解决带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的两种方法.docx

解决带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的两种方法此类问题的解题关键是寻找临界点，寻找临界点的有效方法是：轨迹圆的缩放：a化×'×'×¾×'×:：XXXX××:-l-1.5a÷0,L5a超当入射粒子的入射方向不变而速度大小可变时，粒子做圆周运动的圆心一定在入射点所受洛伦兹力所表示的射线上，但位置（半径R）不确定，用圆规作出一系列大小不同的轨迹图，从圆的动态变化中即可发现“临界点”.例1一个质量为m,带电量为+q的粒子不计重力），从O点处沿+y方向以初速度射入一个边界为矩形的匀强磁场中，磁场方向垂直于Xy平面向里，它的边界分别是y=0,y=a,x=-l.5a,如下图，那么当B满足条件时，粒子将从上边界射出：当B满足条件时，粒子将从左边界射出：当B满足条件时，粒子将从下边界射出：例2如图9-8所示真空中宽为d的区域内有强度为B的匀强磁场方向如图，质量m带电-q的粒子以与CD成。角的速度VO垂直射入磁场中。要使粒子必能从EF射出，那么初速度VO应满足什么条件？EF上有粒子射出的区域？【审题】如图9-9所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大,轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值时便从右边界射出，依此画出临界轨迹，借助几何知识即可求解速度的临界值；对于射出区域，只要找出上下边界即可。【解析】粒子从A点进入磁场后受洛伦兹力作匀速圆周运动，要使粒子必能从EF射出，那么相应的临界轨迹必为过点A并与EF相切的轨迹如图9T0所示，作出A、P点速度的垂线相交于0/即为该临界轨迹的圆心。Rd临界半径RO由Ro+R。CoS=d有：01+Cos.故粒子必能穿出EF的实际运动轨迹半径RROR即：Wo2dqB1+CosVoqBd有.m(l+Cos)由图知粒子不可能从P点下方向射出EF,即只能从P点上方某一区域射出;又由于粒子从点A进入磁场后受洛仑兹力必使其向右下方偏转，故粒子不可能从AG直线上方射出；由此可见EF中有粒子射出的区域为PG,PG=R0Sin+dcot=d8m+dcot且由图知：1+Cos0例3如下图，一足够长的矩形区域成Cd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为6的匀强磁场,在ad边中点0,方向垂直磁场向里射arb入一速度方向跟ad边夹角。二30。、大小为由的粒子质量为m,电量为0,ad边长为L,IXXXX带正电粒子，之5边足够长，粒子重力不计，求：1粒子能从成边上射出磁场OkX×X×的两大小范围.2如果带电粒子不受上述Po大小求粒子在磁场中运动的最长时间.解析：1）假设粒子速度为7o,那VO××××dC范围的限制，么QVqB2V0三0m一=R,所以有二qB,设圆心在4处对应圆弧与成边相切，相应速度为7o,那么洛+洛Sirl=A,2将后二丝里代入上式可得，如二妈qB3m类似地，设圆心在。处对应圆弧与。/边相切，相应速度为取，那么分一兆SinJ=-,2将胫二竺更代入上式可得，取二匹qBm所以粒子能从/边上射出磁场的。应满足必VPOW幽3mm12）由方二色7及T=2l”可知，粒子在磁场中经过的弧所对的圆心角。越长，在磁场中运动211qB的时间也越长。由图可知，在磁场中运动的半径rW分时，运动时间最长，弧所对圆心角为（211-2,所以最长时间为t*兀-2）m=qBqB例4如图7所示，矩形匀强磁场区域的长为L,宽为Z2o磁感应强度为B,质量为m,电荷量为e的电子沿着矩形磁场的上方边界射入磁场,欲使该电子由下方边界穿出磁场,求：电子速率7的取值范围？解析：1）带电粒子射入磁场后，由于速率大小的变化，导致粒子轨迹半径的改变，如下图。当速率最小时，粒子恰好从d点射出，由图可知其半径用N/4,再由用或匕乃6,得QBLk诟3=z2+(2-当速率最大时，粒子恰好从。点射出，由图可知其半径花满足2,即发书£4,再由R2=mv2eB,得5eBLV2=4m电子速率卜的取值范围为：4meBLJ/5eBLv4m0例5、在边长为2。的A5C内存在垂直纸面向里的磁感强度为强磁场，有一带正电4,质量为机的粒子从距A点品的D点垂直A进入磁场，如图5所示，假设粒子能从AC间离开磁场，求粒子速率什么条件及粒子从AC间什么范围内射出.解析：如图6所示，设粒子速率为VI时，其圆轨迹正好与AC边B方向应满足D相切于E点.由图知，在AAolE中，*=R,A=43a-Ri,由cos30°=2£得虫=,解得叫=3(2返)，那么OIA2y3a-R1C。1D图6B(23-3).2又由Bqv1=机会-得Vl眼&二返二3,那么要粒子能从如图7所示，设粒子速率为V2时，其圆轨迹正好与BC边相切于F点,AC间离开磁场，其速率应大于V-与AC相交于G点.易知A点即为粒子轨迹的圆心，那么R2=AD=AG=y3a又由Bqv2=加工得%="a*，那么要粒子能从AC间离开磁场，其速率应小于等于R2m综上，要粒子能从AC间离开磁场，粒子速率应满足3Q一."QB<yY¾”.粒子从距A点(23-3)a3的EG间射出.带电粒子在磁场中以不同的速度运动时，圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此可以将半径放缩，运用“放缩法”探索出临界点的轨迹，使问题得解；对于范围型问题，求解时关键寻找引起范围的“临界轨迹”及"临界半径R0”，然后利用粒子运动的实际轨道半径R与RO的大小关系确定范围。轨迹圆的旋转：当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时，所有不同方向入射的粒子的轨迹圆是一样大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋转中，也容易发现“临界点”.例6水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B,磁场方向垂直于纸面向里.许多质量为m带电量为+q的粒子，以相同的速率V沿位于纸面内的各个方向，由小孔。射入磁场区域.不计重力，不计粒子间的相互影响.以下图中阴影局部表示带电粒子可能经过的区域，其中正确的图是A例7在y0的区域内存在匀强磁场，磁场垂直于图中的OXy平面，方向指向纸外，原点。处有一离子源，沿各个方向射出速率相等的同价正离子，对于速度在OXy平面内的离子，它们在磁场中做圆弧运动的圆心所在的轨迹，可用下面给出的四个半圆中的一个来表示，其中正确的选项是A例8如图，在X轴的上方(y0)存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。在原点。有一个离子源向X轴上方的各个方向发射出质量为m、电量为q的正离子，速率都为v。对那些在Xy平面内运动的离子，在磁场中可能到达的最大X=，最大y=例9图中虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向外是MN上的一点，从0点可以向磁场区域y发射电量为+q、质量为m、速率为的粒于，粒于射入磁场时的速度可在纸：,面内各个方向先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇，P到0的D：:：:*距离为L不计重力及粒子间的相互作用i<(1)求所考察的粒子在磁场中的轨道半径求这两个粒子从O点射入磁场的时间间隔解析：设粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R,由牛顿第二定律，有V2p_qvB=mK=rR得MC2如下图，以OP为弦可画两个半径半径相同的圆，P点相遇的两个粒子的轨道，圆心和直径分别为01、02002Q2,在。处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方示它们之间的夹角。由几何关系可知：分别表示在和OOlQK向，用。表路程为半个IF。=/5二°从。点射入到相遇，粒子1的圆周加弧长Ql?QZ=RO粒子2的路程为半个圆周减弧长产QFQz=RJ7+竺粒子2运动的时间:两粒子射入的时间间隔:Rcos-=-L8=2arccos因22得2K例10如图1,半径为厂=IOem的匀强磁场区域边界跟于坐标原点0,磁感强度5=0.3327,方向垂直纸面向里.在放射源S,可向纸面各个方向射出速度为V=3.2x106m/s的粒子质量根=6.64X10-27人月，电量9=3.2x10”。，试画出6z磁场空间做圆周运动的圆心轨道，求出。粒子通过磁场空间的角.解析：设粒子在洛仑兹力作用下的轨道半径为E,由得图2粒子1运动的时间：】一5VmvBq6.64×1027×3.2×1060.332x3.2x10Fm=0.20m=20Cm虽然粒子进入磁场的速度方向不确定，但粒子进场点是确定的，因此粒子作圆周运动的圆心必落在以。为圆心，半径H=20s的圆周上，如图2中虚线.由几何关系可知，速度偏转角总等于其轨道圆心角.在半径尺一定的条件下，为使。粒子速度偏转角最大，即轨道圆心角最大，应使其所对弦最长.该弦是偏转轨道圆的弦，同时也是圆形磁场的弦.显然最长弦应为匀强磁场区域圆的直径.即。粒子应从磁场圆直径的A端射出.如图2,作出磁偏转角°及对应轨道圆心。'，据几何关系得Sin£='得0=60°,即。2R2粒子穿过磁场空间的最大偏转角为60°.例11如图8所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小人）.60T,磁场内有一块平面感光板成，板面与磁场方向平行，距离/=16Cm处，有一个点状的放射源S,它向各个.粒子，粒子的速度都是片3.0×106ms,粒子的之比q/加5.0×107Ckg,现只考虑在图纸平面中运动的ab上被粒子打中的区域的长度。XXXX×XXX××XXX×X；xXXiX!Z×i×XQXXXXO在距动的XXX”方向发射XXX电荷与质量XXxa粒子，求X××解析：a粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速表示轨道半径，有qvB=mvR,XXXXXXXXx×XXX圆周运动，用×XXx×XX×由此得R=mvqB,代入数值得4=10cm。图9可见，2您如图9所示，因朝不同方向发射的a粒子的圆轨迹都过S,由此可知，某一圆轨迹在图中N左侧与成相切，那么此切点A就是a粒子能打中的左侧最远点。为定出A点的位置，可作平行于励的直线Ca"到成的距离为此以S为圆心，厉为半径，作弧交力于0点，过0作成的垂线，它与力的交点即为X。再考虑N的右侧。任何a粒子在运动中离S的距离不可能超过2尼以24为半径、S为圆心作圆,交助于TV右侧的月点，此即右侧能打到的最远点。由图中几何关系得CylCrnXXXXXXXX)所求长度为PP2=NP+NP2,代入数值得P2=20cmoX×p×XXkm××××图14点评：此题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射速度的大小，其对应的轨迹半径也就确定了。但由于入射速度的方向发生改变，从而改变了该粒子运动轨迹图，导致粒子的出射点位置变化。在处理这类问题时重点是画出临界状态粒子运动的轨迹图对应的临界状态的速度的方向，再利用轨迹半径与几何关系确定对应的出射范围。例12如图14所示，在真空中坐标Wy平面的区域内，有磁感强度5=1.0x10-27的匀强磁场，方向与Xoy平面垂直，在X轴上的Mlo,0)点，有一放射源，在XOy平面内向各个方向发射速率V=LO义1。4机/s的带正电的粒子，粒子的质量为根=1.6X10-25人用，电量为q=1.6l()T8c,求带电粒子能打到y轴上的范围.2解析：带电粒子在磁场中运动时有B代=机,那么=QAm=IOcm.mv_1.6xl(25oxi。Bq1.0×102×1.6×1018如图15所示，当带电粒子打到y轴上方的A点与P连线正好为其圆轨迹的直径时,A点既为粒子能打到y轴上方的最高点.因QP=R=IOcm,AP=IR=TQcm,那么西=J而2而2=lQcm当带电粒子的圆轨迹正好与轴下方相切于B点时，B点既为粒子能打到y轴下方的最低点，易得OB=R=IOcm.综上，带电粒子能打到y轴上的范围为：-10sy10&加.小结：1 .带电粒子进入有界磁场,运动轨迹为一段弧线.解决这类问题的切入点是：定圆心；求半径；画轨迹；找圆心角。2 .同源粒子垂直进入磁场的运动轨迹3 .注意圆周运动中的有关对称规律：(1)在圆形磁场区域内,沿径向射入的粒子,必沿径向射出.(2)粒子进入单边磁场时,入射速度与边界夹角等于出射速度与边界的夹角;针对性训练：1、如图11所示，A、B为水平放置的足够长的平行板，板间距离为2=1.0x102根，A板中央有一电子源P,在纸面内能向各个方向发射速度在03.2x107根/s范围内的BQ11电子，Q为P点正上方B板上的一点，假设垂直纸面加一匀强磁场，X乂磁感应强度6=9.1义1037，电子的质量加=9.ii(r31左且，电子电量××11e=1.6l()T9c,不计电子的重力和电子间相互作用力，且电子打AP图11到板上均被吸收，并转移到大地.求：(1)沿PQ方向射出的电子击中A、B两板上的范围.12)假设从P点发出的粒子能恰好击中Q点，那么电子的发射方向(用图中。角表示与电子速度的大小V之间应满足的关系及各自相应的取值范围.解析：如图12所示，沿PQ方向射出的电子最大轨迹半径由BeV=机L可得=竺代入数据解得L=2义10一2机=22.该电子运动轨迹圆心在A板上H处，恰能击中B板M处.随着速度的减少，电子轨迹半径也逐渐减小.击中B板的电子与Q点最远B图12电子处相切于N点，此时电子的轨迹半径为d,并恰能落在A板上H处.所以电子能击中B板MN区域和A板PH区域.在AMFH中，有丽=72_诉2=J(2d)2"gd,且花vVV/OK7XxIIXQM=PF=(2-3)J=2.68×10-3msfQN=d=l×10-2mfPH=2d=2×lQ-2m.AP图13电子能击中B板Q点右侧与Q点相距2.68义10一3机1XICT?根的范围.电子能击中A板P点右侧与P点相距02X102根的范围.mvd2)如图13所示，要使P点发出的电子能击中Q点，那么有厂=，rsm=.Be2解得VSine=8xl()6V取最大速度3.2XIO,机/s时，有Sine=,6、IJT=arcsin；v取最小速度时有max=y111CI2,%=8x10m/s.所以电子速度与。之间应满足VSine=8×106,且earcsin-,-，v8×106m3.2×107m5422、据有关资料介绍，受控核聚变装置中有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的“容器”可装，而是由磁场约束带电粒子运动使之束缚在某个区域内.现按简化条件来讨论这个问题：如图8所示的是一个截面为内径%=0.6m、外径%=L2机的环状区域，区域内有垂直于截面向强磁场.氮核的荷质比且=4.8XIO7o/依，磁场的磁感应强度mB=OAT,不计带电粒子重力.1实践证明，氢核在磁场区域内沿垂直于磁场方向运动速大小与它在磁场中运动的轨道半径r有关，试导出V与r的关系式.2假设氢核沿磁场区域的半径方向平行于截面从A点射入画出氢核在磁场中运动而不穿出外边界的最大圆轨道示意图.图8下面的里的匀度V的磁场，3假设氮核在平行于截面从A点沿各个方向射人磁场都不能穿出磁场外边界，求氯核的最大速度.解析：1)设氮核质量为机，电量为“，以速率V在磁感强的匀强磁场中做半径为r的匀速圆周运动，Bqv=m-,那么V=效Rm2所求轨迹示意图如图9所示要与外圆相切)相切时，那么以Vm速度沿各方向射入磁场区的氢核都不能穿边界，如图1O所示.由图知/=4=0.3m,又由Bqu=机匕得2r度为B在速度为乙时不穿出磁场外界应满足的条件是那么Vm<=0.4×4.8×107×0.3=5.76×106ms.m3、(14分)如下图的直角坐标系中，在直线尸一21。到P轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中X轴上方的电场方向沿y轴负方向，X轴下方的电场方向沿y轴正方向。在电场左边界上2(-270,-7o)到C(24,0)区域内，连续分布着电量为+?、质量为力的粒子。从某时刻起由2点到。点间的粒子，依次连续以相同的速度由沿X轴正方向射入电场。假设从2点射入的粒子，恰好从y轴上的/(0,4)沿X轴正方向射出电场，其轨迹如图。不计粒子的重力及它们间的相互作用。求匀强电场的电场强度必求在ZC间还有哪些位置的粒子，通过电场后也能沿X轴正方向运动？假设以直线杆21。上的某点为圆心的圆形区域内，分布着垂直于X股平面向里的匀强磁场，使沿X轴正方向射出电场的粒子，经磁场偏转后，都能通过直线杆21。与圆形磁场边界的一个交点处，而便于被收集，那么磁场区域的最小半径是多大？相应的磁感应强度，是多大？从4点射出的粒子，由2到Z,的运动时间为北根据运动轨迹和对称性可得X轴方向21。=VOT（1分）P轴方向20=-（一）2×2（1分）2m2得:E=2（2分）qi。设到。点距离为Ay处射出的粒子通过电场后也沿X轴正方向，粒子第一次达X轴用时方，水平位移为入,那么Ax=%加y=-（02（1分）2m假设满足2/。=小2x,那么从电场射出时的速度方向也将沿X轴正方向（2分）解之得：Ay=d或（b）2=!0（2分）n2mV0n即ZC间y坐标为y=/°C;?=1,2,3,）（1分）n当炉1时，粒子射出的坐标为M=Z0当斤2时，粒子射出的坐标为%=-；/。当力，3时，沿X轴正方向射出的粒子分布在K到万之间（如图）K到度之间的距离为L=y-=0那么磁场的最小半径为A=T=系（2分）假设使粒子经磁场偏转后会聚于一点，粒子的运动半径与磁场圆的半径相等（如图），（轨迹圆与磁场圆相交，四边形加弧为棱形）由q%B=丝&得：JB=（2分）R5ql0