-r1.×1(,11-2)+9=(x-,)(1)=(x-x>)*1.x2（1）当XI、2（0.I）时，：.f（.V1.）-/（-2）>0,为减函数.（2）当,、X2（1,+8）时，.（x）-f（）<0,为增函数.同理可求（3）当XI、-2（-1,0）时，为减函数：（4）当XKX2（-8,-1）时，为增函数.评述：解答本题易出现以下错误结论：/（X）在（-1,0）U（0,1）上是减函数，在（-8,I）U（I,+）上是增函数，或说/（）在（一8,0）U（0,+8）上是单调函数.解除障碍的关键是要正确理解函数的单调性概念：函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交区间的并.深化拓展求函数产产g（>0）的单调区间.X提示：函数定义域rH0,可先考虑在（0,+8）上函数的单调性，再依据奇偶性与单调性的关系得到在（-8,0）上的堆调性.答案：在（一8,.（4a>+o°>上是增函数，在（0,&,（一8,0）上是减函数.【例7】求下列函数的单调区间:(I)J=x2+-(x<0)(2)y2x-2x+1(3)y三-x1+2x+3六、函数奇偶性与单调性的应用。【例8已知函数/(*)=。*'+/"+，/(2)=3,求/(-2)(2)已知/(x)是偶函数，g(x)为奇函数,f(x)+g(x)=x'+2'求f(x)0(3)求函数/(X)=的值城。x2+4七、二次函数在区间上的最值问题。【例9】求函数J-2+3x-1在区间1.2上的最大值和最小值.【例10求函数Iy=-X'+2x-3在区间,+1上的最大值。【例II1.求函数)，=x'-2"x-1.在区间0,2上的最大值和最小值。闯关训练1 .己知函数f()=ax2+bx+c(0)是偶函数，那么g(x)=ax3+b.x2+CX是A.奇函数B.偶函数C既奇且偶函数D.非奇非偶函数解析：由/(x)为偶函数，知匕=0,有gCr)=ax3+cx<a0)为奇函数.答案：A2 .已知/(x)=加+区+3+”是偶函数，且其定义域为。-1，2d,则ab=.解析：定义域应关于原点对称，故有“一1=一%，得又对于所给解析式，耍使/(一外=(x)恒成立，应=0.答案：IO3 .给定函数:V=1.X0);)=+|：产2Fy=1.ogx:月。gMx+GTT).X在这五个函数中，奇函数是.偶函数是,非奇非偶函数是答案：QXg)©4 .下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是/X.y=-x+1B.)=C.y=x24.v+5D.v=ZX答案：B5 .函数产Iog“(f+2r-3),当，=2时，y>0,则此函数的堆调递减区间是A.(一8,-3)B.(1.+)C.(00，I)D.(1.+°°)解析：当=2时，y=1.ogx5>0,.”>1.由F+2-3>0nV-3或x>I,易见函数r=f+2t-3在(-8,-3)上递减，故函数产IOg“(f+2t-3)(其中>1.)也在(-8,-3)上递减.答案：A6 .(2003年北京朝阳区模拟题)函数产1%,仅一3|的单调递减区间是解析：令M=K-3,则在(一8,3)上“为X的减函数,在+8)上“为X的增函数.又.O<gv,.在区间(3,+)上，)，为X的减函数.答案：(3,+8)7 .有下列几个命题：函数)=22+x+I在(0,+8)上不是增函数：函数产一在(-8,.r+I-I)u(-1.+)上是减函数；函数产J5+4X-Y的单调区间是-2,+8)：已知/()在R上是增函数，若+)>0,则有/()V<)>(-f1.)V(-b).其中正确命题的序号是.解析：函数产2?+.什1在(0,+«)上是增函数，.错：虽然(一8,一|)、(-1,+)都是v=1.的单调减区间，但求并集以后就不再符合+1.减函数定义，二错：要探讨函数产j5+4x-i的单调区间,首先被开方数5+4-0,解得一IWxW5,由-2,+8不是上述区间的子区间，二错；.f(x)在R上是增函数，且>-b,.8>-,f()>(-h),f(b)>(-),()+/()>/(-«)+/-(-/>),因此是正确的.答案：8 .若f="2,；：-2为奇函数,求实数。的值.解：."R,.要使/(口为奇函数,必需J1.只需/(x)(一)=0,即a-+a-=0.得=1.2'+12x+19 .(文)假如函数/(x)=v2+2(Q-I)X+2在区间(-8,4上是减函数，那么实数«的取值范围是.解析：对称釉=1.,由Ia4,得“W3.答案：W-3巩固：假如函数f(X)=+2x+2的单调减区间是(一8,4,那么实数a的值是答案：a=-3(理)(2003年湖北省荆州市中学毕业班质量检查题)函数y()的图象与尸2,的图象关F直线严*对称，则函数)(4一r)的递增区间是解析：先求产2'的反函数，为尸1.og2x,."(x>=Iogix,/(4x-2)=Iog2(4.r-2).令=4x，则”>0,BJJ4.t-.v2>0.r(0.4).又t4的对称轴为尸2,且对数的底为2>1,，)3(41.F)的递增区间为(0,2).答案：(0,2)10 .探讨函数/O=丝里(a-)在(一2,+8)上的单调性.x+22解：设.口、.为区间(-2,+8)上的随意两个值，且rV.c,则小)一个"竺山-竺山x1.+2a+2_(a+1收+2)-(1“2+1乂.0+2)(x+2K-+2)_(x；-x)(1.-2<<)(.V1+2X.r,+2)'V.r(2.+8),2(2,+«>)J1.x1.VX2，.,.n->0.x+2>0,X2+2>O.当1.-2a>0,即aV；时，/(1.)>(-2).该函数为诚函数：当-2a<0,即a>g时，</(.n),该函数为增函数.I1.若奇函数/(X)在a,ft上是增函数，且最小值是1.则/()在一b,a上是A.增函数且最小值是一IB.增函数旦最大值是一1C.减函数且最小值是一ID.减函数且最大值是一1解析：/（八）=1»(a)=-1.答案：B12.d1.(x)是定义在一1，门上的奇函数，旦/(1)=1.若a、/,-1.1,a+6W0时，有"包土八”)>0.ajrb推断函数f(3在-1.1上是增函数还是减函数，并证明你的结论.解：任取XI、X21.1.1.1.x<2.则一X2W1,I.又/(X)是奇函数，于是f<1)-/(.n)=<)+f<-n)="W/S(Xf).V,+(-X2)据已知内)+(-q)>o,xi-x2<o,×1.+(-Xj).()-/(X2)<0,即，(X1.)<(2).(X)在一I,门上是增函数.学问梳理考卷1 .函数的定义：设八、8是非空的数集，假如按某个确定的对应关系f使对丁集合A中的随意一个数X,在集合"中都有的值f(x)和它对应，那么就称f：A-3为从集合A到集合8的一个函数，记作V=,xA,其中X叫做.V的取值范围A叫做函数的;与*的值相对应的y的值叫做.函数值的集合(x)xA叫做I2、常见函数定义域：V=-定义域为；,v=I.定义域为；Xy=1.ogtf5定义域为°其中a的取伯范网是。3、函数单调性：己知函数)=(x>,给定区间D,对随意x,X2wD,设x<X'.胃如.:函数/(x)在区间D上为.假如,就称Gi数.反之：假如函数f(X)在区间D上为减函数，则对区间D内随意X“2,XWXQ,核如函数"x)在区间D上为增函数，,其中区间D称为函数/(x)o4、函数奇隅性：对函数/(x)定义域内的随意一个X,较如都有厚么函数”X)就叫做奇函数,假如都有那么函数f(x).函数定义域关于原点对称是一个函数是奇函数或偶函数的条件，也就是说：假如由数定义域关于原点非对称，则函数行定是函数，5,"x)为奇函数u(x>图像关于对称：“X)为偶函数u(x)图像关于对称.6、复合函数单调性：设y=(x)的定义域为D,y=g(x)定义域为A,值域为B,旦BuD,/(X)在D上是单调的，g(x)在A上也是单调的，则函数y=g(x)在其定义域A上也是单调的，填表，南数单调性y=y=g()y=Z1.S(X)J单询性用/、表示.