错位相减法提高篇.doc

数列求和之错位相减法例1 数列an的前n项和为Sn，且有a1=2，3Sn=I求数列an的通项公式；假设bn=n·an，求数列bn的前n项和Tn。解析：，3分又，4分. 5分，.8分两式相减得：，11分.12分例2 等比数列an的前n项和为Sn.S1，S3，S2成等差数列(1)求an的公比q；(2)假设a1a3，求数列n·an的前n项和Tn.解析：(1)由得2S3S1S2，2(a1a2a3)a1(a1a2)，a22a30，an0，12q0，q.(2)a1a3a1(1q2)a1(1)a1，a12，an(2)·()n1()n2，nann()n2.Tn1·()12·()03·()1n·()n2，Tn1·()02·()13·()2n·()n1，得Tn2()0()1()2()n2n·()n1()n1(n)，Tn()n1(n).例3 设数列an满足a12，an1an3·22n1.(1)求数列an的通项公式；(2)令bnnan，求数列bn的前n项和Sn.解析(1)由，得当n1时，an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222(n1)1.而a12，符合上式，所以数列an的通项公式为an22n1.(2)由bnnann·22n1知Sn1·22·233·25n·22n1.从而22·Sn1·232·253·27n·22n1.得(122)Sn2232522n1n·22n1，即Sn(3n1)22n12例4 等差数列an满足a20，a6a810.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列的前n项和解析(1)设等差数列an的公差为d.由条件可得解得故数列an的通项公式为an2n.(2)设数列的前n项和为Sn，即Sna1，故S11，.所以，当n>1时，a11()1(1).所以Sn.综上，数列的前n项和Sn.例5 (2008,) 数列的首项，证明：数列是等比数列；数列的前项和解析，又，数列是以为首项，为公比的等比数列由知，即，设，则，由得，又数列的前项和.例6 在等比数列an中，a2a332，a532.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列an的前n项和为Sn，求S12S2nSn.解析：(1)设等比数列an的公比为q，依题意得解得a12，q2，故an2·2n12n.(2)¡ßSn表示数列an的前n项和，¡àSn2(2n1)，¡àS12S2nSn2(22·22n·2n)(12n)2(22·22n·2n)n(n1)，设Tn22·22n·2n，¢Ù则2Tn222·23n·2n1，¢Ú¢Ù¢Ú，得Tn2222nn·2n1n·2n1(1n)2n12，¡àTn(n1)2n12，¡àS12S2nSn2(n1)2n12n(n1)(n1)2n24n(n1)例7 各项均为正数的数列前n项和为，首项为，且等差数列.求数列的通项公式；假设，设，求数列的前n项和.解析：1由题意知1分当时，当时，两式相减得3分整理得：4分数列是以为首项，2为公比的等比数列.5分，6分-得9分.11分12分例8(14分)单调递增的等比数列an满足a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)假设bnanlogan，Snb1b2bn，求使Snn·2n1>50成立的最小正整数n的值解析(1)设此等比数列为a1，a1q，a1q2，a1q3，其中a10，q0.由题意知：a1qa1q2a1q328，a1qa1q32(a1q22)×7得6a1q315a1q26a1q0，即2q25q20，解得q2或q.等比数列an单调递增，a12，q2，an2n.(2)由(1)得bnn·2n，Snb1b2bn(1×22×22n·2n)设Tn1×22×22n·2n，则2Tn1×222×23n·2n1.由，得Tn1×21×221·2nn·2n12n12n·2n1(1n)·2n12，Tn(n1)·2n12.Sn(n1)·2n12.要使Snn·2n1>50成立，即(n1)·2n12n·2n1>50，即2n>26.2416<26,2532>26，且y2*是单调递增函数，满足条件的n的最小值为5.【跟踪训练】1数列an的前n项和为Sn3n，数列bn满足b11，bn1bn(2n1)(nN*)(1)求数列an的通项公式an；(2)求数列bn的通项公式bn；(3)假设，求数列的前n项和Tn.解析：(1)¡ßSn3n，¡àSn13n1(n2)，¡àanSnSn13n3n12×3n1(n2)当n1时，2×3112S1a13，¡àan(2)¡ßbn1bn(2n1)，¡àb2b11，b3b23，b4b35，bnbn12n3.以上各式相加得bnb1135(2n3)(n1)2.¡ßb11，¡àbnn22n.(3)由题意得当n2时，Tn32×0×312×1×322×2×332(n2)×3n1，¡à3Tn92×0×322×1×332×2×342(n2)×3n，¡à相减得2Tn62×322×332×3n12(n2)×3n.¡àTn(n2)×3n(332333n1)(n2)×3n.¡àTn¡àTn(n¡ÊN*)2数列an为公差不为零的等差数列，a11，各项均为正数的等比数列bn的第1项，第3项，第5项分别是a1，a3，a21.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和Sn.解析：(1)设数列an的公差为d(d0)，数列bn的公比为q，¡ß由题意得aa1a21，¡à(12d)21×(120d)，即4d216d0，¡ßd0，¡àd4，¡àan4n3.¡àb11，b39，b581，¡ßbn的各项均为正数，¡àq3，¡àbn3n1.(2)¡ß由(1)可得anbn(4n3)3n1，¡àSn305×319×32(4n7)×3n2(4n3)×3n1，3Sn315×329×33(4n7)×3n1(4n3)×3n，两式相减得：2Sn14×34×324×334×3n1(4n3)×3n14(332333n1)(4n3)×3n1(4n3)×3n(54n)×3n5，¡àSn.3、递增的等比数列an满足：a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)假设bnanlogan，Snb1b2bn，求Sn.解：(1)设等比数列an的首项为a1，公比为q.依题意，有2(a32)a2a4，代入a2a3a428，得a38.¡àa2a420.¡à解得或又an为递增数列，¡à¡àan2n.(2)¡ßbn2n·log2nn·2n，¡àSn1×22×223×23n×2n.¢Ù¡à2Sn1×222×233×24(n1)×2nn×2n1.¢Ú¢Ù¢Ú得Sn222232nn·2n1n·2n12n1n·2n12.¡àSn2n1n·2n12.4、设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，求，的通项公式；求数列的前n项和解析设的公差为，的公比为，则依题意有且解得，所以，得，5、是等差数列，其前n项和为Sn，是等比数列，且，.求数列与的通项公式；记，证明.解析1设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由得，由条件得方程组，解得，所以2证明：由1得-得而故6(2012·)数列an的前n项和为Sn，且Sn2n2n，nN*，数列bn满足an4log2bn3，nN*.(1)求an，bn；(2)求数列an·bn的前n项和Tn.解析：(1)由Sn2n2n，得当n1时，a1S13；当n2时，anSnSn14n1，所以an4n1，nN*.由4n1an4log2bn3，得bn2n1，nN*.(2)由(1)知an·bn(4n1)·2n1，nN*，所以Tn37×211×22(4n1)·2n1，2 Tn 3×27×22(4n5)·2n1(4n1)·2n，所以2 Tn Tn(4n1)2n34(2222n1)(4n5)2n5.故Tn(4n5)2n5，nN*.7. (2012·)数列an的前n项和Snn2kn(其中kN)，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，并求an；(2)求数列的前n项和Tn.解析：(1)当nkN时，Snn2kn取最大值，即8Skk2k2k2，故k216，因此k4，从而anSnSn1n(n2)又a1S1，所以ann.(2)因为bn，Tnb1b2bn1，所以Tn2TnTn2144.3设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，a5b313.(1)求an，bn的通项公式；(2)求数列的前n项和Sn.解析：(1)设an的公差为d，bn的公比为q，则依题意有q0且解得所以an1(n1)d2n1，bnqn12n1.(2)，Sn1，2Sn23.，得Sn2222×22×6.4(2012·质检)数列an为公差不为零的等差数列，a11，各项均为正数的等比数列bn的第1项，第3项，第5项分别是a1，a3，a21.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和Sn.解析：(1)设数列an的公差为d(d0)，数列bn的公比为q，¡ß由题意得aa1a21，¡à(12d)21×(120d)，即4d216d0，¡ßd0，¡àd4，¡àan4n3.¡àb11，b39，b581，¡ßbn的各项均为正数，¡àq3，¡àbn3n1.(2)¡ß由(1)可得anbn(4n3)3n1，¡àSn305×319×32(4n7)×3n2(4n3)×3n1，3Sn315×329×33(4n7)×3n1(4n3)×3n，两式相减得：2Sn14×34×324×334×3n1(4n3)×3n14(332333n1)(4n3)×3n1(4n3)×3n(54n)×3n5，¡àSn.7(13分)数列an的前n项和Sn与通项an满足Snan.(1)求数列an的通项公式；(2)设f(*)log3*，bnf(a1)f(a2)f(an)，Tn，求T2 012；(3)假设an·f(an)，求的前n项和Un.解析：(1)当n1时，a1，当n2时，anSnSn1，又Snan，所以anan1，即数列an是首项为，公比为的等比数列，故ann.(2)由可得f(an)log3nn，则bn123n，故2，又Tn22，所以T2 012.(3)由题意得(n)·n，故Unc1c2，则Un，两式相减可得Unn·n1·nn·n1，则Un·nn·n1.8.在数列中，.求数列的通项公式；求证：数列是等差数列；)设数列满足，求的前n项和.解析：数列是首项为，公比为的等比数列，公差d=3数列是首项，公差的等差数列.由知，n.，于是两式-相减得=.