大学物理刚体运动学.ppt
1,1.刚体运动学,1.1 刚体的平动和转动(1)刚体、刚体的平动刚体:无论在多大的外力作用下,总是保持其形状、大小不变,理想化的模型。(2)刚体的平动,刚体内任何一条给定的直线,在运动中始终保持它的方向不变。,各质点具有相同的速度和加速度,所以刚体平动时任何一点的运动都可代表整个刚体的运动。,刚体的平动时可看成质点。,2,(3)刚体的转动,刚体中各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动.转轴固定不动,称为定轴转动.,P为刚体上一质点,在转动平面内绕0点作圆周运动。,0,d,dt,K,d,转动平面:任取一垂直于转轴的平面,(4)转动运动学的物理量,再任取一点K,在同一个dt内,也转过同样的d角。,所以:刚体中任何其它质点都具有相同的,,3,即(,)三量具有普遍性。知一点的(,),可知整个刚体的运动。,故用(,)描写刚体的转动。,所以:定轴转动刚体中任何其它质点都具有相同的,,4,0,转轴,P,1.2 角速度矢量,5,例:一刚体以每分钟60转绕z轴做匀速运动,(沿z轴正方向),设某时刻刚体上一点P 的位置矢量为:(单位为“10-2m”),若以“10-2ms-1”为单位,则该时刻P点的速度为:,解:,还可解行列式,6,(1)求角加速度 和飞轮从制动开始到静止所转过的转数N;(2)求制动开始后t=25s 时飞轮的角速度;,解(1)初角速度为0=21500/60=50 rad/s,方向如图,刚体运动学综合例题:一飞轮转速n=1500r/min,受到制动后均匀地减速,经t=50 s后静止。,从开始制动到静止,飞轮的角位移 及转数N分别为,对于匀变速转动,应用以角量表示的运动方程,在t=50s 时刻=0,代入方程=0+t 得,(2)t=25s 时飞轮的角速度为,的方向与0相同;,7,对轴的角动量和对轴的力矩,矢量代数的一般处理方式:在具体的坐标系中,角动量(或力矩)在各坐标轴的分量,就叫对轴的角动量(或力矩)。,Lz:质点对z轴的角动量,Mz:质点对z 轴的力矩,P63,8,求力对z 轴的力矩Mz的(教材)简化步骤:,结论:z轴转动平面内的分量的运算就是对z轴的力矩,第2步,认定位矢和力在转动平面内的分量,第3步,算出力对z轴的力矩.,第1步,通过质点画z轴转动平面(过质点垂直转轴的平面,即过质点的xy平面),9,2.1力对转轴的力矩.(1)外力在垂直于转轴的平面内。,如果:,2 转动定理 转动惯量(刚体动力学),10,(2)外力不在垂直于转轴的平面内,P,P63 结论:z轴转动平面内的分量的运算就是对z轴的力矩。,11,2.2 转动定理,合外力矩M,合内力矩=0,12,M=I 转动定理,定轴转动定理(律)在转动问题中的地位相当于平动时的牛顿第二定律,13,例:几个力同时作用在一个具有光滑固定转轴的刚体上,如果这几个力的矢量和为零,则此刚体(A)必然不会转动(B)转速必然不变(C)转速必然改变(D)转速可能不变,也可能改变,答案:(),D,参考解答:在应用转动定律M=I 时应注意M是合外力矩,是外力力矩之和,而不是合外力的力矩。几个力的矢量和为零,有合外力矩也为零或不为零的两种情况,所以定轴转动的刚体其转速可能不变,也可能改变。,例:一个有固定轴的刚体,受到两个力的作用。当这两个力的合力为零时,它们对轴的合力矩也一定为零吗?举例说明之。,答:并不是一定为零。如汽车的方向盘可绕垂直于转盘且过盘中心的定轴转动。当驾驶员用两手操纵方向盘时,就可在盘的左右两侧加上方向相反、大小相等的两个力。对转盘而言,合外力为零,但这两个力的力矩大小相等,方向一致,故合力矩不为零。,14,dm质元的质量,r 质元到转轴的距离,刚体的质量可认为是连续分布的,所以上式可写成积分形式,按转动惯量的定义有,2.3 转动惯量的计算,转动惯量是转动中惯性大小的量度。,质量是平动中惯性大小的量度。,类比:,平动:一维直线运动,转动:定轴转动,15,注意:转动惯量与质量有关,与运动速度无关。质量一定时,与质量的分布有关,并且与转轴的位置有关。转动惯量计算:,例:,m,m,m,d,d,d,A,0,三个质点m组成一个正三角形刚体结构。求IA、I0。,叠加原理,与转轴的位置有关。,16,(2)转轴过顶端,与棒垂直,x,取dx:,转动惯量与转轴的位置有关,0,例:细棒质量m,均匀分布,长l,(1)转轴过中心,与棒垂直.,x,0,dx,x,取dx:,质量连续分布:,17,平行轴定理:,d 两平行轴之间的距离。,例:均匀薄圆盘,转轴过中心与盘面垂直,求I0。,r,0,r,dr,取半径为r,宽为dr的圆环,18,(m2 m1),T2,a,T1,m1g,a,又,绳与轮间无滑动,滑轮边缘的切向加速度R,和物体的加速度相等.,例:如图所示,滑轮质量m,半径R(注意:在中学里一般滑轮质量略去不计)求:物体的加速度和绳的张力。,19,例:一半径为R,质量为m匀质圆盘,平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为,令圆盘最初以角速度0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转,问它经过多少时间才停止转动?,解:由于摩擦力不是集中作用于某一点,而是分布在整个圆盘与桌子的接触面上,其力矩的计算要用积分法。,质元,圆盘所受阻力矩,如图,把圆盘分成许多如图的质元,每个质元的质量为dm,dm=dV=rddre,(e是盘的厚度)所受到的阻力矩dM=rdmg。,阻力矩向下,与0方向相反!,20,也可以把圆盘分成许多圆环形质元,每个质元的质量dm=dV=2rdre,所受到的阻力矩是rdmg。,因m=eR2,代入得,根据定轴转动定律,阻力矩使圆盘减速,即获得负的角加速度.,设圆盘经过时间t 停止转动,则有,由此求得:,21,例:均质矩形薄板绕竖直边转动,初始角速度为0,转动时受到空气的阻力阻力垂直于板面,每一小面积所受阻力的大小与其面积及速度的平方的乘积成正比,比例常数为k试计算经过多少时间,薄板角速度减为原来的一半设薄板竖直边长为b,宽为a,薄板质量为m,解 在板上距离转轴为r处取一长度为b,宽度为dr的面积元,其面积为dS=bdr,当板的角速度 时,面积元的速率为 v=r,所受的阻力为 df=kv2dS=k2r2bdr,阻力产生的力矩为 dM=rdf=k2r3bdr,,因此合力矩为,其角加速度为,负号表示角加速度的方向与角速度的方向相反.,注意:,不成立!?,22,由于=d/dt,可得转动的微分方程,分离变量得,积分得,当t=0时,=0,所以C=-1/0,因此得:,当=0/2时,解得时间为:,23,3 刚体的动能与势能,整个刚体的转动动能等于各质点动能之和。,刚体的转动动能,3.1 刚体的转动动能,24,(1)力矩的功,外力矩,刚体从角位移12时,外力矩M所作的功。,3.2 定轴转动的动能定理,25,合外力矩对定轴转动刚体所作的功等于其转动动能的增量。,(2)定轴转动的动能定理,26,解:当棒摆到如图所示位置时,,例:如图:均匀细棒(m、l),水平开始下摆,到竖直位置时,中心点C和端点A的速度各为多少?,再问:水平位置和竖直位置棒的角加速度各为多少?,下摆d,,任取一中间过程,27,3.3 刚体的重力势能,x,0,h(y),m,c,.,刚体势能的计算:把刚体的质量看成集中于质心,计算质心势能即可.,28,3.4 刚体系统的功能原理,A外力+A非保守内力=(Ek2+Ep2)(Ek1+Ep1),系统外力与非保守内力作功之和等于系统机械能的增量功能原理,3.5 机械能守恒定律,系统机械能守恒.,平动动能+转动动能+重力势能+弹性势能=恒量,如上例:棒定轴转动,只有保守力(重力)作功,机械能守恒。,水平,机械能:mgh(注意势能零点的选择),竖直,机械能:,机械能守恒:,29,例:质量m1,半径为R 的定滑轮(当作均质圆盘)上绕一轻绳,绳的一端固定在滑轮上,另一端挂一质量为m2的物体而下垂,如图所示。忽略轴处摩擦,求物体m2由静止下落h高度时的速度。,解 将滑轮、物体、绳和地球视为一个系统,根据机械能守恒定律,30,1.刚体的角动量,4.4 刚体角动量和角动量守恒定律,刚体为特殊质点系,质点系对轴线的角动量定理(2.43),可直接应用于刚体,略去下标z,写成,刚体所受对某给定轴 的合外力矩等于刚体对该轴 的角动量对时间的变化率。,P63,31,2.角动量(动量矩)定理,动量定理:,设想:角动量定理:,32,3.角动量守恒定律,刚体所受的合外力矩等于零时,刚体的角动量保持不变.,33,例:如图所示,球棒,完全弹性碰撞.求小球的回跳速度v,棒的角速度。,.,0,解:小球:动量定理(向上为正):,细棒:角动量定理(方向以为正):,球,棒系统,弹性碰撞,动能守恒:,问题:公式(3)的物理意义?,另解:棒球系统,碰撞过程角动量守恒.,平面,34,解:完全非弹性碰撞,外力:重力,轴的支承力,对转轴的力矩为零,角动量守恒.,碰后瞬间:设棒和枪弹开始一起运动时的角速度为,角动量守恒:,例:均匀细杆长 L 质量M,可绕A端的水平轴自由转动,在杆自由下垂时,质量为m的枪弹沿水平方向射进杆的P点.并使杆摆动,摆动的最大偏转角为,已知AP长为l,求枪弹射入之前的速度v.,常见错误:,叠加原理,35,此后,棒和枪弹一起以运动,机械能守恒。,枪弹射入后,棒和枪弹系统的质心位置rc:,竖直,机械能:,最大偏转角 处,机械能:,例:均匀细杆长 L 质量M,可绕A端的水平轴自由转动,在杆自由下垂时,质量为m的枪弹沿水平方向射进杆的P点.并使杆摆动,摆动的最大偏转角为,已知AP长为l,求枪弹射入之前的速度v.,36,例:工程上,两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动。如图所示,A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上,A轮的转动惯量为IA=10kgm2,B的转动惯量为IB=20kgm2。开始时A轮的转速为600r/min,B轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速;在啮合过程中,两轮的机械能有何变化?,37,解:以飞轮A、B和啮合器C作为一系统来考虑,在啮合过程中,系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力,前者对转轴的力矩为零,后者对转轴有力矩,但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩,所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律可得,为两轮啮合后共同转动的角速度,以各量的数值代入得,或共同转速为,在啮合过程中,摩擦力矩作功,所以机械能不守恒,部分机械能将转化为热量,损失的机械能为,38,例:均质圆轮A的质量为M1,半径为R1,以角速度绕OA杆的A端转动,此时,将其放置在另一质量为M2的均质圆轮B上,B轮的半径为R2B轮原来静止,但可绕其几何中心轴自由转动放置后,A轮的重量由B轮支持略去轴承的摩擦与杆OA的重量,并设两轮间的摩擦因素为,问自A轮放在B轮上到两轮间没有相对滑动为止,需要经过多长时间?,解 圆轮A对B的压力为 N=M1g,两轮之间的摩擦力大小为 f=N=M1g,摩擦力对A的力矩大小为MA=fR1=M1gR1,,摩擦力对B的力矩大小为MB=fR2=M1gR2,设A和B的角加速度大小分别为A和B,转动惯量分别为IA和IB,根据转动定律得方程,MA=IA A,即 A=MA/IA,同理可得 B=MB/IB,当两轮没有相对滑动时,它们就具有相同的线速度v,A的角速度为 A=v/R1,,B的角速度为 B=v/R2,根据转动运动学的公式得,A=At,B=Bt,,得 R1=(R1 A+R2 B)t,39,解得,经过的时间为,注意在此题中,由于A、B两轮不是绕着同一轴转动的,所以不能用角动量守恒定律,问题:能用角动量守恒定律解答?,40,线 量,角 量,平动与转动的对应关系,角 位 置角 位 移角 速 度角加速度,质 量力牛顿定律动 能,转动惯量力 矩转动定律转动动能,41,平动与转动的对应关系(续前),平 动,动量定理,动量守恒定律,动能定理,机 械 能 守 恒 定 律,定 轴 转 动,角动量定理,角动量守恒定律,动能定理,动量,角动量,本章结束,