7 相似三角形的性质.docx

7相似三角形的性质第1课时相似三角形的对应线段之比教材分析本节教学内容是本章的重要内容之一.本节内容是在完成对相似三角形的判定条件进行研究的基础上，进一步探索研究相似三角形的性质，从而达到对相似三角形的定义、判定和性质的全面研究，从知识的前后联系来看，相似三角形可看作是全等三角形的拓展，相似三角形的性质研究也可看成是对全等三角形性质的进一步拓展研究.也是今后研究圆中线段关系的有效工具.备课素材今新课导入设讦)【置疑导入】钳工小王准备按照比例尺为3：4的图纸制作三角形零件.如图所示，图纸上的ABCCD表示该零件的横断面ABC,CD和CD分别是它们的高.那么它们的高的比器和边长的比器有什么关系？ADBDAC【说明与建议】说明:通过简单的图示引导学生去观察、思考、小组交流.建议：教师适时引导学生去分析问题,尝试得出结论，为本节课的学习做好铺垫.命题热点命题角度利用相似三角形的性质求距离或边长如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD,AB/7CD,AB=2m,CD=5根，点P到CD的距离是3相，则点P到AB的距离是(C)D6B.m10D.-m教学设计课题第1课时相似三角形的对应线段之比授课人素养目标1 .经历探索相似三角形性质的过程，了解相似三角形对应线段的比等于相似比，能用相似理论来解决简单的问题.2 .在参与猜想、证明等数学活动中，提升学生的演绎推理能力.3 .能运用相似三角形的性质解决简单的问题，体验解决问题策略的多样性.发展数学思维.教学重点1 .探索相似三角形性质的过程.2 .利用相似三角形的性质解决实际问题.教学难点相似三角形性质的应用.授课类型新授课课时教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾什么叫相似三角形？如何判定两个三角形相似？相似三角形有何性质？一个三角形有三条重要的线段，你们知道是哪三条吗？学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】前面我们学习了相似三角形的有关知识.1 .什么样的两个三角形相似？相似三角形的相似比指的是什么？2 .当两个相似三角形的相似比为1时，这两个三角形有何特殊关系？3 .全等三角形有哪些性质？三条主要线段：对应高、对应中线、对应角平分线有何关系？相似三角形又有哪些性质呢？本节课我们将共同探讨.回顾前面所学内容，加深学生对所学知识的理解，通过设问，激发学生的学习兴趣，为学习新知识做准备，让学生明确本节课学习的内容.重点让学生回顾理解三角形中的三条重要的线段中线、高线和角平分线的特征.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】1.练一练如图，小明依据图纸上的ABC,以1：2的比例建造了模型房的房梁ArBrCrfCD和CD分别是它们的立柱.(I)AACD与CD相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比.(2)如果CD=1.5c加，那么模型房的房梁立柱有多高？1.让学生亲身经历证明过程，从解题过程中发现问题，吸取教训、总结经验，并能形成自己的认识.据此，你可以发现相似三角形具有怎样的性质？解：相似.理由.ACABBCHd7=HS7=Hb.*.ABCA,B,C,NA=NCAD.VZCDA=ACrDA,2.使学生体验用数学解决实际问题的乐趣和奥妙所在，发展学生的思维能力，给学生属于自己的发展空间，同时通过本活动也可以使学生体会到实践与理论是有一定距离的.,.ACDA,C,D且相似比为1：2.(2)VACDA,C,D答:模型房的房梁立柱高3c八相似三角形对应高的比等于相似比.2.想一想已知ABCSZArBCABC与八ArB<v的相似比为k,则它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比是多少？请证明你的结论，并与同伴交流自己的想法.解：(1)由上面房梁的问题可知，品=等7=k.V/±yD相似三角形对应高的比等于相似比.当CD和CD分别为ABC与ABC，的角平分线时，证明：VABCA,B,C：.ZA=ZA,fNACB=NACrB)VCD和CD分别为ABC与八ArBC的角平分线，.zacd=zacb,Nacd=Tnacb.CDAB.*.ZACD-NA'C'D'.ACDA,C,D.CnLAg,k.CLfAD相似三角形对应角平分线的比等于相似比.(3)当CD和CD分别为ABC与ArBC的中线时，ACAB证明：VABCA,B,C：.ZA-ZAf,人9,一ArDk.ACADVCD和CD分别为ABC与八ArBC，的中线，-AR AD2“ABACA,D,-lfA,B,-k-AVIABCDAB ACDA,C,D,.,.CTVAg,k.CLfD 相似三角形对应中线的比等于相似比.定理：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线比都等于相似比.3.我们已经得到了相似三角形中特殊线段的关系，如果把角平分线、中线变为对应角的三等分线、四等分线n等分线，对应边的三等分线、四等分线、n等分线，那么它们也具有特殊关系吗？下面请同学们独立探索以下问题：如图，已知ABCSZkArBClABC与AArBC的相似比为k,点D,E在BC边上，点DE在Bc边上.(1)若NBAD=INBAC,ZB,A,D,=ZBWC则等于多少？JJ1U(2)若BE=WBC,则笫等于多少？(3)你还能提出哪些问题？与同伴交流.A/)上，BDECJEFB学生能够根据二等分的证明过程很顺利地完成探究活动，并能够通过类比的思想总结出相关结论.相似三角形对应角的n等分线的比和对应边的n等分线的比等于相似比.让学生在练习本上完成后再展示说明.通过刚才的探究，你能归纳一下相似三角形的有关性质吗？(学生相互交流，然后选代表回答，不足之处由教师补充)(1)相似三角形对应边的比等于相似比.(2)相似三角形的各对应角相等，各对应边成比例.(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.【典型例题】例(教材第105页例1)如图，AD是AABC的高，AD=h,点R在AC边上，点S在AB边上，SR±AD,垂足为E.当SR=TBC时，求DE的长；如果SR=IBC呢？I活动三：开放训练、体现应用解：VSR±AD,BC±AD,.,.SR/7BC.JNASR=NB,NARS=NC.AASRsABC（两角分别相等的两个三角形相似）.黑一年（相似三角形对应高的比等于相似比）,h11ad-deSR即ADBC当SR?BC时，得J12.解得DE2%当SR；BC时，得h解得DE；h.【变式训练】已知ABCDEF,ZA=80o,ZE=70o,AB=5cm,DE=2.5cm,BC=8cm,DF=5cm.求NB,ZC,ND,ZF通过练习可以让学生了解求物体高度的一些方法，同时提高了学生分析问题、解决问题的能力.(2)求AC,EF(3)求4ABC和DEF的相似比.(4)若AG,DH分别为ABC和DEF的高，求AG：DH.(5)若4ABC中NC的内角平分线长为a,求DEF中NF的内角平分线长.解：(1)VABCDEF,ZA=80o,ZE=70o,.*.ZD=ZA=80o,NB=NE=70。，ZC=ZF=ISOo-ZD-ZE=30。.(2)VABCDEF,ABBCAC_5_,DE-EF-DF-2.5-2.*.AC=2DF=10cm,EF=BC=4cm.(3)ABC和DEF的相似比为AB：DE=2.(4)AG：DH=2：1.(5)DEF中NF的内角平分线长为3.活动四：课堂检测【课堂检测】1 .两三角形的相似比是2：3,A.2：3B.2：32 .如果两个相似三角形对应达高之比是(B)A.1：2B.1：43 .已知ABCsdEF,BG,分线,BC=6cm,EF=4cm,解：如图所示：则其对应角的平分线之比是(B)C.4：9D.8：271中线之比是1：4,那么它们的对应C.1：8D.1：16EH分别是ABC和DEF的角平BG=4.8cm,求EH的长.1III针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.VABCDEF,'U号工即鬻-7,解得EH3.2C机.Jlrlr,rJcrl4学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.课堂小结1 .课堂小结：(1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？2 .布置作业：教材第108页习题4.11第1、2、3题.小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.板书设计第1课时相似三角形的对应线段之比相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.提纲挈领，重点突出.教学反思反思，更进一步提升.第2课时相似三角形的周长和面积之比教材分析“相似三角形的性质”是“图形的相似”这章的重点内容之一，是在学完相似三角形的定义及判定的基础上，进一步研究相似三角形的特性，以完成对相似三角形的全面研究，它是全等三角形性质的拓展，也是解决有关实际问题的重要工具.备课素材新课导入设讦)【归纳导入】(1)在如图所示的方格纸(每个小方格的边长为1个单位长度)上，画出一个与已知ABC相似，但相似比不为1的格点AlBICl(每小组至少画两种情况).(2)分别计算AABC与AAiBiCi的相似比、周长比及面积比，然后填表.AIBlelSABC从上表中可以看出，当相似比等于k时，周长比等于k，面积比等于由此可以猜想：相似三角形周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方.【说明与建议】说明：学生经历动手试验一观察一思考一归纳一发现的学习过程，分别总结相似三角形的周长比与相似比的关系、面积比与相似比的关系.注重学生动手试验、探索的过程，并利用小组合作的方式，培养学生的合作意识.建议：猜测得到命题“相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方”，利用比例的基本性质和相似三角形的性质进行证明.命题热点命题角度1利用相似三角形的性质求周长比1 .已知两个相似三角形的对应边之比为9：4,则这两个相似三角形的周长之比是(B)A.81：16B.9：4C.4：9D.3：2命题角度2利用相似三角形的性质求面积比2 .如果ABCsDEF,相似比为1：2,且AABC的面积为1,那么DEF的面积为(0A.1B.2C.3D.4教学设计课题第2课时相似三角形的周长和面积之比授课人素养目标1 .了解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.2 .利用相似三角形的性质解决问题.3 .通过对性质的发现和论证的过程，感受数学活动充满着探索以及数学结论的确定性，提高学习热情，增强探究意识.教学重点理解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.教学难点相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系的推导和应用.授课类型新授课课时教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾复习：(1)什么是相似三角形？什么是相似比？(2)如何证明两个三角形相似？(3)相似三角形具有什么性质？学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】1.如图所示是一块三角形木板，工人师傅要把它切割，使其中一块为三角形，另一块为梯形，且要使切割出的三角形与梯形的面积之比为4：5,那么该怎么切割呢？让学生通过对直观图形的观察、思考及合理的推导，自己发现结论.这样既调动了学生的积极性和主动2.如图，在比例尺为1：500的出-1III也图上，测得一J个三角形地块的周长为性，增强了学生积极参与教学活动的意识，又很好地培养了12cm,面积为6c/,求这个地块的实际周长及面积.学生的归纳演绎能力、自学能力和逻辑思维能力.问题1在这个情境中，地图上的三角形地块与实际地块是什么关系？1：500表示什么含义？问题2要解决这个问题，需要什么知识？问题3你能对这个地块的实际周长与面积作出估计吗？问题4如何说明你的猜想是否正确呢？活动二：实践探究、交流新知【探究新知】L请大家在如图的6×6方格（方格的边长为单位1）上,画出一个与ABC相似，且相似比不是1的格点ABCl让学生亲身经历证明过程，从解题过程中发现问题，吸取教训、总结经验，并能形成自己的认识.2 .请同学们分别计算图中两个三角形的相似比、周长比及面积比；归纳总结相似三角形的周长比、面积比分别与相似比有什么关系.由上面问题可以得到结论：相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.师生活动：先让学生独立完成探究中的1、2两个问题，然后小组之间交流自己的做法，教师巡视指导，及时发现学生不同的作法.教师用投影展示他们的作法，并指出学生的作法虽然不同，但得出的结论是一致的.3 .相似三角形周长、面积之比与相似比的关系AB问题：如图，4ABCsZArBCa，r，一k，AD,ATr分别为BC,BC边AD上的高.(1)这两个相似三角形周长(2)这两个相似三角形面积/的比为多少？的比为多少？BDCBfD,Cr师生活动：教师指导学生写出解答过程.解：(1)VABCA,BV,.,.AB：AB=BC：BC=AC：AC=k.(AB+BC+AC)：(AB+BC+AC)=k.(2)由题意，可知AABDsArBTr.,.AB：AB=AD：AD=k.Sabc:Sabc=(BCAD)：(B,C,A,D,)=k2.师生总结：两个相似三角形周长的比等于它们的相似比，面积的比等于相似比的平方.【典型例题】例(教材第Iio页例2)如图，将4ABC沿BC方向平移得到DEF,ABC与ADEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是ABC的面积的一半.已知BC=2,求AABC平移的距离.运用相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，求出边长和三角形的面积，再把面积活动三：开放训练、体现应a用解：根据题意，可知EGAB.NGEC=NB,NEGC=NA.GECsABC(两角分别相等的两个三角形相似).景(相似三角形的面积比等于相似比的平方)即:EC22r转化为所需的条件，考查了学生综合运用知识的能力.EC2=2.EC=2.BE=BC-EC=2-2,即ABC平移的距离为2【变式训练】如图，在口ABCD中，E是CD的CD=2DE.若DEF的面积为10,提示：DEFCEB,DEl平方，得到SCEB,SABF,进而Q+SCeb-Sdef.解：SoABCD-120.I延长线上一点贝旧ABCD的4IIIIFSzABE根加得SoABCD=Sz，BE与AD交于点F,面积为多少？I面积的比等于相似比的ABF+S四边形BCDF=SABF活动四：课堂检测【课堂检测】1 .若两个相似三角形的相似比为1：2,则它们面积的比为(C)A.2：1B.1：2C.1：4D.1：52 .如图，在口ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1,连接AE交BD于点F,则4DEF的面积与BAF的面积之比为(B)A.3：4B.9：16C.9：1D.3：13 .已知ABCsAiBiCi,AABC的周长与AAiBiCi的周长的比值是3BE,BIEI分别是它们对应边上的中线，且BE=6,则BIEl=生4 .如图，在AABC中，AC=4,BC=3,AB=5.若ABCsArBC且AB=I5,求2kArB'C的周长.进一步巩固所学新知，同时检测学习效果.提示：先求相似比，进而得到周长比.解：ABC，的周长为36.学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.课堂小结1 .课堂小结：(1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？2 .布置作业：教材第HO页习题4.12第1、2、3题.小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.板书设计第2课时相似三角形的周长和面积之比相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.提纲挈领，重点突出.教学反思反思，更进一步提升.