圆及方程知识点总结典型例题.doc
圆与方程 1. 圆的标准方程：以点为圆心,为半径的圆的标准方程是. 特例：圆心在坐标原点,半径为的圆的方程是：.2. 点与圆的位置关系：<1>. 设点到圆心的距离为d,圆半径为r： a.点在圆内 dr； b.点在圆上 d=r； c.点在圆外 dr <2>. 给定点及圆.在圆内在圆上在圆外3涉及最值：1 圆外一点,圆上一动点,讨论的最值2 圆内一点,圆上一动点,讨论的最值思考：过此点作最短的弦？此弦垂直3. 圆的一般方程： .<1> 当时,方程表示一个圆,其中圆心,半径.<2> 当时,方程表示一个点.<3> 当时,方程不表示任何图形.注：方程表示圆的充要条件是：且且.4. 直线与圆的位置关系： 直线与圆 圆心到直线的距离1；2；3；弦长|AB|=2还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解,通过解的个数来判断：1当时,直线与圆有2个交点,直线与圆相交；2当时,直线与圆只有1个交点,直线与圆相切；3当时,直线与圆没有交点,直线与圆相离；5. 两圆的位置关系1设两圆与圆, 圆心距1 ；2 ；3 ；4 ；5 ； 外离 外切 相交 内切 2两圆公共弦所在直线方程圆：, 圆：,则为两相交圆公共弦方程.补充说明：1 若与相切,则表示其中一条公切线方程；2 若与相离,则表示连心线的中垂线方程.3圆系问题过两圆：和：交点的圆系方程为补充：1 上述圆系不包括；2 2当时,表示过两圆交点的直线方程公共弦3 过直线与圆交点的圆系方程为6. 过一点作圆的切线的方程：(1) 过圆外一点的切线：k不存在,验证是否成立k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,即求解k,得到切线方程一定两解例1. 经过点P<1,2>点作圆<x+1>2+<y2>2=4的切线,则切线方程为 。<2> 过圆上一点的切线方程：圆<xa>2+<yb>2=r2,圆上一点为<x0,y0>,则过此点的切线方程为<x0a><xa>+<y0b><yb>= r2特别地,过圆上一点的切线方程为.例2.经过点P<4,8>点作圆<x+7>2+<y+8>2=9的切线,则切线方程为 。7切点弦<1>过C：外一点作C的两条切线,切点分别为,则切点弦所在直线方程为：8. 切线长：若圆的方程为<x-a>2+<y-b>2=r2,则过圆外一点P<x0,y0>的切线长为 d=9. 圆心的三个重要几何性质：1 圆心在过切点且与切线垂直的直线上；2 圆心在某一条弦的中垂线上；3 两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线。10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法例.已知圆C1：x2 +y22x =0和圆C2：x2 +y2 +4 y=0,试判断圆和位置关系,若相交,则设其交点为A、B,试求出它们的公共弦AB的方程及公共弦长。一、求圆的方程例1 <06XX卷文>以点为圆心且与直线相切的圆的方程为< ><A><B><C><D>二、位置关系问题例2 <06XX卷文> 直线与圆没有公共点,则的取值范围是< ><A><B><C><D>三、切线问题例3 <06XX卷理> 过坐标原点且与圆相切的直线方程为< ><A>或<B>或<C>或<D>或四、弦长问题例4 <06天津卷理> 设直线与圆相交于两点,且弦的长为,则.五、夹角问题例5 <06全国卷一文>从圆外一点向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为< ><A><B><C><D> 0六、圆心角问题例6 <06全国卷二> 过点的直线将圆分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线的斜率.七、最值问题例7 <06XX卷文>圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是< ><A> 30 <B> 18<C><D>八、综合问题例8 <06XX卷理>若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线的斜率k取值范围_圆的方程1.方程x2+y22t+3x+214t2y+16t4+9=0tR表示圆方程,则t的取值范围是A.1<t< B.1<t<C.<t<1 D.1<t<22. 一圆与y轴相切,圆心在直线x3y=0上,且直线y=x截圆所得弦长为2,求此圆的方程.3.方程x2y2DxEyF0D2E24F0表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形,则 A.D+E=0B. B.D+F=0 C.E+F=0D.D+E+F=04.20XX全国,8在坐标平面内,与点A1,2距离为1,且与点B3,1距离为2的直线共有 A.1条B.2条C.3条D.4条5. 20XX黄冈市调研题圆x2+y2+x6y+3=0上两点P、Q关于直线kxy+4=0对称,则k=_.6.20XX全国卷,16设P为圆x2+y2=1上的动点,则点P到直线3x4y10=0的 距离的最小值为_.7.已知实数x、y满足方程x2+y24x+1=0.求1的最大值和最小值；2yx的最小值；3x2+y2的最大值和最小值.经过两已知圆的交点的圆系例1 求经过两已知圆：和的交点且圆心的横坐标为3的圆的方程。例2 设圆方程为： 其中4 求证： 不论为何值,所给圆必经过两个定点。直线与圆的位置关系例1：求由下列条件所决定圆的圆的切线方程；(1) 经过点,<2>经过点,<3>斜率为直线和圆1 自点3,3发出的光线L射到x轴上,被x轴反射,其反射线所在直线与圆相切,求光线L所在直线方程2. 求圆心在直线上,且过两圆,交点的圆的方程3. 2002北京文,16圆x2y22x2y10上的动点Q到直线3x4y80距离的最小值为弦长例题 已知直线lx+2y-2=0与圆Cx2+y2=2相交于A、B两点,求弦长AB.
