不等式地概念和基本性质.doc
不等式的概念和根本性质 重点：不等式的根本性质 难点：不等式根本性质的应用 主要内容： 不等式的根本性质 a>bb<a a>b,b>ca>c a+b<ca<c-b a>ba+c>b+c a>b不等式的运算性质 加法法如此：a>b,c>da+c>b+d 减法法如此：a>b,c>da-d>b-c 乘法法如此：a>b>0,c>d>0ac>bd>0 除法法如此：a>b>0,c>d>0>>0 乘方法如此：a>b>0,an>bn>0 (nN, n2) 开方法如此：a>b>0,>>0 (nN, n2) 根本不等式 aR,a20 当且仅当a=0时取等号 a,bR,a2+b22ab 当且仅当a=b时取等号a,bR+, 当且仅当a=b时取等号a,b,cR+,a3+b3+c33abc 当且仅当a=b=c时取等号 a,b,cR+, 当且仅当a=b=c时取等号|a|-|b|a±b|a|+|b| 不等式的概念和性质是进展不等式的变换，证明不等式和解不等式的依据，应正确理解和运用不等式的性质，弄清每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。根本不等式可以在解题时直接应用。 例对于实数a,b,c判断以下命题的真假假如a>b, 如此ac<bc;假如ac2>bc2, 如此a>b; 假如a<b<0, 如此a2>ab>b2; 假如a<b<0, 如此|a|>|b|; 假如a>b, > , 如此a>0, b<0 解：因为c的符号不定，所以无法判定ac和bc的大小，故原命题为假命题。 因为ac2>bc2, 所以c0, 从而c2>0，故原命题为真命题。 因为 所以a2>ab 又 所以ab>b2综合得a2>ab>b2故原命题为真命题 两个负实数，绝对值大的反而小故原命题为真命题 因为 所以所以 从而ab<0 又因a>b 所以a>0, b<0 故原命题为真命题 例f(x)=ax2-c且-4f(1)-1，-1f(2)5, 求f(3)的X围解：由题意可知：f(3)=9a-c=f(2)-f(1) 运算可知-1f(3)20 错解：依题设有 消元，得f(3)=9a-c -7f(3)26 错因：根源在于不等式组与不等式组并不等价，不等式组扩大了不等式组的解的X围，同向不等式在屡次相加时要慎重，一定要检查其同解性 例设a,b是不相等的正数：A= , G= , H= , Q= , 试比拟、的大小解：由于a,b为不相等的正数 所以：G-H=-=-=>0 从而 H<G A-G=-=>0 从而G<A Q-A= 从而A<Q 综上所述，当a, b为不相等的正实数时，H<G<A<Q评述：此题直接比拟G、H；A、G；、的原因在于由特殊值可对四者排序，令a=1, b=3如此A=2, G= ,H= , Q= ，这为我们解题指明了方向 例设a, bN+ s 求证：在与之间； 问与 哪一个更接近 ？证明：由于()() = () ab 所以式的值小于从而在与之间 解由于|-|=|a-b|=|a-b| |a-b|>|a-b| 故而 更接近例船在流水中在甲地和乙地间来回驶一次平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么？解：设甲、乙两地的距离为，船在静水中的速度为u，水流速度为vu>v>0如此船在甲、乙两地行驶的时间t为： t= += 平均速度=-u=-u=<0 <u 从而船在流水中来回一次的平均速度小于船在静水中的速度 练习假如a,b,c为实数，判断如下命题的真假 假如a>b, 如此ac2>bc2；假如a<b<0，如此< ； 假如a<b<0，如此> ；假如a<b<0，如此<1；假如c>a>b>0，如此 设x,yR，判定如下两题中，命题甲与命题乙的充分必要条件 命题甲 命题乙 命题甲 命题乙aR，试比拟3(1+a2+a4)与(1+a+a2)2的大小a>1, m>n>0，比拟am+ 和an+的大小 函数y=f(x), xR满足 对xR，都有f(x)2；对x1R，x2R, 都有f(x1+x2)f(x1)f(x2) 求证：对任意实数x1, x2，都有：lgf(x1+x2)lgf(x1)+lgf(x2) 参考答案解c20，当c=0时ac2=bc2=0故原命题为假命题 举特例-2<-1<0但->-1故原命题为假命题 由于a<b<0 所以 所以故原命题为假命题 a<b<0 |a|>|b|>0 故原命题为真命题 c>a>b>0 c-b>c-a>00 又a>b>0 故原命题为真命题 解当x>0, y>0时，很明显x+y>0, xy>0 当xy>0时，x,y同号；又x+y>0，可知x, y同正，即x>0, y>0 因此：命题甲是命题乙的充要条件 x>2>0，y>2>0x+y>4, xy>4 但是：反例如下：x=5, y=1, 这时x+y=6>4, xy=5>4, 但x>2, y<2 因此：命题甲是命题乙的充分但不必要条件 解：3(1+a2+a4)(1+a+a2)2=3+3a2+3a4-(1+a2+a4+2a+2a3+2a2)=2a4-2a3-2a+2 =2(a-1)2(a2+a+1)0 3(1+a2+a4)(1+a+a2)2解：(am+)-(an+)=(am-an)+()=由a>1, m>n>0可知am>an,am+n>1 (am+)-(an+)>0即：am+>an+证明：设x1R，x2Rf(x1)f(x2)-f(x1)+f(x2)f(x1)-1+f(x2)-1 对任意xRf(x)2 -10 -10f(x1)f(x2)f(x1)+f(x2) 再由条件 f(x1+x2)f(x1)+f(x2)对任意实数x1R x2R有： f(x1+x2)f(x1)·f(x2)lgf(x1+x2)lgf(x1)f(x2)=lgf(x1)+lgf(x2) 从而对任意实数x1R，x2R有：lgf(x1+x2)lgf(x1)+lgf(x2) 不等式综合能力测试一、选择题：1设I=R，集合M=x|lg(x+1)0,如此等于A、(-,-1)(0,+) B、(-,0C、(-,-1)0,+) D、(-,0)2假如函数y=lg1+(1+log2x)的值域为R+，如此其定义域为A、R+B、(1,+) C、(,+) D、(,1)3使方程cos2x+sinx=a有实数解的a的取值X围是A、(-, B、-1, C、0, D、-2,4函数：(1) y=x+(x0), (2)y=cosx+(0<x<), (3)y=(x+8x+)(x>0), (4) y=(1+cotx)(+2tgx)(0<x<).这四个函数中以4为最小值的个数为A、0 B、1 C、2 D、35如果a>b>c，如此有A、|a|>|b|>|c|B、|a|<|b|<|c|C、|a-c|>|c-b|D、|a+b|>|b+c|6不等式x+1的解集是A、x|-1x1 B、x|0x1 C、x|x-1 D、x|-1x0)二、填空题7a、b、cR+，且a+b+c=1, 如此的最小值是_.8loga(1+a)与loga(1+) (a>0且a1)的大小关系是_.9设x>0, 如此函数y=+x2, 当x=_时，有最小值_.10不等式lg(x2+2x+2)<1的解集是_.11函数y=+arcsin(2x-3)的定义域为_.12不等式x>|2-|的解集是_.三、解答题13解不等式<0.14如果0<a<1, 0<b<1, 0<c<1, 试证：(1-a)b, (1-b)c, (1-c)a不能同时大于.15解不等式+>0.16|a|<1, |b|<1, |c|<1, 求证：|<1.17假如xy=100, x, y, 求lg(ylgx)的最大值和最小值.18轮船航行的费用分为两局部，第一局部是轮船的折旧费或其它服务费用，每小时480元；第二局部为燃料费，它与速度的立方成正比.并且当速度为10公里/小时时，燃料费为每小时30元.问航行速度为多少时，才能使航行每公里的费用最小？并求出这个最小值，此时每小时的费用总和多少？答案：7.9 8. loga(1+a)>loga(1+) 9. 10. x|-4<x<2 11. 1, 12. x|x<13. 由或解得原不等式的解集为x|x<0或1<x<2或2<x<3或x>4.14假设(1-a)b, (1-b)c, (1-c)a同大于， abc(1-a)(1-b)(1-c)>()3.(1)又 a(1-a)()2=, 即a(1-a),同理b(1-b), c(1-c), abc(1-a)(1-b)(1-c)()3.(2)(1)与(2)矛盾，所以结论成立.15设x=tana (-90°<a<90°),如此=sina, =cos2a,原不等式化为sina+cos2a>0,即 2sin2a-sina-1<0, -<sina<a<, x=tana>-.故 原不等式的解集是(-,+¥).16|<1Û<1Ûa2+b2+c2+a2b2c2<1+a2b2+b2c2+c2a2Û(1-a2)(1-b2)(1-c2)>0,即 原不等式成立.17设M=lg(ylgx)=lgx·lgy, x, y, lgx>0, lgy>0 M()2=()2=1,当x=y=10时等号成立，又 xy=100, lgx+lgy=2 M=-(lgx-1)2+1,由x, y,得lgx, lgy, lgx, 当lgx=或lgx=时，M有最小值，故lg(ylgx)的最大值为1，最小值为.18设每小时的费用总和为t元，航行速度为x公里/小时，t=kx3+480(x0),由得103k=30得k=, 即t=x3+480,设每公里的航行费用为y元，得y=(x3+480)=x2+3=36，当x=20时取等号，答略.
