二次函数的标准式化成通式配方法.doc

、二次函數的標準式化成通式（配方法）1. 二次函數的通式為，可觀察到（1） 若，開口向上； 若，開口向下。（2）若越大，則開口越小；若越小，則開口越大。（3）頂點坐標為（，）。（4）對稱軸的方程式為 。 二次函數的通式可以很容易的畫出二次函數的圖形。 2. 二次函數的標準式，化成通式： 頂點坐標 例1： 試求二次函數的頂點坐標與對稱軸的方程 式，並畫出其圖形。 例2： 將二次函數的圖形，向右移動2個單位 長，再向下移動3個單位長，則新的二次函數為何. 且新的頂點坐標為何. 例3： 二次函數，若將其圖形向左移3 個單位長，再向下移2個單位長，則新的二次函數為，求：（1）原二次函數最高點的坐標。 （2）的值。二、二次函數圖形與軸或軸交點坐標的判別 二次函數的標準式，（1） 與軸的交點坐標 。解說：，令代入，得， 故與軸的交點坐標 。（2） 與軸交點坐標的討論：即與的交點坐標（共同解）。，判別式 當，有相異實數解，即二次函數與軸交於兩點 ，交點坐標為、 當 ，有相等實數解（重根），即二次函數與軸交 於一點（此點亦為頂點坐標），交點坐標為 當，無實數解，即二次函數與軸沒有交點。例4： 二次函數的圖形交軸於、兩點， 與軸交於點，（1）求點的坐標。（2）求的 面積。例5：二次函數的圖形交軸於、兩點， 與軸交於點，（1）求點的坐標。（2）求的 面積。例6：二次函數的圖形交軸於、兩點， 與軸交於點，（1）求點的坐標。（2）求的 面積。例7：若二次函數與軸相交於兩點，求的 最小整數值。例8：設二次函數的圖形與軸只相交於一 點。（1）求的值。（2）求圖形與軸的交點坐標。（3） 頂點坐標。例9：若二次函數的圖形與軸不相交，（1） 求的最大整數值。（2）此時二次函數的開口方向 為何。（3） 頂點坐標為何.例10：已知函數的圖形如下圖所 示，試求： k之值 A點座標 (圖中y軸的正向 向上) 例11：二次函數，的圖形如下，試判別、及的正負關係jk 0 ； 0 0 ； 0 0 ； 0 0 ； 0lm 0 ； 0 0 ； 0 0 ； 0 0 ； 0三、利用幾個點求二次函數1. 給三個已知點其中一點為與軸的交點坐標 假設此二次函數為， 例12：有一二次函數的圖形通過、及三點，求 此二次函數。2. 給三個已知點其中兩點為與軸的交點坐標、假設此二次函數為 例13： 有一二次函數的圖形通過、及三點， 求此二次函數。3. 給兩個已知點其中點為頂點坐標（，）。 假設此二次函數為例14：有一二次函數圖形的最低點坐標為，且通過，求此二次函數。4. 給兩個已知點與對稱軸的方程式為。 假設此二次函數為例15：有一二次函數的圖形通過、，且對稱軸的 方程式為，求此二次函數。例16：設函數，的圖形如下，試求、之值 。例17：如圖，貝克漢丟垃圾的路徑是一個二次函數的圖形，已知貝克漢是在此二次函數 的頂點(即B點)將垃圾丟出，且從點進入筒內， 若B的坐標為，則b. 例18：如下圖，在坐標軸上，當投手投出高飛球，經(9，4)， 達最高點(6，5)，則補手接到球時，該球離地面軸的 距離。四、二次函數的最大值與最小值二次函數的標準式，化成通式：得頂點坐標（1） 當時，即當時，有最小值。 頂點坐標為最低點。（2） 當時，即當時，有最大值。 頂點坐標為最高點。例19：試判斷下列各函數是否有最大值或最小值，並求其值。 （1） （2）例20：求下各函數的最大值或最小值，與最高點或最底點的坐 標。（1） （2）例21：在二次函數中：（1）有最大值或 最小值.又最大值或最小值是多少.（2）此時.例22：（1）若二次函數有最大值3，求. （2）若二次函數，當時，有最小 值，求、的值。例23：（1）在二次函數中，若，則的最大值與最小值各為何. （2）在二次函數中，若，則的最大值與最小值各為何.例24：已知、是坐標平面上的兩點，則的 最小值為何.又此時值為多少.例25：設為整數，則的最大值為何.五、二次函數的應用問題（1）將正整數分成兩正數的和，以分成相等兩數的乘積最大；以分成相等兩數的平方和為最小。（2） 以個線段為周長圍成個矩形，以圍成正方形的面積 最大。例26：如何將12分成兩數，使得兩數的平方和為最小.例27：將100公尺的繩子分成兩段，分別以此兩段為成兩個正 方形，求兩正方形面積和的最小值。例28：如何將15分成三數，其中兩數為連續整數，使得三數 的平方和為最小.例29：假設：1：2，且：3：4，求j：k的最大值。例30：發哥想用135公尺的繩子靠河的一岸圍出一矩形，但靠 岸邊的不需圍(只圍長方形的三邊)，且在與河岸垂直的 一邊上，留下5公尺的通道，則此長方形的最大面積為 多少平方公尺.例31：在時間t=0秒時，*位跳水選手從高為32呎的平台跳下(如圖)。已知在時間為t秒時的高度為h=16t216 t32（呎），請問什麼時候達到最高點，並求出最高點的位置。例32：果園中種了25棵橘樹，每棵平均可生產橘子450個， 若在此園中每加種1棵，每棵平均產量減少10個，問 應加種幾棵才能使此園的產量達到最大.最大產量是 多少.例33：臺中電影院放映終極蠢蛋如門票（只有一種）為120 元時觀眾有200人，如票價每降低1元時，則觀眾會增 加5人，該電影院最多能容納600人，該電影院為了要 收入最多，則門票要訂為多少元例34：蓮花旅行社招攬環島旅行團，預定組團30人，每人收 費6000元，若每增加1人，每人減收150元，若蓮花 旅行社欲獲得最大收入，應增加多少人.且最大收入 為多少元.例35：已知，為數線上三點，它們的坐標分別為2， -3，設4的值為，則(1)若，試求，之值。(2)若為整數時，試求的最小值。例36：如右圖，二次函數的圖形通過原點，且頂點為(2，4)，是其內接矩形，則(1)此二次函數的方程式為何.(2)矩形的最大周長是多少.