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    大学物理矢量.ppt

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    大学物理矢量.ppt

    两种物理量:,标量:只有大小,没有方向。如质量,速率,温度,矢量:既有大小又有方向。如速度,加速度,动量.,补充:(一)矢量和矢量运算,*,*,在直角坐标系下:,在二维情况下:,显然:,矢量的加法:两个矢量相加,矢量的减法:两个矢量相减,差矢量方向:减数终端被减数终端,矢量的内积(点乘、标乘):,矢量的外积(叉乘、矢乘):,点乘的微分,叉积的微分,若,(二)“t”和“dt”的含义,当时间由t时刻增加了一定时间间隔时,通常会表述为时间增加到 时刻。,符号“”一般表示改变量或者增加量。如果该值为正,则表明增加;反之,则表明减少。,当改变量为无限小量,如 时,符号“”通常会改写,记为“”。,1 求平面图形的面积,一、问题的提出,会求梯形的面积,,曲边梯形的面积怎样求?若会,则可求出各平面图形的面积。,考虑如下曲边梯形面积的求法。,(三)积分的含义,思路:用已知代未知,利用极限由近似到精确。,一般地,小矩形越多,小矩形面积和越接近曲边梯形面积,(四个小矩形),(九个小矩形),用矩形面积近似曲边梯形面积:,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,曲边梯形面积的计算:,曲边梯形面积的近似值为,有,小矩形面积和,记为,积分上限,积分下限,积分和,1-0 内容提要,1-1 参考系 坐标系 物理模型,1-2 运动的描述,1-3 相对运动,本章目录,力学研究机械运动及其规律的物理学分支。,按研究内容分类 运动学 研究物体运动的规律 动力学 研究物体运动的原因 静力学 研究物体平衡时的规律,机械运动,平动:物体各点的运动情况完全相同。,转动:物体各点绕轴作圆周运动。,振动:物体各点相对平衡位置作往复运动。,实际物体的运动往往包含两种或两种以上运动形式的叠加:如汽车的行进、子弹的飞行、大分子的热运动等等。,机械运动:宏观物体之间(或物体内各部分之间)相对位置的变化。,斗转星移,海陆变迁 电子饶着原子核运动铁生锈,事物腐烂离离原上草,一岁一苦荣少小离家老大还,乡音无改鬓毛衰小时四条腿,长大两条腿,老了三条腿奴隶社会-封建社会-资本主义社会-社会主义社会,人类社会也是不停运动,结论:,世界上一切事物都处于运动和变化中,广义运动,一、运动的绝对性和相对性,v地日30kms-1,观察表明:,绝对性:,结论:一切运动都是绝对的,但是只有讨论相对意义上的运动才有意义。,相对性:,二、参考系,为描述物体的运动而选择的标准物叫做参考系.,选取的参考系不同,对物体运动情况的描述不同,这就是运动描述的相对性.,常用的参考系有:,地面参考系、地心参考系、太阳参考系、实验室参考系等等,选取原则:,使问题的研究最方便、最简单,三、坐标系,为定量地描述物体位置而引入。,常用的有直角坐标系、自然坐标系、极坐标系、球面坐标系或柱面坐标系等。,直角坐标系,自然坐标系,如果我们研究某一物体的运动,而可以忽略其大小和形状对物体运动的影响,若不涉及物体的转动和形变,我们就可以把物体当作是一个具有质量的点(即质点)来处理.,四、物理模型,对真实的物理过程和对象,根据所讨论的问题的基本要求对其进行理想化的简化,抽象为可以用数学方法描述的理想模型。,质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模型.目的是为了突出研究对象的主要性质,暂不考虑一些次要的因素.,物体抽象为质点的条件:,1.物体做平动;,物体不变形,不作转动(此时物体上各点的速度及加速度都相同,物体上任一点可以代表所有点的运动)。,2.物体做转动时,所研究的距离远远大于物体本身的线度。,另一类问题:把物体化为若干个质点的集合体来研究。,一、位置矢量 运动方程 位移,1 位置矢量,*,确定质点P某一时刻在坐标系里的位置的物理量称位置矢量,简称位矢.,式中、分别为x、y、z 方向的单位矢量.,1-2 运动的描述,位矢 的方向余弦,P,位矢 的值为,1-2 运动的描述,运动方程,P,如果质点是运动的,则位矢 随时间不断变化,记为:,运动方程包含了质点运动的全部信息,是运动学的核心。,称为运动方程,1-2 运动的描述,从中消去参数 得轨迹方程,1-2 运动的描述,1.,2.,为圆周运动,为抛体运动,经过时间间隔 后,质点位置矢量发生变化,把 由始点 A 指向终点 B 的有向线段 称为点 A 到 B 的位移矢量,简称位移.,2 位移,1-2 运动的描述,位移的大小为,位移,若质点在三维空间中运动,路程():质点实际运动轨迹的长度.,1-2 运动的描述,位移与路程,(C)一般情况,位移大小不等于路程.,(A)位移是矢量,路程是标量.,(D)什么情况?,当 时.,1-2 运动的描述,不改变方向的直线运动;,位移反映物体在空间位置的变化,只决定于质点的始末位置,与路径无关.,当 时,1-2 运动的描述,3 速度,1)平均速度,定义:在单位时间间隔质点运动所产生的位移。,时间内,质点的平均速度,平均速度 与 同方向.,B,A,是描述物体运动快慢和运动方向的物理量。,1-2 运动的描述,2)瞬时速度,当 时平均速度的极限值叫做瞬时速度,简称速度,1-2 运动的描述,平均速度大小,若,位矢对时间的变化率,即:,质点在三维空间运动,即:,说明质点的运动可以分解为各个坐标轴上的分运动。,瞬时速率:速度 的大小称为瞬时速率,简称速率。,当 时,,当质点做曲线运动时,质点在某一点的速度方向就是沿该点曲线的切线方向.即:,平均速率,一运动质点的运动方程为,则任意时刻其速度的大小为,1-2 运动的描述,(2)瞬时速度的大小是否等于速率?,(答案:相等),(1)速度分量Vx0意味着什么?,(答案:意味着速度方向沿x轴负向。),(3)平均速度的大小是否等于平均速率?,1-2 运动的描述,(答案:不一定相等),(4)龟兔赛跑这个寓言故事中,谁的平均速率大?谁的瞬时速率大?,1)平均加速度,与 同方向.,(反映速度变化快慢的物理量),单位时间内的速度增量即平均加速度,2)(瞬时)加速度,4 加速度,1-2 运动的描述,加速度大小,质点作三维运动时加速度为,1-2 运动的描述,加速度的性质:加速度是瞬时矢量。,大小:,是速度增量的极限方向。,方向:,加速度分量值的正负意味着什么?正值是否意味着加速?负值是否意味着减速?,(否。如a x 0意味着,加速度沿x轴分量与x轴负向一致。,是否作加速运动决定于加速度和速度的关系。如物体做自由落体运动时,取向上为坐标轴正向,加速度为负。),1-2 运动的描述,例 1 已知质点运动函数,加速度函数。,求:,质点的运动函数矢量式;,质点的轨道方程;,时间在02秒内的位移矢量式;,速度函数;,1-2 运动的描述,质点的运动函数矢量式;,质点的轨道方程;,1-2 运动的描述,时间在02秒内的位移,速度函数,加速度函数,1-2 运动的描述,2.一质点在xoy平面上运动,运动方程为,式中t以 s计,x,y以m计,(1)以时间t为变量,写出质点位置矢量的表示式;,(2)求出t=1 s 时刻和t 2s 时刻的位置矢量,计算这1秒内质点的位移;,(3)计算t 0 s时刻到t 4s时刻内的平均速度;,(4)求出质点速度矢量表示式,计算t 4 s 时质点的速度;,(5)计算t 0s 到t 4s 内质点的平均加速度;,(6)求出质点加速度矢量的表示式,计算t 4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式),(2)将,代入上式即有,解:(1),(3),(4),则,(5),(6),前情提要:,1.,自然坐标系下:,2.,3.,1.,判断:若质点每一秒内的平均速度都相等,则质点做匀速运动。,若运动方程为 呢?,例 已知质点运动函数,加速度函数。,求:,质点的运动函数矢量式;,质点的轨道方程;,时间在02秒内的位移矢量式;,速度函数;,质点的运动函数矢量式;,质点的轨道方程;,时间在02秒内的位移,速度函数,加速度函数,运动学中的两类问题,一 由已知的运动方程可以求得质点在任一时刻的速度和加速度;,二 已知质点的加速度以及初始条件,可求质点速度及其运动方程.,1-2 运动的描述,x=3t,y=-4t2,解将运动方程写成分量式,消去参变量t,得轨道方程:4x2 9y0,这是顶点在原点的抛物线.见图1.15.由速度定义得,图1.15,1-2 运动的描述,例1.4已知一质点的运动方程为,式中r以m计,t以s计,求质点运动的轨道、速度、加速度.,由加速度的定义得,即加速度的方向沿y轴负方向,大小为,其模为,与x轴的夹角,1-2 运动的描述,例 已知质点的加速度为,且t=0时刻,质点的速度和位矢分别为、求质点任意时刻的速度和质点运动的运动方程。,两边积分可得:,解:(1),(2),适用于所有运动,匀加速运动,匀加速直线运动,质点运动的所在的直线为x轴,只取标量式中的第一项。,补充:一质点作平面运动,其加速度为,设t=0时,质点由原点从静止出发。求:任意时刻的速度和位置,解,由,可知,1-2 运动的描述,由,总 结:,已知初始条件:,1 匀速直线运动:,质点沿一条直线运动时,其位矢、速度和加速度均沿x轴,此时可将矢量符号省略。,t=0,t,2 匀加速直线运动:,初始条件:,t时刻:,3 自由落体运动:,方向竖直向下,t=0,t,初始条件:,t时刻:,4 竖直上抛运动:,t=0,t,初始条件:,t时刻:,质点达到最高点时,,抛体运动一般是二维运动,其运动轨迹为抛物线。,x0=0,y0=0,已知条件:,ax=0,ay=-g,即:v0 x=v0cos,v0y=v0sin,5 抛体运动:,求:,2.物体从抛出到回落到抛出点高度所用的时间 T。,1.在直角坐标系下,任意一 t 时刻物体的速度函数和位置函数。,3.飞行中的最大高度 Ymax。,5.飞行的射程d0。,4.飞行的轨迹方程。,1.运动函数和速度函数,2.物体从抛出到回落到抛出点高度所用的时间 T,令y=0得,解:,3.飞行中达到最大高度 Ymax 时,vy=0。得,4.轨迹方程,消去方程中的参数 得轨迹,5.飞行的射程d0 为,最大射程,由于空气阻力,实际射程小于最大射程.,求最大射程,注意:,1.以上关于抛体运动的公式,都是在忽略空气阻力的情况下得出的。只有在初速比较小的情况下,它们才比较符合实际。实际上子弹或炮弹在空气中飞行的规律和上述公式是有很大差别的。例如,以550m/s 的初速沿45 抛射角射出的子弹,按上述公式计算的射程在30000 m以上,实际上,由于空气阻力,射程不过8500 m,不到前者的1/3,子弹或炮弹飞行的规律,在军事技术中由专门的弹道学进行研究。,2.空气对抛体的影响,不只限于减小射程。对于乒乓球、排球、足球等在空中的飞行,由于球的旋转,空气的作用还可能使他们的轨道发生侧向弯曲。,3.对于飞行高度与射程都很大的抛体,例如州际弹道导弹,弹头在很大部分时间内都在大所层以外飞行,所受空气阻力是很小的。但是由于在这样大的范围内,重力加速度的大小和方向都有明显的变化,因而上述公式也都不能应用。,斜抛运动,当子弹从枪口射出时,椰子刚好从树上由静止自由下落.试说明为什么子弹总可以射中椰子?,1-2 运动的描述,斜抛运动,为重力加速度,方向沿竖直向下,其中。,取射击点为坐标原点,即,O,1-2 运动的描述,吗?,1-2 运动的描述,问 吗?,因为,所以,而,例 匀速率圆周运动,所以,1-2 运动的描述,二、曲线运动的描述,运动轨迹为曲线的运动,描述曲线的弯曲程度:曲率k、曲率半径,曲率半径,曲率半径越小,曲线弯曲得越厉害,1-2 运动的描述,曲线在某一点的曲率半径等于其在该点的密接圆的半径r。,1 平面曲线运动,质点作曲线运动,将质点运动的轨迹曲线作为一维坐标的轴线自然坐标。,速度,切向单位矢量,指向物体运动方向,法向单位矢量,指向轨道的凹侧,位移,加速度,P1,P2,A,1-2 运动的描述,1-2 运动的描述,大小:,a、切向加速度,方向:,切线方向,大小:,方向:,法线方向,b、法向加速度,1-2 运动的描述,一般曲线运动中,直线运动:,速度的方向不变,即,一般圆周运动:,匀速圆周运动:,速度的大小不变,即,向心加速度,利用自然坐标,一切运动都可用切向、法向加速度来区分:,an=0 a=0,匀速直线运动,an=0 a 0,变速直线运动,an 0 a=0,匀速曲线运动,an 0 a 0,变速曲线运动,解由速率定义,有,例1.5一质点沿半径为1 m的圆周运动,它通过的弧长s按st2 的规律变化.问它在2 s末的速率、切向加速度、法向加速度各是多少?,将t2代入,得2 s末的速率为,由切向加速度的定义,得,1-2 运动的描述,1)圆周运动的角量描述,角速度,角坐标,角加速度,1-2 运动的描述,2 圆周运动,角位移,匀角加速圆周运动,注意:仅适用于角加速度为恒量情况.,1-2 运动的描述,若=常量,设t=0时,0,0,可求匀变速圆周运动公式.,2)圆周运动的线量描述,速度,位移,加速度,3)线量和角量的关系,对于作曲线运动的物体,以下几种说法中哪一种是正确的:(A)切向加速度必不为零;(B)法向加速度必不为零(拐点处除外);(C)由于速度沿切线方向,法向分速度必为零,因此法向加速度必为零;(D)若物体作匀速率运动,其总加速度必为零;(E)若物体的加速度 为恒矢量,它一定作匀变速率运动.,1-2 运动的描述,1-2 运动的描述,例1.3一飞轮以转速n1 500转每分(rev/min)转动,受制动后而均匀地减速,经t50 s后静止.(1)求角加速度和从制动开始到静止飞轮的转数N;(2)求制动开始后t25 s时飞轮的角速度;(3)设飞轮的半径R1 m,求t25 s时飞轮边缘上任一点的速度和加速度.,解(1)由题知,当t50 s时0,故由式(1.26)可得:,从开始制动到静止,飞轮的角位移及转数分别为:,1-2 运动的描述,(2)t25 s时飞轮的角速度为:,(3)t25 s时飞轮边缘上任一点的速度为,相应的切向加速度和向心加速度为:,1-2 运动的描述,解:因为,例1.6一飞轮半径为2 m,其角量运动方程为 23t4(SI),求距轴心1 m处的点在2 s末的速率和切向加速度.,将t2 代入,得,切向加速度为,在距轴心1 m处的速率为 R45 m/s,1-2 运动的描述,1.参考系:,2.坐标系:,一 参考系 坐标系 物理模型,本章小结,自然坐标系:,1.位矢和位移,二 运动的描述,运动方程,本章小结,轨迹方程,本章小结,匀加速直线运动,抛体运动,本章小结,本章小结,

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