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10.1 电荷 库仑定律,一.电荷,1.正负性,2.量子性,盖尔曼提出夸克模型:,3.守恒性,在一个孤立系统中总电荷量是不变的。即在任何时刻系统中的正电荷与负电荷的代数和保持不变，这称为电荷守恒定律。,4.相对论不变性,电荷的电量与它的运动状态无关,二.库仑定律,1.点电荷,(一种理想模型),当带电体的大小、形状 与带电体间的距离相比可以忽略时,就可把带电体视为一个带电的几何点。,2.库仑定律,处在静止状态的两个点电荷，在真空（空气）中的相互作用力的大小，与每个点电荷的电量成正比，与两个点电荷间距离的平方成反比，作用力的方向沿着两个点电荷的连线。,电荷q1 对q2 的作用力F21,电荷q2对q1的作用力F12,真空中的电容率（介电常数）,讨论：,(1)库仑定律适用于真空中的点电荷；,(2)库仑力满足牛顿第三定律；,(3)一般,三.电场力的叠加,q3 受的力：,对n个点电荷：,对电荷连续分布的带电体,Q,已知两杆电荷线密度为，长度为L，相距L,解,例,两带电直杆间的电场力。,求,例1：三个点电荷q1=q2=2.010-6C,Q=4.010-6C，求q1 和 q2 对Q 的作用力。,解：,y 方向的分力抵消，Q 仅受沿x方向的作用力：,8.2 静电场 电场强度E,一.静电场,后来:法拉第提出场的概念,早期：电磁理论是超距作用理论,电场的特点,(1)对位于其中的带电体有力的作用,(2)带电体在电场中运动,电场力要作功,二.电场强度,检验电荷,带电量足够小,点电荷,场源电荷,产生电场的电荷,=,=,在电场中任一位置处：,电场中某点的电场强度的大小等于单位电荷在该点受力的大小，其方向为正电荷在该点受力的方向。,三.电场强度叠加原理,点电荷的电场,定义：,点电荷系的电场,点电荷系在某点P 产生的电场强度等于各点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和。这称为电场强度叠加原理。,连续分布带电体,:线密度,:面密度,:体密度,P,求电偶极子在延长线上和中垂线上一点产生的电场强度。,解,例,令：电偶极矩,P,r,在中垂线上,P,它在空间一点P产生的电场强度（P点到杆的垂直距离为a),解,dq,r,由图上的几何关系,2,1,例,长为L的均匀带电直杆，电荷线密度为,求,(1)a L 杆可以看成点电荷,讨论,(2)无限长直导线,圆环轴线上任一点P 的电场强度,R,P,解,dq,r,例,半径为R 的均匀带电细圆环，带电量为q,求,圆环上电荷分布关于x 轴对称,(1)当 x=0（即P点在圆环中心处）时，,(2)当 xR 时,可以把带电圆环视为一个点电荷,讨论,面密度为 的圆板在轴线上任一点的电场强度,解,P,r,例,R,(1)当R x，圆板可视为无限大薄板,(2),(3)补偿法,p,讨论,杆对圆环的作用力,q,L,解,R,例,已知圆环带电量为q，杆的线密度为，长为L,求,圆环在 dq 处产生的电场,例,解,相对于O点的力矩,(1),力偶矩最大,力偶矩为零,(电偶极子处于稳定平衡),(2),(3),力偶矩为零,(电偶极子处于非稳定平衡),求电偶极子在均匀电场中受到的力偶矩。,讨论,一.电场线（电力线）,电场线的特点:,(2)反映电场强度的分布,电场线上每一点的切线方向反映该点的场强方向,电场线的疏密反映场强大小。,(3)电场线是非闭合曲线,(4)电场线不相交,(1)由正电荷指向负电荷或无穷远处,10.3 电通量 高斯定理,A,二.电通量,在电场中穿过任意曲面S 的电场线条数称为穿过该面的电通量。,1.均匀场中,定义,2.非均匀场中,dS,En,非闭合曲面,凸为正，凹为负,闭合曲面,向外为正，向内为负,(2)电通量是代数量,为正,为负,对闭合曲面,方向的规定：,(1),讨论,三.高斯定理,取任意闭合曲面时,以点电荷为例建立eq 关系:,结论:e 与曲面的形状及 q 在曲面内的位置无关。,取球对称闭合曲面,+q,+q,S,S1,S2,q在曲面外时：,当存在多个电荷时：,是所有电荷产生的，e 只与内部电荷有关。,结论:,（不连续分布的源电荷）,（连续分布的源电荷）,反映静电场的性质 有源场,真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，在数值上等于该曲面内包围的电量的代数和乘以,高斯定理,意义,四.用高斯定理求特殊带电体的电场强度,均匀带电球面，总电量为Q，半径为R,电场强度分布,Q,R,解,取过场点 P 的同心球面为高斯面,对球面外一点P:,r,根据高斯定理,例,求,对球面内一点:,E=0,电场分布曲线,例,已知球体半径为R，带电量为q（电荷体密度为）,R,解,球外,r,均匀带电球体的电场强度分布,求,球内(),r,电场分布曲线,R,解,电场强度分布具有面对称性,选取一个圆柱形高斯面,已知“无限大”均匀带电平面上电荷面密度为,电场强度分布,求,例,根据高斯定理有,例,已知无限大板电荷体密度为，厚度为d,板外：,板内：,解,选取如图的圆柱面为高斯面,求,电场场强分布,S,S,已知“无限长”均匀带电直线的电荷线密度为+,解,电场分布具有轴对称性,过P点作一个以带电直线为轴，以l 为高的圆柱形闭合曲面S 作为高斯面,例,距直线r 处一点P 的电场强度,求,根据高斯定理得,电场分布曲线,总结,用高斯定理求电场强度的步骤：,(1)分析电荷对称性；,(2)根据对称性取高斯面；,高斯面必须是闭合曲面,高斯面必须通过所求的点,(3)根据高斯定理求电场强度。,高斯面的选取使通过该面的电通量易于计算,10.4 静电场的环路定理 电势能,一.静电力作功的特点,单个点电荷产生的电场中,b,a,L,q0,(与路径无关),O,结论,电场力作功只与始末位置有关，与路径无关，所以静电力是保守力，静电场是保守力场。,任意带电体系产生的电场中,电荷系q1、q2、的电场中，移动q0，有,在静电场中，沿闭合路径移动q0，电场力作功,L1,L2,二.静电场的环路定理,环路定理,静电场是无旋场,(1)环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路定理检验一个电场是不是静电场。,不是静电场,讨论,(2)环路定理要求电力线不能闭合。,(3)静电场是有源、无旋场，可引进电势能。,三.电势能,电势能的差,力学,保守力场,引入势能,静电场,保守场,引入静电势能,定义：q0 在电场中a、b 两点电势能之差等于把 q0 自 a 点移至 b 点过程中电场力所作的功。,电势能,取势能零点 W“0”=0,q0 在电场中某点 a 的电势能：,(1)电势能应属于 q0 和产生电场的源电荷系统共有。,说明,(3)选势能零点原则：,(2)电荷在某点电势能的值与零点选取有关,而两点的差值与零点选取无关,实际应用中取大地、仪器外壳等为势能零点。,当(源)电荷分布在有限范围内时，势能零点一般选在 无穷远处。,无限大带电体，势能零点一般选在有限远处一点。,如图所示,在带电量为 Q 的点电荷所产生的静电场中，有一带电量为q 的点电荷,解,选无穷远为电势能零点,q 在a 点和 b 点的电势能,求,例,选 C 点为电势能零点,两点的电势能差：,10.5 电势 电势差,电势差,一.电势,单位正电荷自ab 过程中电场力作的功。,电势定义,单位正电荷自该点“势能零点”过程中电场力作的功。,点电荷的电势,二.电势叠加原理,点电荷系的电势,对n 个点电荷,在点电荷系产生的电场中，某点的电势是各个点电荷单独存在时，在该点产生的电势的代数和。这称为电势叠加原理。,对连续分布的带电体,三.电势的计算,方法,（1）已知电荷分布,（2）已知场强分布,均匀带电圆环半径为R，电荷线密度为。,解,建立如图坐标系，选取电荷元 dq,例,圆环轴线上一点的电势,求,半径为R，带电量为q 的均匀带电球体,解,根据高斯定律可得：,求,带电球体的电势分布,例,对球外一点P,对球内一点P1,10.6 等势面 电势与电场强度的微分关系,一.等势面,电场中电势相等的点连成的面称为等势面。,等势面的性质:,(1),证明:,(2)规定相邻两等势面间的电势差都相同,等势面密,大,等势面疏,小,(3)电场强度的方向总是指向电势降落的方向,设等势面上P点的电场强度与等势面夹角为,把q0 在等势面上移动,电场力作功为,二.电势与电场强度的微分关系,取两个相邻的等势面，等势面法线方向为,任意一场点P处电场强度的大小等于沿过该点等势面法线方向上电势的变化率，负号表示电场强度的方向指向电势减小的方向。,把点电荷从P移到Q，电场力作功为：,，设,的方向与,相同，,在直角坐标系中,另一种理解,电势沿等势面法线方向的变化率最大,电场强度在 l 方向的投影等于电势沿该方向变化率的负值,某点的电场强度等于该点电势梯度的负值，这就是电势与电场强度的微分关系。,例,求,（2，3，0）点的电场强度。,已知,解,10.7 静电场中的导体,一.导体的静电平衡,1.静电平衡,导体内部和表面上任何一部分都没有宏观电荷运动，我们就说导体处于静电平衡状态。,2.导体静电平衡的条件,导体表面,3.静电平衡导体的电势,导体静电平衡时，导体上各点电势相等，即导体是等势体，表面是等势面。,由导体的静电平衡条件和静电场的基本 性质，可以得出导体上的电荷分布。,1.静电平衡导体的内部处处不带电,证明：在导体内任取体积元,由高斯定理,体积元任取,二.导体上电荷的分布,导体中各处,如果有空腔且空腔中无电荷,可证明电荷只分布在外表面。,如果有空腔且空腔中有电荷,则在内外表面都有电荷分布，内表面电荷与 q 等值异号。,+q,2.静电平衡导体表面附近的电场强度与导体表面电荷的关系,设导体表面电荷面密度为,P 是导体外紧靠导体表面的一点,相应的电场强度为,根据高斯定理:,导体球孤立带电,4.静电屏蔽(腔内、腔外的场互不影响),内表面,外表面,导体,由实验可得以下定性的结论：,在表面凸出的尖锐部分电荷面密度较大，在比较平坦部分电荷面密度较小，在表面凹进部分带电面密度最小。,3.处于静电平衡的孤立带电导体电荷分布,如图所示,导体球附近有一点电荷q。,解,接地 即,由导体是个等势体O点的电势为0 则,接地后导体上感应电荷的电量,设感应电量为Q,0,？,例,求,两球半径分别为R1、R2，带电量q1、q2，设两球相距很远，当用导线将彼此连接时，电荷将如何 分布？,解,设用导线连接后，两球带电量为,如果两球相距较近，结果怎样？,例,思考,已知导体球壳 A 带电量为Q，导体球 B 带电量为q,(1)将A 接地后再断开，电荷和电势的分布；,解,A与地断开后,-q,电荷守恒,(2)再将 B 接地，电荷和电势的分布。,A 接地时，内表面电荷为-q,外表面电荷设为,设B上的电量为,根据孤立导体电荷守恒,例,求,(1),(2),B 球圆心处的电势,总结,(有导体存在时静电场的计算方法),1.静电平衡的条件和性质:,2.电荷守恒定律,3.确定电荷分布,然后求解,电容只与导体的几何因素和介质有关，与导体是否带电无关,三.导体的电容 电容器,1.孤立导体的电容,单位:法拉(F),孤立导体的电势,孤立导体的电容,Q,u,E,求半径为R 的孤立导体球的电容.,电势为,电容为,R,若 R=Re,则 C=714 F,若 C=110 3 F,则 R=?,C=110-3F,啊,体积还这么大!,1.8m,9m,通常，由彼此绝缘相距很近的两导体构成电容器。,极板,极板,使两导体极板带电,两导体极板的电势差,2.电容器的电容,电容器的电容,电容器电容的计算,Q,电容器电容的大小取决于极板的形状、大小、相对位置以及极板间介质。,d,u,S,+Q,-Q,(1)平行板电容器,(2)球形电容器,R1,+Q,-Q,R2,a,b,(3)柱形电容器,R1,R2,若R1R2-R1,则 C=?,讨论,电容器的应用：,储能、振荡、滤波、移相、旁路、耦合等。,电容器的分类,形状：平行板、柱形、球形电容器等,介质：空气、陶瓷、涤纶、云母、电解电容器等,用途：储能、振荡、滤波、移相、旁路、耦合电容器等。,2.5厘米,高压电容器(20kV 521F)(提高功率因数),聚丙烯电容器(单相电机起动和连续运转),陶瓷电容器(20000V1000pF),涤纶电容(250V0.47F),电解电容器(160V470 F),12厘米,2.5厘米,70厘米,10.8 电场能量,以平行板电容器为例，来计算电场能量。,设在时间 t 内，从 B 板向 A 板迁移了电荷,在将 dq 从 B 板迁移到 A 板需作功,极板上电量从 0 Q 作的总功为,忽略边缘效应，对平行板电容器有,能量密度,不均匀电场中,（适用于所有电场）,已知均匀带电的球体，半径为R，带电量为Q,R,Q,从球心到无穷远处的电场能量,解,求,例,取体积元,10.9 静电场中的电介质,一.电介质对电场的影响,电介质:绝缘体,(放在电场中的)电介质,电场,r,实验,r 电介质的相对介电常数,结论:,介质充满电场或介质表面为等势面时,介质中电场减弱,二.电介质的极化 束缚电荷,无极分子,有极分子,+-,无外场时（热运动）,整体对外不显电性,(无极分子电介质),(有极分子电介质),有外场时,(分子)位移极化,(分子)取向极化,束缚电荷,束缚电荷,无极分子电介质,有极分子电介质,三.电介质的高斯定理 电位移矢量,无电介质时,加入电介质,介电常数,令：,通过高斯面的电位移通量等于高斯面所包围的自由电荷 的代数和，与极化电荷及高斯面外电荷无关。,比较,四.介质中的电场能量密度,两平行金属板之间充满相对介电常数为r 的各向同性均匀电介质,金属板上的自由电荷面密度为0。,两金属板之间的电场强度和介质表面的束缚电荷面密度.,解,求,例,例,平行板电容器，其中充有两种均匀电介质。,求,(1)各电介质层中的场强,(2)极板间电势差,解,做一个圆柱形高斯面,同理，做一个圆柱形高斯面,各电介质层中的场强不同,相当于电容器的串联,平板电容器中充介质的另一种情况,由极板内为等势体,考虑到,各电介质层中的场强相同,相当于电容器的并联,
