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第一章 质点运动学,一、参考系和坐标系,运动的普遍性、绝对性 自然界中一切物体都在运动，物体的运动是普遍的、绝对的,1 参考系,运动的描述是相对的 运动的描述与参考物有关。在描述研究对象的运动时，首先必须选择另一个或几个保持相对静止的物体作为参考，被选作参考的物体就称为参考系。,参考系的选择具有任意性。,是标准和基础,一、参考系和坐标系,2 坐标系,有了参考系，为什么还需要坐标系？为了定量地描绘物体相对于参考系的运动，需要建立固定在 参考系中的坐标系.常用的坐标系 直角坐标系，极坐标系、球面坐标系和柱面坐标系等。长度单位：国际单位制 米(m),二、质点,定义：当物体的大小和形状可以忽略时，将物体抽象为具 有质量的几何点，即质点.,一个物体能否看成质点，应根据具体问题而定.,理想模型：对实际问题进行抽象化处理，突出事物的本质 因素，忽略其次要因素，从而使所研究的问题简化，以便于 从理论上去研究，这种被抽象了的模型称为理想模型.,质点是实际物体的一个理想模型，后面我们还会建立刚体、理想气体、点电荷等理想模型，建立理想模型的方法在处理 实际问题中是很有意义的.,一、位置矢量和运动方程,1 位置矢量,在三维直角坐标系中,单位矢量：,大小：,方向：,位置矢量的三个基本特性：,（1）矢量性；（2）瞬时性；（3）相对性,2 运动方程 轨迹方程,标量形式,从上式消去参数 得轨迹方程,随时间变化的函数 称为质点的运动方程。,在直角坐标系中，质点运动方程的具体形式为：,这是圆心在坐标原点，半径为R，位于z=0平面内的圆,例如 质点的运动方程为,其标量形式为,消去t后得到轨道方程,二、位移,经过时间间隔 后,质点位置矢量发生变化,由始点 A 指向终点 B 的有向线段 称为点 A 到 B 的位移矢量。位移矢量也简称位移。记做。,在平面坐标系中,位移的大小为,位移的方向为,思考：如果是在三维直角坐标系中，位移的大小、方向如何计算？,（3）一般情况,位移大小不等于 路程。,（1）位移是矢量,路程是标量。,（4）什么情况下？,（2）P1P2 两点间的路程是不唯一的,可以是 或,而位移 是 唯一的。,一、平均速度矢量,时刻 t:,时刻:,定义：,平均速度 与 同方向。,平均速度是矢量，,1 平均速度矢量,2 平均速率（标量）,质点在 内所经过的路程 与所用时间的比值，,平均速率是标量，数值上等于质点在单位时间内所通过的路程。,平均速度和平均速率都是粗略描述质点的运动情况的物理量,国际单位制中，速度和速率的单位都是,二、瞬时速度矢量,精确描述质点某时刻的运动情况,速度是位矢对时间的一阶导数。,当 时平均速度的极限值叫做瞬时速度,简称速度。,在直角坐标系中：,速度的大小：,速度的方向：,三、瞬时加速度矢量,1 平均加速度,质点在A，B 两点的速度分别是 在t 时间内从A运动到B，其速度改变为：,用 可粗略描述质点速度大小和方向改变的快慢,称为平均加速度。表示为：,加速度等于速度对时间的一阶导数,或位矢对时间的二阶导数。,2 瞬时加速度：,当 时，求得平均加速度的极限，表示质点通过A 点的瞬时加速度，简称加速度。表示为,方向：总是指向位置曲线凹的一侧。（不是精确的方向）,直角坐标系表示：,加速度的方向：,已知质点的运动方程，求（1）质点的运动轨迹，（2）时质点的速度矢量和加速度矢量,例1-1,解:由于 x=10 为常量，所以质点 在 x 轴上距原点10cm处的平 面上运动。运动方程为,速度矢量表达式为,速度的大小,速度的方向余弦,（1）当t=0时，速度的大小,速度的方向余弦,表明质点速度沿y轴正方向,（2）当t=1s时，,即,再求加速度矢量。由定义得,一、直线运动,物体轨迹是直线的运动，称为直线运动.,直线运动可以用一维坐标来描述，其所涉及的物理量都可以作为标量处理.设这个一维坐标为x轴，O为原点.显然质点的位置是时间的函数，其运动方程为,速度：,加速度：,注意：加速度的正负表示与x轴同向或反向，不表示运动 是加速或减速。后者要依据加速度方向与速度方向 是否相同来决定,例1-2,已知质点作匀加速直线运动，加速度为a。求该质点的运动方程。,解 由加速度的定义式,恒量,设当t=0时，,，代入上式可得,因此,由速度的定义式得,积分可得,设当t=0时，x=0，代入上式可得,因此,这就是所求质点的运动方程。,将,和,联立，消去t，,直线运动的特例：自由落体运动,在地球表面附近，初速为零的物体只在重力作用下的运动，称自由落体运动。,自由落体运动的加速度称为重力加速度，符号为 g,方向铅直向下。,重力加速度的大小可由实验测出.实验表明，地球上不同地区的 g 值略有差异(与纬度、高度和地质等情况有关)，通常可取,伽利略做落体实验的比萨斜塔,二、位移时间曲线,以时间t为横坐标，位置x为纵坐标，由运动方程可以得到x-t曲线，即质点的位移时间曲线。,由图可看出，平均速度 的数值等于x-t曲线中相应割线 的斜率。,瞬时速度,的数值与x-t曲线上某点的切线斜率相等,位移时间曲线,三、速度时间曲线,以时间t为横坐标，速度v为纵坐标，由v=v(t)可以得到v-t曲线，即质点的速度时间曲线。,显然，瞬时加速度的数值等于v-t曲线中切线的斜率。,可以证明，质点在某段时间内的位移等于该段时间内v-t曲线下对应图形的面积。,速度时间曲线,特例：匀加速直线运动的速度时间曲线,其斜率等于加速度a（a为恒量）,在任一时间,内,速度增量,v-t曲线与坐标轴间包围的梯形面积为,等于t时间内质点的位移,匀加速直线运动的v-t曲线,一、运动叠加原理,如图，A、B为两个小球，在同一高度，同一时刻，使A球自由下落，B球水平抛出，我们将会听到两球落地的声音正好重合,即同时落地。,解释：B球的运动是水平和竖直两个运动叠加而成。在A球竖直下落时，B球不仅与A球一样完成了 自由落体运动，同时在水平方向上还完成了一个 直线运动。,运动叠加原理：一个运动可以看成由几个各自独立进行的运动叠加而成。,二、抛体运动,设质点以初速度 被抛出,与水平成 角,(忽略空气阻力),取抛出点为坐标原点，建立如图直角坐标系 取抛出时刻 为t0,加速度为,分量形式,分别积分，可得,其中 为积分常数,当 时，,代入上式可得,于是得到质点的速度方程,再积分，得,当 时，代入上式可得,于是得到质点的运动方程,消去t,可得质点的轨道方程,表明物体的轨道为一开口向下的抛物线，如图所示：,一、变速圆周运动 切向加速度和法向加速度,中学已经学过，匀速率圆周运动的物体所受合力指向圆心，叫向心力，对应的加速度也指向圆心，叫向心加速度，大小为,若做圆周运动的质点速率随时间变化，称为变速圆周运动。,问题：如何求解变速圆周运动的加速度？,如图所示，作DF使CF=CD，,平均加速度为,瞬时加速度为,于是，速度增量为,圆周运动总加速度,OBCF,OC CD DCF=COB DCF COB,圆周运动总加速度,|V|=|Vt|,速度只有切向分量 没有法向分量,法向加速度：由质点速度方向的变化引起,圆周运动的总加速度,切向加速度：由速度大小的变化引起,所以，圆周运动的总加速度,总加速度的大小,总加速度的方向,为 与 的夹角,二、圆周运动的角量描述,1.角坐标,单位：弧度(rad),规定：逆时针为正,2.角位移,3.角速度,平均角速度:,角速度:,单位：弧度每秒(rads-1),平均角加速度:,瞬时角加速度:,4.角加速度,单位：弧度每二次方秒(rads-2),三、角量和线量的关系,例1-3 质点沿半径为R的圆周运动，其路程为s=PQ，P点为t0时质点所在位置，Q点为t时刻质点所在位置，如图所示。已知，其中 均为常量。问：（1）t时刻质点的加速度如何?（2）何时加速度的值恰为b?（3）此时质点在圆周上运行了几圈?,解（1）由速率定义式，得,则质点在t时刻的加速度大小为,方向由与速度的夹角 表示如图,（2）令，可解出t值为,（3）当 时，表明在 t=0 到 时间间隔内 v 恒为正值，由此质点转过的圈数为,四、自然坐标系,当质点的轨迹已知时，可在其轨道上取一点O为原点，质点所在位置P至O点的轨道长度记为S,S为代数量，质点在O点右方取正、左侧取负.在此规定下的S也可以唯一描述质点位置，沿轨道建立的OS系统称作自然坐标系，代数量S称为质点的自然坐标，运动方程为,质点的速度方向沿轨道切向，大小为,为质点所在位置处轨道的曲率半径,一.运动的绝对性和描述运动的相对性,只有相对于确定的参考系才能具体描述物体的运动 选择的参考系不同，对同一物体运动的描述不相同,二.低速 下的变换,分别从 系和 系描述质点 的运动,两边对时间求导,为物体相对S系的速度，称绝对速度,为物体相对S系的速度，称相对速度,为S系相对S系的速度，称牵连速度,其分量式为,在 t=0 时，两坐标系原点重合时，则在此后任意时刻 t,伽利略坐标变换,伽利略速度变换,伽利略坐标变换,伽利略速度变换,式两边对时间求导，有,为物体相对S系的加速度，称绝对加速度,为物体相对S系的加速度，称相对加速度,为S系相对S系的加速度，称牵连加速度,即,加速度变换式,当两个参考系相对匀速直线运动时，,例1-4 雨天一自行车15m/s的速度前行，雨滴在空中以10m/s的速度竖直下落，求雨滴相对自行车的速度的大小和方向.,解:表示雨滴相对地面的 速度，表示自行车相对 地面的速度，由如图的 矢量关系，得,与自行车前进方向夹角,向下偏后,第一章 质点运动学,3 运动叠加原理,平均速度,瞬时速度,2 平均加速度,瞬时加速度,4 运动方程,轨道方程：直线运动、圆周运动（含角量描述）抛体运动等几种情况。,5 相对运动参考系中的坐标变换、速度、加速度变换,