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第八章、第九章、第十章 习题课,一、主要内容小结,曲线坐标系下的分离变量法,积分变换法,定解问题的求解,球函数、柱函数,傅里叶积分变换法拉普拉斯积分变换法,施刘型本征值问题,常微的级数解法,常微的不变式,积分变换的存在性、变换性质、应用之一：求解定解问题,(特殊函数),1.本征值问题的构成：变系数常微+一定的定解条件,2.对定解问题的解有重要作用的因素：施刘型本征函数的正交性、完备性,3.特殊函数(施刘型本征函数、生成函数、递推公式、渐进表示),思考：数学物理方法“定解问题”部分与“复变函数”部分 的联系？,1.利用递推关系证明,证明：利用递推关系 及,分部积分，得到,若 n 为奇数，照这样积分下去，最后一项积分为,此时，积分结果可用 J0(x)和 J1(x)表示。若 n 为偶数，最后一项为，因而只能对 J0(x)的级数表达式逐项积分。,当 n=3 时，有,2.试由递推公式计算 及。,解：由 得到,在上式中令=1/2，有,而,同理，在递推公式中令=1/2，有,3.设 n(0)(n=1,2,)是方程 J0(x)=0 的正根。试将 f()=1 2(式中 0 1)按零阶贝塞尔函数展开为傅里叶-贝塞尔级数。,解：由于函数 f()=1 2 在区间0，1上有连续的一阶导数和二阶导数，且 f()在=0 处有界，在=1 处为零，故 f()可以展开为绝对且一致收敛的级数,且展开系数,现在分别计算上式的两项积分，为书写简单起见，记 x=k(0)，则,将以上两个积分结果代入系数表达式，整理后即得,将 Ck 代入级数展开式，便有,4.求 的傅里叶变换。,解：所给函数满足傅里叶变换的条件。由傅里叶变换的定义有,(p121：例6),高斯型函数的傅里叶变换仍然是高斯型函数,5.利用傅里叶变换证明,它们的傅里叶变换分别为,证明：令,由帕塞瓦尔等式,即,因此，有,可得,6.已知，利用展开定理求 f(t)。,(1)在 C1 上，p+1=|p+1|e i=(1)e i(2)在 C2 上，p+1=|p+1|e i=(1)e i 选择积分回路 L 如上图所示。,解：为多值函数，支点为 1 与。从 1 到 沿负实轴作割线。规定割线上岸(p+1)的辐角为，割线下岸辐角为：,对于圆弧 C 上的 p，有|p+1|=。因此，小圆弧引理中的。由小圆弧引理得,由约当引理得到,又由 在回路 L 内部解析，故回路积分为零。根据梅林公式及留数定理得,作变量代换 u=2，利用欧拉积分,则,