柯西许瓦兹不等式的推广和应用.doc

柯西-许瓦兹不等式的推广与应用摘要：柯西-许瓦兹不等式在许多领域都有广泛应用,如线性代数的矢量运动、数学分析的无穷级数、函数乘积的积分、概率论的方差和协方差等方面。柯西-许瓦兹不等式在不同的空间有着不同的形式,同时也有着许多的变形及推广。本文总结了柯西-许瓦兹不等式在实数域、微积分、欧氏空间以及概率空间中的形式及其证明,并给出了它的一些推广和应用。关键词：柯西-许瓦兹不等式；实数域；欧氏空间；概率空间 The Generalization and Distortion of Cauchy-SchwarzInequalityAbstract: Cauchy-Schwarz inequality has wild applications in many areassuch asmotion vector in linear algebra, the infinite series in mathematical analysis, the integral product of function, varianceand covariance in probability theory etc.It is used in the different spaces with different forms, and has a lot of distortions and generalization.  This paper summarizes the form and its proof of Cauchy-Schwarz inequality in the real fields, calculus, Euclidean space, probability space, and gives its generalization and application. Key words: Cauchy-Schwarz inequality; Real number field ;Euclidean space; Probability space 25 / 261、柯西-许瓦兹不等式在实数域中的推广与应用1.1柯西-许瓦兹不等式在实数域中的定义定义:设,则有 1.1其中当且仅当 <为常数>等号成立。 柯西-许瓦兹不等式在实数域中有着广泛的应用,现在我们通过它的三种证明方法,来加深对其的理解。证法一：我们利用一元二次函数的知识来证明证明：设,则由于,因此上述不等式的判别式,则即证法二：利用一元二次不等式的知识来证明证明：平方和绝不可能是负数,故对每一个实数都有其中,等号当且仅当每一项都等于0时成立,该不等式可以变形为 ,其中,如果,不等式显然成立如果,因为恒成立,所以成立即等号当且仅当 <为常数>成立。证法三：利用向量的知识来证明 证明：设是两个维向量,则由于因此 ,即当时等号成立, 即或时,也即与共线时等号成立.1.2柯西-许瓦兹不等式在实数域中的推广推论1.柯西-许瓦兹不等式在实数域中的基本变形与推广 在1.1式中,令,则 1.2 1.3令 则 1.41.1 1.51.1 1.6推论2 .将柯西-许瓦兹不等式中的幂指数扩充,则有赫尔德不等式.赫尔德不等式：对任意的非负数有其中满足且 1.7证明：利用不等式其中为非负数且得赫尔德不等式中,当时为柯西-许瓦兹不等式。推论3.若将则可导出相应的无穷不等式 设数项级数与收敛,则也收敛,且 1.8推论4.设为组正实数,则有证明：令其中由平均值不等式得对之作和得所以有：1.3柯西-许瓦兹不等式在实数域中的应用例1-1设,求证：证明：不等式左边等于 所以得证.例1-2若都是正数,又常数,求证：.证明：根据柯西-许瓦兹不等式1.1式可得于是得：例1-3设 ,若则；解：应用1.1式 ,例1-4证明中任意三点 满足三角不等式证明：设 若式成立,则有：则 而于是：即：由1.1式知上式成立,所以可得例1-5.设,则有当且仅当时等号成立.证明：由1.1式可得,则：所以例1-6已知 且不等式 恒成立,求的取值围。 解： 故参数的取值围是2、柯西-许瓦兹不等式在微积分中的推广与应用2.1柯西-许瓦兹不等式在微积分中的定义定义：设,在上可积,则 2.1,或与成正比,则等号成立.证明：因为,都在上可积,则由定积分的性质 均在上可积,对区间进行等分,分点为由定积分的定义,有 由式可知再由极限的保号性易知2.1成立若对,或与成正比,则2.1式中等号成立,但其逆不真.2.2柯西-许瓦兹不等式在微积分中的推广推论1.明可夫斯基不等式设,都在上可积,则有明可夫斯基不等式 2.2证明： 由2.1式可知因为两边都大于等于零,且右边大括号也大于等于零,所以有推论2： 当存在一组不全为零的 使得 时等号成立,不等式2.1可以改写为以下行列式形式 2.3以这样的形式给出的好处在于形式美观便于推广设均在上可积,则有 2.4证明:注意到关于 的二次型为非负二次型,从而其系数行列式从而得证.推论3:设 均在上可积,则有 2.52.3柯西-许瓦兹不等式在微积分中的应用例2-1.设在上连续,且试证：证明：同理有：则 例2-2设 在上连续,证明：证法一：把不等式中的换成,移项得设则为单调函数,故,所以证法二：根据 得证. 证法一用构造辅助函数,再利用函数的单调性证明,证法二利用柯西-许瓦兹不等式证明,所以我们可以看出后者比前者简单的.例2-3.设均在上可积且满足12则有证明：利用2.4式取.并注意到 ,则有由此得到注意到定义中的条件1 ,于是,从而得例2-4设在上有连续的导数,试证： 证明：令则,由知因此例2-5设在上连续,且,证明证明：由2.1式得例2-6.设在0,1上连续可微,并且.证明:证明：由于根据2.1式即例2-7设在上具有连续可导,且 ,证明:证明：由于 在上对任何实数都不恒等于0,否则,设有使由此可解得：,再由,得,这与 矛盾。由上知,有严格不等式而从而有例2-8设在上可微且 连续,证明：证明：因为连续,且,故因为,故从到积分得到：3、柯西-许瓦兹不等式在维欧氏空间中的推广与应用3.1柯西-许瓦兹不等式在维欧氏空间中的定义定义：设在维欧氏空间中, 是两个任意的维向量,则 3.1或3.2 证明:考虑关于变元的一元二次方程 此方程或者只有0解或者无实数解,将方程整理得：我们知道一元二次方程只有0解或者无解得条件为所以得： 即即3.2柯西-许瓦兹不等式在n维欧氏空间中的推广柯西-许瓦兹不等式在一个欧氏空间里,对于任意的 有不等式当且仅当与线性相关时,等号成立.这个不等式用于欧氏空间中,对于任意的 则有这是柯西不等式。不等式用于欧氏空间中,对于任意,有 是许瓦兹不等式.若设 ,则命题可叙述为:设 是一个欧氏空间,则对 有,当且仅当与 线性相关时,等号成立.下面将此命题推广得：设 是一个欧氏空间,是的任意一个向量组,则 的行列式当且仅当 线性相关时,等号成立.证明：设线性相关,则存在不全为0的数 使 因为,即是以 为未知量的齐次线性方程组.因为 不全为零,即上式有非零解所以若线性无关,由可得出 的正交组 且,其中显然 ,所以可逆,于是向量组 与 等价,它们生成相同的子空间是的基, 是的正交基可设由坐标变换公式其中 则 由于 的任意性,知,所以应用于欧氏空间 中,可以使一些较复杂的不等式的证明显得十分简单。3.3柯西-许瓦兹不等式在欧氏空间中的应用例3-1证明：证明：取由柯西许瓦兹不等式易知整理得：例3-2若都是正数,又常数求证：证明：设根据不等式3.2得：即：两边平方就可得：例3-3已知: 求证: 证明：构造向量所以 根据3.1式得：例3-4设且,求证：证明：构造向量可得： 根据3.1式可得：例3-5平面,<>点式平面外一点。求证：点 到平面的距离是证明：设为平面上的任一点,构造向量,可得： 根据3.2式,则有由于平面上任意一点与定点之间的最短距离就是点到平面的距离,因而点 到平面的距离为例3-6.已知 求证：证明：构造向量可得：根据3.2式可得：例3-7.已知, 求 的最小值.解：构造向量可得：根据3.2式得：则即 的最小值为.4、柯西-许瓦兹不等式在概率空间中的推广与应用4.1柯西-许瓦兹不等式在概率空间中的定义定义：取为概率空间,对任意属于的随机变量与 都有 4.1 等号成立的充要条件是,是某一常数。证明：对任意实数,定义显然对于一切,因此二次方程或者没有实数根或者只有一个重根。所以 方程 有一个重根存在的充要条件是这时 因此 即 。4.2柯西-许瓦兹不等式在概率空间中的推广推广 Chung-Erdos 不等式： 4.2证明：定义随机变量则由柯西-许瓦兹不等式得根据定义,又有,所以得证4.2式.4.3柯西-许瓦兹不等式在概率空间中的应用例4-1若都是数,又 常数.求证：证明：设随机变量 的分布律为：则取则知为凹函数,于是 即所以化简就可得：例4-2设, ,则,且等号成立的充要条件是证明：因为所以所证不等式等价于 即,由于,且。所以,可设二维离散型随机变量的联合概率分布为则 的边际概率分布为 令 则由不等式 而得且等号当且仅当,即时才成立.原不等式得证.例4-3若是上正值连续函数,且 ,则 证明：设随机变量 的概率分布及概率密度函数分别为则：因为 是 上凸函数,由 可知 因此所以成立.例4-4设,则且等号成立的充要条件 证明：设二维离散型随机变量 的联合概率分布为则 的边际概率分布分别为令,有由不等式4.1有 且等号成立的充要条件是开方得 且等号成立的充要条件是：例4-5设,则,且等号成立的充要条件是。证明：设二维离散型随机变量的联合概率分布为则的边际概率分布分别为令,有由不等式4.1有 且不等式等号成立的充要条件是：即 且等号成立当且仅当例4-6设为任意实数,则且等号成立当且仅当 或者存在常数使 证明 若 均为0,则等式显然成立.若 不全为0时, 设二维离散型随机变量 的联合概率分布为 则 的边际概率分布分别为,令 有由不等式4.1得有 且等号成立当且仅当 即 其等号成立当且仅当 ,总之,所证不等式等号成立的充要条件是 或存在常数使。例4-7设,则 且等号成立的充要条件是证明：注意到 故所证不等式等价于即 由于 且 ,可设二维离散型随机变量 的联合概率分布为则 的边际概率分布分别为,令有由不等式4.1有,且等号成立的充要条件是 ,即结论：柯西-许瓦兹不等式有着许多不同的形式,本文总结了它的四种形式,并给出其相应得定义。对每一种形式给出了相应的推广与应用。文章第一大部分给出了柯西-许瓦兹不等式在实数域中的推广与应用,由于在实数域中柯西-许瓦兹不等式的应用非常广泛,因此,我们通过他的三种证明方法,来加深对其的理解。在实数域中我们对柯西-许瓦兹不等式做了基本的变形推广；将其中的幂指数扩充,得到赫尔德不等式；导出了其级数的无穷不等式等。文章的第二大部分给出了柯西-许瓦兹不等式在微积分中的形式,并对其推广和应用,我们由其推导出的明可夫斯基不等式,对其微积分中的形式变形得到行列式的形式,并进行推广。文章第三大部分给出了柯西-许瓦兹不等式在欧氏空间中的形式,在对其推广的过程中由其在微积分可改写成行列式形式中得到启发也把其改写成行列式的形式,应对其进行推广。文章第四大部分给出了柯西-许瓦兹不等式在概率空间中的形式,并对其推广得到Chung-Erdos不等式。我们通过一些例题说明柯西-许瓦兹不等式和其推广在实际问题中的应用。柯西-许瓦兹不等式不同的形式之间是相通的,对于同一个例题我们可以应用它的不同形式来解答。例如：例1-2,3-2,4-1它们是同一道题我们应用柯西-许瓦兹不等式的三种形式都能很好的对其解答。对有些题目我们应用柯西-许瓦兹不等式能非常简单、快速的得到答案,而应用其他方法解题却十分复杂,如：例2-2我们先用一般的构造辅助函数,再利用函数的单调性证明的方法解答比较复杂。而我们应用柯西-许瓦兹不等式解则十分简单。参考文献1王琼.概率方法在不等式证明中的应用J.大学学报,2002,17<2>:75-78.2许维珍.关于Cauchy-Schwarz不等式的变形与应用J.农业大学社会科学版,2008,9<2>:72-73.3倪伟平.柯西许瓦兹不等式的推广J.师学院学报,2000,22<3>:13-14.4王阳 春红.几类定积分不等式的证明J.和田师专科学校学报汉文综合版,2009,28:208-209.5罗俊丽 朱白.Cauchy-Schwarz 不等式的几种推广形式J.学院学报,2009,23<4>:28-30.6陆媛.Cauchy - Schwarz不等式的推广及其在矩阵分析中的应用J.工学院学报<自然科学版>,2009,22<1>:26-27.7思源.关于Cauchy - Schwarz不等式的推广与应用J.学院学报<自然科学>,2006,28<4>:19-19.8静.Cauchy-Schwarz 不等式的四种形式的证明及应用J.学院学报,2008,23 <6>:89-90.9娟 文泉.Cauchy-Schwarz 不等式的推广J.大学数学,2006,22 <6>:144-147.10余元希等.初等代数研究M.高教,1989.11王萼芳,石生明.高等代数M.高等教育,2003. 12兴祥,罗云庵,王海娟.柯西-施瓦兹不等式的应用J.大学学报<自然科学版>,2005,4:22-23.13伟,何卫.柯西-施瓦茨不等式的三种证明J.教育学院学报,2007,20<3>:33-34.14汤茂林,柯西不等式的几种新证法J.职大学报,2008,4:66-67.15谭立,龚焰,王文杰,关于Cauchy-Bunyakowski-Schwarz不等式的改进及其应用J.师学院学报<自然科学版>,2001,13<1>:3-5.16朋军,柯西不等式的多种证法推广及其应用J.师专科学校学报,2004,18<1>:72-75.17颖,Cauchy不等式、Schwarz不等式证法、推广J.吕梁高等专科学校学报,2006,22<2>:41-45.18王化栋,n维柯西不等式的证明与应用数例J.师专学报,1994,11<1>:49-54.19亚萍,柯西不等式的证明与推广应用J.黔南民族师专学报,1999,19<6>:76-79. 20Ballantine C S.Products of idempotent matricesM .Linear Algebra Appl,1987.21Ballantine C S. Products of idempotent matricesJ .Linear Algebra Appl,1987,19:81-86.22Hardy,G.,Littlewood J.E., Polya,G. <1999>.Inequalities. Cambridge Mathematical Library, CambridgeUniversity Press. ISBN0-521-05206-8.致本文的完成首先要非常感我的论文指导老师王圣祥,他对论文要求的严谨程度和一丝不苟的治学态度,以及在修改论文时的认真态度,都是非常值得我去学习的。同时,在很多我不会的问题方面给予了我很多帮助,并且不厌其烦的反复为我修改。其次,我还要感我的室友,同学,在我忙于论文的期间,他们帮我解决了许多琐碎的事情,因而我得以安心的完成论文。 同时还要感我的爸爸妈妈,感他们多年来对我的辛苦养育和栽培。 最后要对那些百忙之中抽出时间来阅读和评审我的论文的老师和专家表示感！