函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳.docx

函数项级数的一样收敛性与非一样收敛性判别法归纳-定义引言设函数列Z,与函数/定义在同一数集。上，若对任给的正数£,总存在某一正数N,使得当>N时，对切XG。，都仃IA()-W<则称函数列S在上一样收敛于/(x),记作nW(x)(n).XGD设%(x)是定义在数集E上的一个函数列，表达式u1.(.v)+M2(.v)+un()+-,eE称为定义在Ejt的函数项级数,简记为或>>“(外：称n«1.SI1.(X)=£"a(x),xeE,r=1.,2.-(2)*=1.为函数顶级数的部分和函数列.设数集。为函数项级数S>,(6的收敛域，则对每个xw£>，记S(X)=£“<r),即三*1.n1.IimSII(K)=S(X),xw。，称S(X)为函数项级数£“"(*)的和函数，称<,(x)=5(x)-5”(x)"*x<r三1.为函数项级数的余项.定义1川设S<x)是函数项级数Z的部分和函数列，若5)在数集。上一样收敛于函数S(X),或称函数项级数Xu,1.()在。上样收敛于S(X),或称X%()在D上样收敛.由于函数项级数的一样收敛性是由它的部分和函数列来确定，所以可以依据函数列一样收敛性定义得到等价定义.定义2川设S*(x)是函数项级数Z"，*)的部分和函数列，函数列S,(x),和函数S(M都是定义在同一数集。上，若对于任绐的正数£,总存在某一正整数N,使得当”>N时，对一切xw。，都有母(X)-S(r)<g,则称函数项级数在。上一样收敛于函数S(X),或称Z，!(x)在。上一样收敛.同时由因,(X)I=IS“(X)-SeV)I<万，故RvM在XeD上一样收敛于0.定义3设函数项级数Z“(x)在区间力上收敛，其和函数为S(X)=部分和»1-1函数歹US1.)(X)=S1.a),若现>0.VNNt,3n,>N及3r'w),使得卜(X)-SIVa')%,A-I则函数项级数1.tn(X)在区间D上非一样收敛.例1试证'在卜r.r(0<r<D上样收敛，但在内不样收敛.U-I证明明显£/在(-U)内收敛于卢对随意的£>0,欲使当a>N和-rVxr时，恒有成立，只要当>N时,恒有尸<I-r成立，只要当>N时,恒有Igr成立，只要当>N时，恒有Igr成立，只要取N=即可.依定义，在-r,r上一样收敛丁一存在q=2,对随意自然数N,都存在*=N+I>N和=*w(-1.1),使ef+2成立，依定义，Xx"在(-1.1)内不一样收敛.二函数项级数一样收敛性的判定方法定理1CaUChy一样收敛准则内函数项级数Z(x)在数集力上一样敛的充要条件为：对V£>0,总使得当>N时，对一切Xe。和一切正整数p,都有|Sx)-Sh(N<£Wz(r)+“73+K%(d<特殊地，当P=I时，得到函数项级数一样收敛的一个必要条件：推论1函数项级数在Z/()在数集。上一样收敛的必要条件是函数列%(x)在。上一样收敛于O.定理2函数顶级数£.(x)在点集。上一样收敛于S(X)的充分必要条件是：定理3放大法5S,(x)是函数项级数Z“(X)的部分和函数列，和函数S(),都是定义在同一数集。匕对于陵意的明存在数列E(%>0),使得对于Vxe?.有限=IS(X)-S,<«,J1呵a”=0,则称函数列S<x)一样收敛于S(x),即函数项级数Z%(x)在。上一样收敛于函数S(x).证明因Iimaa=0,故对任给的£>0,口VgN.(与K无关)，使得当>N时,对一切*xxgD,都有|&(“=|S(X)S,(X)Ma,<£,由定义2得函数列S*(,r)一样收敛于S(x),即函数项级数W><6在。上一样收敛于s(x).注:用放大法判定函数项级数Z",(6样收敛性时,须要知道S(X).定理4确界法函数项级数在数集Q上一样收敛r5")的充要条件是IimSUdR“=IimSUdS(X)-S“(“=。"f8!>fJMtD证明充分性设b(x)是函数项级数Z.(x)的部分和函数列，S(X)为和函数，则HKI1.(X)=-v(.v)-5(a),并令“=SupC(.v).IfijIimsupRo(X)=。，即Iima1.t=0,由定理3(放*9°wDC大法得知函数项级数W>1.t(x)一样收敛于函数S(X).必要性注：实质上是用极值的方法把一样收敛问题转化为求数列极限的问题.定理5若W,(x)在区间。上收敛,则WX,(X)在。上样收敛的充要条件是VxnuD,有IinI凡(X)=0.证明充分性假设Z”(x)在。上不样收敛,则M,>0,XrJu，使得W(X)-S(.q4,如此得到k,u。，但凡3)0,这与已知条件冲突.必要性因已知Z“(x)在。上一样收敛,所以Ve>03V,使得当>N时,对切e0,都有IS“(x)-S("<£,对于Vxju。，则有IS(Ia(I)-S(J<£,即4(x,J<£,得理&(X1.I)=0.x例2设«)之0,"=1,2，在卜间上连续，又EX(X)在鼠可收敛r连续函数f(x),则Z“X)在”一样收敛于/(.t).证明己知R,(x)=(x)-S"(*)(其中工W=S%(x)是单调递减且趋ro,所以“乂,4/有,卜)20,且V/w,8V6>0,mN”>0,“2%际,)时，有OS4/)<£.将固定，令=MI=N(5因为.(X)=/W-SII(X)在上连续,既然Rn(x)<e,所以>0,当XW(X(I+a)时，R1.,(xu)<.从而>N»时更有R,(x)<s即R,(X)<£,仅当XG(XO-2,与+品).如上所述,对每个点占w,",可找到相应的领域(内-3.孙+2)及相应的N八使得n>Nyt时,对.rw(.一心,5+2)恒有R1.t(x)<,如此(X,-外山+瓦)：七w卜,皿构成卜的一个开检盖,从而必存在有限子覆盖，不妨记为(x-6),x+6j-&,x,+6,),于是Vxe“，总ie24使得X(巧-6,巧+可)，取N=mixN,N?,N,那么>N时,恒有f,(.t)<,由定理5得E“(x)在卜,样收敛于/(x)定理6M判别法或优先级判别法或Weierstrass判别法川设函数项级数W>,(x)定义在数集。上，M,为收敛的正项级数,若对切xgD,有u,().j=I.2则函数项级数、>4)在。上样收敛.证明由假设正项级数Z“(x)收敛,依据函数项级数的CaUChy准则，V£>0,三某正整数N,使得当>N及任何正整数“旬+也/=/此,<£乂由对一切XG£),有“(©+"倒*"曰+,®M/“+M“”<£依据函数项级数一样收饮的Cauchy准则,级数W><x)在。上一样收敛.注:若能用从判定£.(工)样收敛,则£，.(»必是肯定收敛，故M判别法对条件收H-I*-1敛的函数项级数失效.例3函数项级数Z"“'Z容在(-8,田)上样收敛,因为对物XC(-8,田)fAr有空竺MIj智IM1.,而正项级数Z、是收敛的./rniIniI/Ktr推论2设有函数项级数Z4(x),存在-收敛的正项级数£¢,使得对于Vxg/,有Iim邑®=HOk<+r),则函数项级数£与在区间/一样收敛""。内CT证明已知Iim也®=MoA-<+o),即3o>0.3NeN,.Vh>NKX亡/.有>an以V/即其®<6)+k,从而h("v(%+kh,又因为Sa“收敛,则£(q+*>n以Raco也收敛,由M判别法得函数项级数j>,(x)在区间/样收敛.u1.由广义调和级数£十，当p>1时收敛,故当.=J时,有推论2'设有函数项级数(外,若存在极限"h")=A且0R<Ep>I,则11=1.*_*x*函数项级数W><x)在区间/样收敛.例4证明函数项级数y?在0,8)是一样收敛的.11(x+mX+11+1)证明对于工丽T存在收敛的正项级数，'且Iim/!=Iini=I由的推论2与推论2'得,I-(x+11Xx+«+I)»«(+mX+11+1)yr在0.8)样收敛.tr(x+MXx+11+1.)定理7比较判别法国两个函数现级数2>,(x)与W>K6,若利,GN,当T>NUXXG/有k<Cn(其中C为正常数)，且函数项级数ZVII(K)在区间/肯定一样收敛,则函数Z“(x)区间/肯定一样收敛.证明已知2><r)在区间/肯定一样收敛,即对v>0(其中C为正常数,3iV1.N,Xfn>Ar1.及PGMxG/，有卜马+Wz(x+卜回<-:又由条件知3N0,V>N0,xG/有W1.t(K)I<cvb():取N=In1.XW,Nn,当>N.TpMxe/,有%W1.+%向+%(”<也“+v4,(xJ+除。（三）<°5=£.由收敛级数一样收敛CaUChy准则知，函数项级数Zha)I在区间/一样收敛，从而函数项级数Z“(X)在区间I肯定一样收敛.定理8若有函数级数Z(A)与vw(),3r,1.eN,V>N“Exe/有m)<cvi(.v)(K<为正常数)，且函数项级数fv“(x)在区间I样收敛,则函数v-1.Z”,(x)区间/肯定一样收敛.三1.证明已知训。>m,xc/,有Ha)I<小】(“(其中C为正常数).又函数项级数£>“(6在区间/肯定一样收敛,即V£OJMNEn>N、pgN”1,A-IC有卜;1(X)+vn,2(x)+-+vn,p(N=J(x)+Vntp(x)<£:取N=In1.XN>NJ,当W">N,pwN,Xw/有w11.>3+"z()+%WMKWH-+卜”.向<dk()+%)VC-=Ec从而函数项级数Z%()在区间/肯定一样收敛.推论3比较极限法若有两个函数级数与EViIahXrHo),且有山霏=A且0A<+8,若级数>,(x)在区间/肯定样收敛,则函数Z4()在区间/也肯定样收敛.ISM-使证明由Iimf=A且0£<+00,即Vf1.1.>0,311WM当>MXw/有|<k+ei,=C且c=A+%>0.V/j>N及XW/有W(Xr)<小式*1，乂级数ZHicr)在区间/肯定样收敛，由比较判别法定理7知级数£%(只在区间/肯定样收敛.推论4有函数列1.(X)在区间/上一样有界,且函数级数£>“(»在区间/肯定一-1样收敛,则函数级数>“。>，,卜)在区间/上也肯定一样收敛.证明由己知函数列=(x)在区间/上一样有界，即3M>(),V»GMK/有卜式”M,使当V”N.x6/有W1.I(X)F(Mfvn(),又因函数级数Z匕()在区间/肯定一样收敛，由比较判法定理7知，函数级数Z“(小式6在区间/上肯定一样收敛.例5若函数级数>>,(x),Zq(X)在区间/一样收敛,且U.有i,u)(x)c(.t),则函数项级数Zaa)在区间/上一样收敛.证明由条件函数>>“(.»”(6在区间/一样收敛，则级数工化,卜)-4,卜)在区间1上一样收敛.又WneN.xe/有Q11(x)s"(x)sq(x),故OS2(x)-""(jCi(X)-4(.t)且级数XgI(X)-4,(x)在区间/肯定一样收敛，由定理8知,级数Z(,(x)-a03)在区间/上一样收敛.又已知ZC(K)在区间I始终收敛,从而级数(x)=W(x)-4(*)+4(x)=>.(x)-2(x)+Zq(X)在区间/上一样收敛推论5设函数项级数Z“(X)定义在数集山上，>“()在上一样收敛且乙()>0,若对切xw。，有|4("之以x)1.2,则函数项级数Z%(x)在。上样收敛.时,AURSi1.(x)-S()=f8,故E"<x)在(-1.1.)内非一样收敛.注：极限函数知道时值得用3利用定理5的逆否命题定理29设Z“（八）=S(H,若存在x=u。使得乙(XjW0,则Z",()在。上不一样收敛.证明略.注：此定理比较好用.4利用Cauchy准则逆否命题(小4定理30函数项级数£%W在区间力上非一样收敛的充要条件是存在>0,XfNeN,.3nr,>N.3x,gD.使得证明它是CaUChy准则的逆否命题，故成立.例18探讨ZX詈在。=0,2句上的一样收敛性.解取%=1sin|，32对V/V/V.,3nw>N,p=nn+,及Xe=药；十0G0.2”使故呼在D=MM上非一样收敛注：该类型关键是要找出七与4及P之间的关系,从而凑出该类型题也有种简便方法，即取P=I能适用于许多例题.此方法比较好用，优先考虑.推论18函数列"<r)在上非一样收敛于0,则函数项级数(x)在数集。上非一样收敛.证明它是推论1的逆否命题.故成立.例19设“(K)=cos1"；"”sinJTxe(-.),探讨函数顶级数Z/()的2nn+1f2fi11+I)J样收敛性.解(X11=2,i(m+1),!1.JIimzm(x1,)-0(=Iimcos(211+1.)sinI,此极限不存在，所以“(*)在定义域内亦一样收敛于0,则E>.()在Xe(-8,8)内非一样收敛.推论19国若函数项级数、>,")在区间。上逐点收敛，且在区间。中存在一点列x,使她“xjwO,则函数项级数».(x)在区间。上非一样收敛.例20探讨之叫1+£|在(0.+)上的一样收敛性.5d=/',知n,fR(XI=4三-三卜所以湍产MT)解因为VxG(0.+®),3«.。使X4,仃一n在(0,y)上非一样收敛.5利用求极值的方法定理31月(x)=£iq(x),若1.,imsuj*.h0,则Z",(x)在。上不一样收饮.例21证Z<(1.-x")在0,1上到处收敛，但不一样收敛.证明因为e>"(t")=w×-z-,对XGk)J),与Er,都收敛，所以Zx"(1.-.r")收敛，x=1.时Z"(1-x")=0收敛，故(I-XM)在0.1上到处收敛：而n“一5产=+00,故Z(1.-")在,1.非一样收敛.Cn)注：极限函数知道时，可考虑用.6利用一样收敛函数列的一特性质判别问引理2若连续函数列f,(x)在区间。上一样收敛于7（八）,则Mv.eO,V-11D,IimS=5，有血】.Ck)=k)*XQfR证明由伍(X)在。上一样收于/(r),即有IimSU"3-/("=0,也£0，*r*.rcPVxnuO:Umxe=x0,有IX1.(Xj-(xj4sug>()/(“，得蛔x1.t)-f(x)=O.依据连续函数列优(x)在区间。上一样收敛于/(x),则/(x)也必在。上连续，从而Iimz1.(XiI)=/(x,)*x定理32连续函数项级数()在区间。上逐点收于SQ),且*1,eD,3xnDIimAs=xt,有:5<%)*5()则函数项级数、>"6)在区间。上非一样收敛于5(.丫).例22探讨Z-A-T在(-8,田)上样收敛性.1+zrx解明显Z“(”在(-8,+<)上逐点收，且每一项都在(-8c)上连续，取x=-(w=1.2)W1JIimxr=0.再设“*(X)=ri,由定积分概念Iim%3)=Iim£；-KG"-*trr+)-=in1.1.J'-H+feK=5(o)=o故知ZT-F在(一8.m)上非样收敛.1+n*推论20设连续函数列(x)在区间。上逐点收敛I1.在。中存在数列aj和也满意条(JKD1.imUIt=Iimb,1.=xt,.(i,g。)：Iim5i,(u)=A.IimSn(/，I1.)=A,而AH3则S*(x)r->K>->4CTRC-皿在。上不样收敛.例23探讨S1.I(X)=X("=2)在0J上的一样收敛性.解(x)这个连续函数列在0.1上逐点收，先取11=1.,(/J=1.2,-).则Iimaj1.=In)有IimS/.,)=1.im(1."-产)=0HTR'又取“=也，(«=1.2.-),则向也=I且IimS"(")=1.imU=v*M-X-24)2由，极限不同，所以由推论20连续函数列S,(x)在0,1上不一样收敛.7利用端点发散性判别定理33函数项级数>,(x)定义在(。(或(4,÷)上.对VeN.函数%(x)都在x=点右连续，但级数Z(（八）发放，则函数项级数Z0(x)在("(或(.+)上非一样收敛.(注：在(-8,)(或仁编)内也有相应结论.)证明反证法.设ZUIt(X)在(0,M(a,y>)上一样收敛，即V£>0,3rN.,5eN,Vx(atb或(a,+*),有,IHJ(X)+“Mx)+"f(”<£XBSVnejV4,%(x)在左端点x="(右)连续，令t"(或),对上式两端取极限得M“+G,(”E,知Z心收敛，与已知冲突，故Z"11(x)在(a©(或(a.o)上非样收敛.例24探讨函数项级数S二在(1.+oc)上一样收敛性.解明显函数项级数Se在(1.+oc)逐点收敛，且每一项都在X=I处连续，而H-I“=£+在X=I处发肛故函数项级数在(1.+oo)上非.样收敛.定理M假如在9-MxJ内，Z“(X)=S(X),每一个“(x)在点X“左连续，但IiInS(X)不存在，则Z“,(X)在0-3小,)内不一样收饮.(注：在(x,+b)内也有相应结论.)8利用和函数的连续性来判别例(若连续函数项级数W>,(6在区间D上一样收敛于和函数S(X),则和函数S（八）在区间上。必连续.)定理35若连续函数项级数Z(H在区间。上逐点收敛r和函数S(X),且土二,GO.S(X)在X=x“处不连续，则函数项级数Z(X)在区间。上非一样收敛于和函数S(X).例25探讨函数项级数7”在0.1上样收敛性.解这个函数项级数的部分和为三0-+2+*")=x,xe°j)4HO.X=I即得IimSI1.a)=卜Xem),知和函数S(X)在JV=I处不连续.故知该函数项在.1.上一O.v=1.非一样收敛.注：在和函数便利求解时，能简化证明过程.9定理36设对随意自然数，函数()在区间。上都是单调增加(或单调削减)的,假如存在数列xju。，使得级数Z%(j发散，则函数项级数在。上非一样收效.证明反证法.设Z"1.(x)在。上一样收敛，由CaUChy准则，对V£>0,总N.,使对随意>A?及VPGN不等式对一切xe。成立，不妨设有II(X)在。上单调增，又设X*=nin化,X11xn”=maxR,xX，则有.、-<W*k)M*k)M*.,)<£，£*34tn所以有<二,所以收敛，与假设冲突.证毕.例26证ZT-；在(0,2)内非一样收敛.w(1.+nx)证明对WgN.,明显“ii(x)=-7=!；在区间(0,+8)内都是单调减小的，其次，取(1.+n.r)级数»“(工)=Z自发散，于是由本定理得证.定理37设时随意xe),1.,(x)为单调数列，假如存在数列xju。，使得“(“)不存在，或!叫“(/)存在.但不等0,则函数项级数z/(x)在区间。上非一样收敛.证明用反证法.>N及VPWM,假设函数项级数2>11(x)在区间D上一样收敛，则对Y£>0,总3VgN.,使时随意.re对一切XWD成立.令N=2(N+),则对>N及一切成立，共次由题设及归谬假设推出，对随意的xe,4(x)为同号数列及"(r)为单调减小数列，所以有%-力”“SNk(X)=£勺(X)W成立，由2/-4A-Af1.2卜；所以也<£及也氐)<£，数列卜“，&)收敛0,与题设冲突.证毕.X11=1-»Ji1.1JIimjwrtI期例27设“I1.(X)=(IT*,D=0.1,对VxG0.1,%(x)明显为单谢数列，若取=洒O,由定理37函数项级数(1.-)在上(,1.非一样收敛.10利用结论M设塞级数的收敛半径R>O,若£*或S/(-R)"发散，则£。“产在0,R)=0M=<1.U=OF三<I(或(-凡OD上不一样收敛.综上可知，判别函数项级数一样收敛与非一样收敛有多种方法，有的方法对某一类函数顶级数能显示其优点，娴熟驾驭函数顶级数样收敛与非样收敛判别方法，这对探讨收敛函数顶级数所确定的函数分析性明至关重要.参考文献1华东师范高校数学系.数学分析M第:.版.北京：高等教化出版社,2001:179-190.2J吕通庆.样连续与一样收敛M)北京：人民教化出版社，1981:249-274.3肖宏治.放大法在判别的数项级数函数列一样收敛时的应用U1.安顺师范高等专科学校学报.2005.8(3):80-81.4金玮,函数项级做一样收敛的判别法J.甘市联合两校学报自然科学版).2009.9(5):111-114.5陈妙怜.函数项级数一样收敛判别法J.长春理工高校学报.2010.6<6>:29-30.6)陈玲.关于函数被数一样收敛的两个判别法UJ绵阳师范高等专科学校学报.2002.4(2):19-20.7郭祖胜.雨数项级数一样收敛的一个充要条件J湖北三峡学院学报19994(2):14-15.8毛一波.函数项级数一样收敛性的判别U1.重庆文理学院学报(自然科学版).2006.10(4):55-56.9关东月.关于一样收敛性的几个问题IJ.内蒙古农业高校学报.2003.9<3):84-85.10赵香兰.几种判别函数项级数茸一样收敛的方法U1.大同职业技术学院数理系.2003.12(4)-.60-61.