9 弧长及扇形的面积.docx

9弧长及扇形的面积本节课的教学内容是在学生已经学过“圆的认识”“与圆有关的位置关系”“正多边形和圆”的基础上进行的.本课由特殊到一般地探索弧长及扇形面积公式，并运用公式解决一些具体问题，使学生对圆的认知更加完善，为学生今后的学习及生活更好地运用数学作准备.备课素材新课导入设讦）【情景导入】同学们，你参加过田径运动会吗？为什么在田径200米比赛中，每个运动员的起跑位置不相同呢？因为每个运动员所跑的弯道的路线是一条弧，而他们各自的半径不相等，所以他们的起跑位置不相同.思考：怎么才能求出弧的长度呢？至命题热点）命题角度1利用弧长公式进行计算41 .（仙桃中考）如果一个扇形的弧长是耳兀，半径是6,那么此扇形的圆心角为（八）A.40oB.45°C.60oD.80°2 .一条弧所对的圆心角为135。，弧长等于半径为3CnI的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为（B）A.45cmB.40cmC.35cmD.30cm3.（黔西南中考）图1是一把扇形书法纸扇，图2是其完全打开后的示意图,外侧两竹条OA和OB的夹角为150。，4图A.511cmB.10几cm命题角度2利用扇形的面积公式进行计算4.已知圆心角为120°的扇形的面积为1211,1图2C.2011cmD.2511cm则扇形的半径为（B）OA的长为30cm,贴纸部分的宽AC为18cm,则而的长为（B）A.4B.6C.43D.625 .若扇形的弧长为兀，半径为2,则该扇形的面积为JL命题角度3求图中阴影部分的面积6 .（资阳中考）如图，在AABC中，ZACB=90o,AC=BC=2.将aABC绕着点A顺时针旋转90度到ABC的位置，则边BC扫过区域的面积为（B）7 .（十堰中考）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆交对角线AC于点E,以C为圆心、BC的长为半径画弧交AC于点F,则图中阴影部分的面积是3JI6.金数学文化拓展砥头比脚多移动了人类生活在地球这个大球面上，而我们的身体始终要保持垂直于地平面，也就是说，人的头、脚、地心要保持在同一条直线上.有部小说中的一位主人公仿佛曾经做过这样的计算：当你环球旅行的时候，究竟身体的哪一部分走了更多的路呢一一头顶、还是脚底？假如我们用适当的方式提出这个问题来，倒还是一道很有意味的几何题呢！假设地球的半径为R,则你的脚在赤道上环绕地球一周一共走了211R的路程，同时你的头顶走过了211（R+h）的路程，h是你的身高，因此，头和脚所走距离的差等于2五（R+h）=211R211h.如果你的身高大约L7米，则头比脚多走了10.7米.有趣的是，答案里并不包括地球半径的值，无论你环绕地球一周，还是环绕一个小球一周，头比脚多走的是一样的结果.总之，两个同心圆周长之差并不决定于它们的半径，而决定于两个圆周间的距离.沿地球赤道一圈堆上1分米高的土堆环，所增加的圆周长，和一个小篮球滚上1分米厚的泥土后所增加的大圆周长完全一样.假定把一根铁丝捆到地球赤道上，然后把这根铁丝放长1米，那么一周都松下来的铁丝和地球之间的间隙，能不能通过一只老鼠呢？看起来这个间隙一定很小，1米同地球赤道的40000000米相比，简直相差太大了，可以忽略不计，而事实上这个间隙的大小竟有百厘米七16厘米.这个高度，别说是小老鼠，一只大猫也可以大摇大摆地走过去.教学设计课题9弧长及扇形面积授课人素养目标1 .经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力.2 .了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题，训练学生的数学应用能力.3 .经历弧长和扇形面积公式的推导过程，培养自主探索的能力.教学重点会利用弧长计算公式及扇形面积计算公式解决问题.教学难点理解探索弧长及扇形面积的计算公式的探索过程.授课类型新授课课时教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1 .圆的面积如何计算？2 .圆的周长如何计算？学生回忆并回答，为本节课的学习做好准备.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】如图是圆弧形状的铁轨示意图你能求出这段铁轨的长度吗？,其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°.（几取3.14）由实际问题入手，设计情景问题，有助于激发学生的兴趣，让学生学生易于接受和理解.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】为了解决【课堂引入】中的问题公式，并应用它们来解决一些简1.弧长的计算公式（多媒体出示如图，某传送带的一个转动轮的G,下面我们就来一起探索弧长及扇形的面积:单的实际问题.:问题）I半径为10cm.Ar1.本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，对弧长计算公式从感性认识上升到理性认识.先从一般到特殊，再从特殊到一般，利用圆的周长公式推导出弧长的计算公式，在这一过程中让学生再次感受弧长公式与圆的周长公式的密切关系.2 .类比弧长计算公式的探索过程，引导学生探索扇形面积的计算公式，教会学生用类比的思想方法去模拟解决实际问题，锻炼学生的能力.3 .由于少部分学生对扇形的第二个公式的掌握仍有些困难，因此，在探讨公式后，让学生直接再利用公式确定问题的答案，这样可以让部分学生恢复解题的自信心，从而提高解题的积极性和主动性.（1）转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？（2）转动轮转1。，传送带上的物品A被传送多少厘米？（3）转动轮转n。，传送带上的物品A被传送多少厘米？（学生先独立思考，然后讨论、交流，最后由各组的组代表展示讨论的成果.教师予以鼓励和肯定）引导学生推导：在半径为R的圆中，n。的圆心角所对的弧长的计算公式为1=2-2HR=360n三11r我们发现，弧长公式与半径R,圆心角n。有着密切的关系.现在，你能算出这节课开头出示的铁轨的长度吗？（学生讨论交流，然后尝试回答）处理方式：学生讨论交流，在练习本上完成后再展示说明，学生之间互相补充，教师适时予以引导.让学生通过自主探究、合作交流归纳总结出弧长的计算公式，并通过对问题情境例子的解释，加深对公式的理解.2 .扇形面积的计算公式一一S扇形=:hR2（多媒体出示问题）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗.（1）这只狗的最大活动区域有多大？（2）如果这只狗只能绕柱子转过n。角，那么它的最大活动区域有多大？（学生先独立思考，然后讨论、交流，最后由各组的组代表展示讨论的成果.教师予以鼓励和肯定）解：（1）如图1,这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9Jim2.（2）如图2,狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆的面积是9兀m2,1°的圆心角对应的扇形面积是整个圆面积的白，即焉?><9几=而（布），11o的圆心角对应的扇形面积是（m2）.360404040由此实际问题，你能总结扇形的面积公式吗？学生讨论、交流，总结出下面的结论：若圆的半径为R,则圆的面积为兀R2,11R211R21。的圆心角对应的扇形面积为碗，n。的圆心角对应的扇形面积为前n11R2二360，因此扇形面积的计算公式为S扇形=总足其中R为扇形的半径，n。为圆心角.3 .扇形面积的计算公式一一S扇形=R（多媒体出示问题）上面我们已经探讨了弧长及扇形面积的计算公式，在半径为R的圆中，no的圆心角所对的弧长的计算公式为1=7JiR,no的圆心角对应的扇形面积公式为SL总“瞠在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n。和半径R有关系，那么1和S之间有什么关系吗？换句话说，能否用弧长表示扇形面积呢？请大家互相交流.（学生对比弧长及扇形面积公式进行探究、交流）/K解：.T=d几R,S扇形=g°rR,由此，你能发现扇形面积类似于三角形的面积计算公式吗？（能）若已知圆心角和半径，选择公式S扇形=:jiR2,若已知弧长和半径，选择S扇形=*R.3602试一试：（1）已知扇形的圆心角为150。，弧长为20Jicm,则扇形的面积为240兀2Cm.（2）已知扇形的弧长为20几cm,面积为240几cm2,则该扇形的圆心角为150°.师生活动：让学生对比弧长及扇形面积公式进行探究、交流，通过整体代入的方法推导出扇形的第二个面积计算公式，并让学生类似于三角形的面积计算公式加以记忆.对于巩固训练可以让两名同学板演，其余学生在练习本上完成.完成后，让学生进行评价.对于出现的问题及时予以强调.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例1（教材第100页例1）制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料.试计算图中管道的展直长度，即同的长（结果精确到0.1mm）.“亦e解：VR=40mm,n=110,I,nIlO二AB的长iqc×40Ji'76.8（mm）.IoUIoU因此，管道的展直长度约为76.8mm.例2（教材第IOl页例2）扇形AOB的半径为12cm,ZAOB=120°,求危的长（结果精确到0.1cm）和扇形AOB的面积（结果精确到0.1cm2）.（4分钟时间思考并板书，加强对公式的记忆与应用）安排学生独立在练习本上完成题目，并安排一名学生板演.学生完成后，老师予以讲评.20解：AB的长一1onJiX12'25.1（cm）.IoU12092S三-360.×122150.7（cm2）.因此，福的长约为25.1cm,扇形AOB的面积约为150.7cm2.【变式训练】1.如图，在扇形AOB中，NAOB=90。，以点A为圆心，OA的长为半径作方交福于点C.若0A=2,则阴影部分的面积为（B）工OAA.113B.3-111C.11D.4+；112.如图，。01，OO2,。3的半径都为1cm,任意两个圆的圆心都在第三个1 .让学生利用公式进行弧长的有关计算，明确弧长与所在圆的半径、圆心角的度数关系密切,熟练应用公式.实物投影展示解题过程的同时，规范学生的书写.2 .有助于巩固所学知识，提高学生思维能力，培养学生综合运用知识的能力，并有助于发散学生思维，让学生的学习积极性和主动性都得到提高.圆上，则阴影部分图形的周长和为兀cm.(结果保留兀)活动四：课堂检测【课堂检测】1 .已知扇形的半径为5cm,面积为20cm2,则扇形弧长为&cm.2 .如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连接AC,BD.(1)求证：AC=BD;3(2)若图中阴影部分的面积是W几Cm2,0A=2cm,求OC的长.A解：(1)证明：VZAOB=ZCOD=90°,.*.ZAOC=ZBOd.又TAO=BO,CO=DO,AOCBOD(SAS).AC=BD./、川山皿上/口9011×229011OC23(2)根据以息，倚S阴影360360411,解得OC=L.,.OC的长为1cm.学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.利用典型的练习题进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清"课堂小结1 .课堂小结：(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？(2)本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说.2 .布置作业：教材第102页习题3.11第1、2、3、4题.学生归纳本节课学习的主要内容，让学生自觉对所学知识进行梳理，形成体系，养成良好的学习习惯.板书设计9弧长及扇形的面积新课导入例题展示课堂检测提纲挈领，重点突出.探究新知变式训练教学反思反思，更进一步提升.