解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章.docx

解：A=-P第五章二次曲线一般的理论§二次曲线与直线的相关位置1 .写出以下二次曲线的矩阵A以及G(X,y),E(X,y)及£(x,y).222217÷1；2-=1；3y22px；4?3/+5+2=0;abab2x-xy+y2-6x+7y-4=0.;F1(x,y)=-X;工(X,y)=gy;&X,y)=T；ab-1；F1(x,y)=-xF2(x,y)=-y；F3(x,y)=-l.ab-p0;F1(x,y)=-p;B(X,y)=y;£(%»)=一川；J4A=0-30；片(X,y)=%+g;F2(x,y)=-3y；£(x,y)=gx+2；l/、17Bay)=-+y+-2 .求二次曲线炉2孙3)?4x6y+3=0与以下直线的交点.5x-y-5=0;2x+2y+2=0;3x+4y-l=0；x-3y=O；2x-6y-9=O.解：提示：把直线方程代入曲线方程解即可，详解略(4-226z-7+226z(4+226z-7-226?55,55IJ二重点(L0)；无交点.3 .求直线xy1=0与二次曲线2/盯%2y1=0的交点.解：由直线方程得=y+1代入曲线方程并解方程得直线上的所有点都为交点.4 .试确定k的值，使得1直线xy+5=0与二次曲线3x+y左=0交于两不同的实点;X=+kt直线7'与二次曲线4盯+3y2y=0交于一点；y=k+t3x01=0与二次曲线2孙+必（左）y1=。交于两个相互重合的点；X1+/-'与二次曲线2/+4盯+"x2y=0交于两个共辄虚交点.y=i+t49解：详解略.m左<T；2）左=1或左=33左=1或左=5；4k>-.24§5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线1 .求以下二次曲线的渐进方向并指出曲线属于何种类型的.X2+rxy+y2+3x+y=0；3x2+4xy+2y2-x-2y+5=0；32xy-4x-2y+3=O.解：1)由。(X,Y)=2+2y+y2=o得渐进方向为x：y=i：i或i：i且属于抛物型的;2)由。(X,y)=32+4y+2y2=o得渐进方向为x：y=(2土技)：3且属于椭圆型的;3由。(乂,丫)=2乂丫=0得渐进方向为乂：丫=1:0或。：1且属于双曲型的.2 .判断以下曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线.1?2xy+2，4x6y+3O；2%24xy+4y2+2x-2y-1=O；32+8x+12y-3=O;492-6xy+y2-6x+2y=0.11解：m因为A=o,所以它为中心曲线;2-122因为A=1-2-24=O且工-2-214-1所以它为无心曲线;OO0043因为A=O且=-,所以它为无心曲线;2O20269-3Q-3-34因为人=O且二=二=二，所以它为线心曲线;2-31-3123 .求以下二次曲线的中心.15x2-2xy+3y2-2x+3y-6=0；22%2+5xy+2,6%3y+5O；39x2-30xy+25y2+8%-15y=O.5x-y-1=0,解：1）由3-x+3y+=一313得中心坐标为(,)28282x+-y-3=0,-x+2y-=O223)由9x-15y+4=O,-15x+25y-y=O知无解，所以曲线为无心曲线.4.当满足什么条件时，二次曲线炉+6盯+2+3%+勿4=0有唯一中心；2)没有中心;3有一条中心直线.3x+3y÷-0,.b_3x+ay+=0知，当9时方程有唯一的解，此时曲线有唯一中心;2)当=99时方程无解，此时曲线没有中心；3)当“=9时方程有无数个解，此时曲线是线心曲线.5.试证如果二次曲线F(x,j)=allx2+2al2xy+a11y2+2rz13x+2a23y+¾3=0有渐进线，那么它的两个渐进线方程是(x-x0,y-y0)=11(x-x0)2+2¾(x-x0)(-y0)+¾(y-y0)2=0式中(x0,y0)为二次曲线的中心.证明：设(羽y)为渐进线上任意一点，那么曲线的的渐进方向为X：Y=(x-/)：('-%),所以(x-¾,y-y0)=11(x-x0)2+2¾(x-x0)(j-j0)+¾2(j;-J0)2=0.6.求以下二次曲线的渐进线.16JV2xyy2+3x+y1=0；X2-3xy+2y2+x-3y+4=0;3x2+2xy+y2+2x+2y-4=0.r13n6x2y+2",13解：1由1得中心坐标(一,一).而由6X2xy丫2=。得渐进方向为x»=i：2或X：y=1：3，所以渐进线方程分别为2x-y+l=0与3x+y=031Cx2y+2",13、得中心坐标(一,一).x+2y=05522而由X2-3XY+2Y2=0得渐进方向为X：y=1:1或X:Y=2:1,所以渐进线方程分别为x-y+2=0x-2y-l=0X+y+10,7知曲线为线心曲线，.x+y+1=0所以渐进线为线心线，其方程为+y+l=O.7 .试证二次曲线是线心曲线的充要条件是4=/3=0,成为无心曲线的充要条件是4二°,A°证明：因为曲线是线心曲线的充要条件是幺=丝=且也即4=4=0；a2223为无心曲线的充要条件是Sl=组9旦也即，2=0,40.Cl1?228 .证明以直线A%+5+G=o为渐进线的二次曲线方程总能写成(Aix+By1+C1)(Ax+By+C)+D=0.证明：设以Ax+B+G=O为渐进线的二次曲线为F(x,y)=a11x2+2anxy+¾y2+2a13x+2a23y+a33=0,那么它的渐进线为(x-x0,y-y0)=11(x-x0)2+212(x-x0)(y-y0)+¾2(y-y0)2=0,其中(X(Pyo)为曲线的中心，从而有(x-Xo,y-yo)=(A%+gy+C)(Ax+5y+C)=Oa11(x-x0)2+2a12(x-x0)(y-y0)+22(y-y0)2而(xXo，,%)=%/2+2anxy+a22y22(OnXO+any0)x2(tz12x0+t222y0)y+11x0+2t212x0y0+22y0,因为(X(Pyo)为曲线的中心，所以有r+%2%=一%3，%2%0+22%=一23因此(X%,>%)=/(X,y)+。(X(PyO)“33，令¢(X(PyO)43=-。，代入上式得方(X,y)=。(4-%,y%)+。即F(x,y)=(4%+5%+G)(4+协+C)+O,所以以AX+8%+G=O为渐进线的二次曲线可写为(AX+Byy+G)(AX+By+C)÷Z)O.9 .求以下二次曲线的方程.1以点0,1为中心，且通过2,3，4,2与(-1,-3；12)通过点1,1，2,Ib(-1,-2且以直线x+y1=0为渐进线.解：利用习题8的结论即可得：1xy-x-4=0；2x2-xy-3y2-5x+7=0.§5.3二次曲线的切线1 .求以下二次曲线在所给点或经过所给点的切线方程.1)曲线3Y+4盯+5y27x8y3=0在点2,1)；曲线曲线3/+4盯+5V7x8y3=0在点在原点；3曲线Y+盯+y2+%+4y+3=0经过点(-2,-1)；曲线5福+6盯+5y2=8经过点(O,J);曲线22孙y2%2y1=0经过点(0,2.解：1)9x+10y-28=0;2x-2y=0;y+l=0,x+y+3=0;4llx+5y-102=0,x-y+22=0；%=0.2 .求以下二次曲线的切线方程并求出切点的坐标.1曲线f+4xy+3y25xy+3=0的切线平行于直线x+4y=0;2曲线/+盯+V=3的切线平行于两坐标轴.解：1x+4y-5=0,(1,1)和x+4y8=0,(T,3)；y±2=0,(1,2),(1,2)和x±2=0,(2,-1),(-2,1).3 .求以下二次曲线的奇异点.13%22产+6%+4y+1=0；22xy+y22x1=0；3X?2xy+y?2x+2y+1=0.3x+3=0,解：1)解方程组4得奇异点为(-1/)；-2y+2=0fy-l=O,2)解方程组,得奇异点为(-1,1).x+y=04 .试求经过原点且切直线4x+3y+2=0于点(1,-2及切直线xy1=0于点(0,-1的二次曲线方程.解：利用5.3-5可得6/+3Xy-/+2-y=0.225 .设有共焦点的曲线族+/区=1,这里。是一个变动的参数，作平行于直线y=m的曲线a+hb+h的切线，求这些切线切点的轨迹方程.解：设切点坐标为(X(Py°),那么由5.3-4)得曲线的切线为广，+平丁=1,因为它平行与a+hb+hy=mx,所以有/?二皂士竺巨，代入一方=1整理得x0+my0a+hb+hnx1+(m2-l)x0y0-my-m(a2-Z?2)=0,所以切点的轨迹为mx+(m2-l)xy-my2-m(a2-2)=0.§5.4二次曲线的直径1 .二次曲线3/+7盯+5y2+4x+5y+l=0.求它的11)与X轴平行的弦的中点轨迹；2与y轴平行的弦的中点轨迹；3与直线x+y+l=0平行的弦的中点轨迹.解：1因为X轴的方向为X：y=l:0代入5.4-3得中点轨迹方程6x+7y+4=0;2)因为y轴的方向为X：y=0:l代入5.4-3得中点轨迹方程7x+10y+5=0；3)因为直线x+y+l=0的方向为X:/=1:1代入5.4-3得中点轨迹方程x+3y+l=0.2 .求曲线/+2町4x2y6=0通过点8,0)的直径方程，并求其共辗直径.解：1)把点8,0)代入X(X2)+Y(2y-1)=0得X:Y=1:6,再代入上式整理得直径方程为x+12y8=。，其共机直径为12x2y23=0.3 .曲线町-产2%+3y-1=0的直径与y轴平行，求它的方程，并求出这直径的共辗直径.解：直径方程为x1=0,其共辗直径方程为x2y+3=0.4 .抛物线/=8%,通过点(-1,引一弦使它在这点被平分.解：4x+y+3=0.225.求双曲线土-匕=1一对共辄直径的方程，两共辗直径间的角是45度.649k-k解：设直径和共班直径的斜率分别为左次，那么尿'=*.又因为它们交角45度，所以r=l,从31+kk而=；或2,左'=2或g,故直径和共辗直径的方程为x+3y=0和2xy=0或2x+y=0和x-3y=0.6 .求证：通过中心曲线的直线一定为曲线的直径；平行于无心曲线渐进方向的直线一定为其直径.证明：因为中心曲线直径为中心线束，因此过中心的直线一定为直径；当曲线为无心曲线时，它们的直径属于平行直线束，其方向为渐进方向，所以平行于无心曲线渐进方向的直线一定为其直径.7 .求以下两条曲线的公共直径.13x2-2xy+3/+4%+4丁-4=0与2x?一3xy-y2+3x+2y=0；x2-xy-y2-x-y=0x2+2xy+y2-x+y=0.解：2x-y+l=0;5x+5y+2=0.8 .二次曲线通过原点并且以以下两对直线x-3y-2=0,f5y+3=0,<与<5%-5y-4=02%-y-l=0为它的两对共辗直径，求该二次曲线的方程.解：设曲线的方程为F(x,y)=anx2+2anxy+¾2y2+2al3x+2a23y+仁=。，那么由5.4-3和5.4-5可得知=192=,%2=-1，%=4，%=4-=0，所以曲线的方程为x2-xy-y2-x-y=0.§5.5二次曲线的主直径与主方向22221 .分别求椭圆I+2r=l,双曲线I-斗=1,抛物线y2=2的主方向与主直径.abab解：椭圆的主方向分别为LO和0：1,主直径分别为X=O,y=O；双曲线的主方向分别为LO和0：L主直径分别为X=O,y=O；抛物线的主方向分别为0：1和L0,主直径分别为y=0.2 .求以下二次曲线的主方向与主直径.5x2+8xy+5y2-18x-18y+9=O；22xyrx+2y1=0；9x2-24xy+16/-18x-101y+19=O.解：1)曲线的主方向分别为L1-1)和1：1,主直径分别为xy=O,x+y2=0；2其主方向分别为L1和1：1-1),主直径分别为x+y=O,xy+2=0；3其主方向分别为3：-4)和4：3,主直径分别为3x4y+7=0;4任何方向都是其主方向，过中心的任何直线都是其主直径.3 .直线x+y+l=0是二次曲线的主直径，点0,0，1,-1，2,1在曲线上，求该曲线的方程.解：设二次曲线方程为F(x,j)=ax+2anxy+¾2j2+2a13x+2a23y+a33=0,把点坐标0,0),1,-1),2,1)分别代入上面方程同时利用直线X+y+1=0为其主直径可得77ail=4,/=-?a22=4,a”9¾3=4,Q330，所以所求曲线方程为4x2-7xy+4y2-7x+8y=0.4 .试证二次曲线两不同特征根确定的主方向相互垂直.证明：设4,4分别曲线的两不同特征根，由它们确定的主方向分别为Xi：工与X2：、那么所以ailX1+ailYi=4X1，ai2X1+火工=4工，4XX2+4Xb=+。12乂）、2+（%2、1+。22工）2（QX?+2B）Xl+（弓2、2+422N）Xl2X2X1+A2Y2Y1,从而有（4-A2XX1X2+XX）=0,因为4%,所以X1X2+XN=0,由此两主方向Xi：乂与X2：乂相互垂直§5.6二次曲线方程的化简与分类1 .利用移轴与转轴，化简以下二次曲线的方程并写出它们的图形.15x2+4xy+2y2-24x-12y+18=O；2%?+2xy+y24x+y1=O；5x2+12xy-22x-12y-19=O；4X2+2xy+y2+2x+2y=0.3解1因为二次曲线含p项，我们先通过转轴消去肛，设旋转角为。，那么。g2o=1,即-国-3=,所以tga=tga=-2,那么Sina=-,cosa=J，所以转轴公式为2tga42551，X=T(X+2),代入原方程化简再配方整理得新方程为J(-2x+y).62+2-12=0;类似的化简可得222+52=0；39x"2-42-36=0;42x2-l=0.2.以二次曲线的主直径为新坐标轴，化简以下方程，并写出的坐标变换公式与作出它们的图形.18x2+4xy+5y2+8x-16y-16=0；2X2-4xy-2y2+IOx+4y=0；34x2-4xy+y2+6x-8y+3=0；44x2-4xy+y2+4x-2y=0.解：1二次曲线的距阵是,824、25-8,、481682/=8+5=13,A=36,1225所以曲线的特征方程为丸2132+36=0,其特征根为4=4,4=9,两个主方向为Xi：T=I:2,X2:Y2=2:1；其对应的主直径分别为8y+20=0,7x+7y-4=0.取这两条直线为新坐标轴得坐标变换公式代入曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为2)二次曲线的距阵是坐标变换公式9+4y2-36=0.，-225'2-22<520,1,X-(X-2j)-1,y-(2+j)+2.代入曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为-3x12+2y2-l=0.3二次曲线的距阵是,4-23、-21-4,V-43,坐标变换公式19x=-f=(x-2y)-,1.1y=.(2x+y)+.代入曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为4坐标变换公式代入曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为5y2-l=0.转轴下，二次曲线的新旧方程的一次项系数满足关系式'2'2_2213十23133.证明：设旋转角为,那么=13cos。-g3sin。，¾3=11sina+¾3cos6z,两式平方相加得'2'2_2213十23133.3.试证二次曲线哀+2hxy+ay2=d的两条主直径为Vy2=0,曲线的两半轴的长分别为证明：求出曲线的两主直径并化简即可得.§的方程1 .利用不变量与半不变量，判断以下二次曲线为何种曲线，并求出它的化简方程与标准方程.1) X2+6xy+y2+6x+2y-l=O；23x2-2xy+3y2+4x+4y-4=0；3) X24xy+3y2+2x-2y=O；4X2一4孙+4y2+2x-2y-l=0；X2-2xy+2y2-4x-6y+29=O；G+6=G；7无2+2xy+y?+2x+2y-4-O；13313解：m因为4=2,k=8,311123131-184x2-4xy+y2+12x-6y+9=O.=16,L=_2,而特征方程4丸2228=O的两根为4=4,4=2,所以曲线的简化方程略去撇号)为4x2-2-2=0,曲线的标准方程为-2/-1=0,2曲线为双曲线；类似地得下面：12）曲线的简化方程略去撇号）为2x2+4-8=0,曲线的标准方程为22土+匕=1,42曲线为椭圆；13）曲线的简化方程（略去撇号为(2+5)x2+(2-5)=0,曲线的标准方程为22L=O1192+55-2曲线为两相交直线；（4曲线的简化方程（略去撇号）为5y2-5x=0,曲线的标准方程为y2=-y5x，25曲线为抛物线；15）曲线的简化方程（略去撇号）为(甘)4(臂)/=0,曲线的标准方程为%2y2n11z+dz3+53-5曲线为一卖点或相交与一实点的两虚直线;6曲线的简化方程略去撇号为2y2-2y2ax=0,(0xa,0ya),曲线的标准方程为y2=yflax,(Ox,Oy)曲线为抛物线的一局部；7曲线的简化方程略去撇号为2/-5=0,曲线的标准方程为曲线为两平行直线；8曲线的简化方程略去撇号为5/=0,曲线的标准方程为V=0,曲线为两重合直线.2.当；L取何值时，方程+4xy+y?4x2y3=0表示两条直线.解：方程XX2+4xy+V4%2y-3=0表示两条直线当且仅当22-2八=21-1=0,213即2二4.3.按实数2的值讨论方程x2xy+rx+2y+5=0表示什么曲线.解:因为=22,2=(2-1)(2+1),3=(52+3)(2-1),&=2(521),所以当2的值变化时，4,/2,/3,Kl也随着变化，它们的变化关系如下表：2(-,-l)-1T-I)3-530(Oq)54#1(L+-0+12+0-0+，3+OO+KT-+O+所以有对应于下面的结果:A<1I2>OJ1I3<0椭圆-2=O,/3O抛物线1°31<A<52<0J30双曲线3A-52<0J3=0一对相交直线3。1<X<I52<0,30双曲线-I2=0,/3=。，Ki>0一对平行的虚直线l<2<+I2>0,IiI3>0虚椭圆4.设11x2+2anxy+a11y1+2tz13x+2¾y+33=O表示两条平行直线，证明这两条直线之间的距离是证明：曲线的方程可简化为这里当曲线表示两条平行的实直线时，K<0.所以这两条直线之间的距离是5 .试证方程ax+2anxy+¾2j2+2anx+2¾3j+33=O确定一个实圆必须且只须/；=4/2/2<°证明：当曲线anx+2anxy+¾2j2+2tz13x+2¾3j+33=O表示一个实圆的充要条件是其特征方程2-I1+I2=Q有相等实根且/<0,即=/；-44=O且/<0，从而方程确定一个实圆必须且只须12=42,12<0.6 .试证如果二次曲线的I1=O,那么，2<。.证明：因为'=41+22=0即1=_。22，所以，2=12=11¾2-=-(+),而22211，%2，。22不全3所以有2<O.7 .试证如果二次曲线的/2=O,30,那么0,而且/"2<°证明：当/2=O,30时，由5.2节习题7知，曲线为无心曲线，从而有0,而且j<°