清华大学运筹学课件(完整课件).ppt

1,第一章线性规划与单纯形法,1 线性规划问题及其数学模型1.1 问题的提出 eg.1 生产计划问题 问：产品、各生产多少件，使利润最大？,2,eg.2污水处理问题 环保要求河水含污低于2，河水可自身净化20%。问：化工厂1、2每天各处理多少污水，使总费用最少？,分析：化工厂1处理污水x1万m3,化工厂2处理污水x2万m3。min z=1000 x1+800 x2(2-x1)/500 2/1000(1-0.2)(2-x1)+1.4-x2/(500+200)2/1000 x1 2 x2 1.4 x1，x2 0 这里min z:表示求z的最小值。,3,线性规划的数学模型：max(min)z=c1x1+c2x2+cnxn a11x1+a12x2+a1nxn(=,)b1 a21x1+a22x2+a2nxn(=,)b2 am1x1+am2x2+amnxn(=,)bm x1，x2，xn 0,4,说明：,(1)决策变量：x1，x2，xn。一组决策变量表示为问题的一个方案；(2)目标函数：max(min)z z为决策变量的线性函数;(3)约束条件 一组线性不等式。cj为价值系数,bi为资源，aij为技术系数(i=1,m;j=1,n).,5,1.2 图解法 eg.3用图解法求eg.1。max z=2x1+3x2 1x1+2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1，x2 0,解：(1)建立x1-x2坐标；,(2)约束条件的几何表示；,(3)目标函数的几何表示；,z=2x1+3x2,o,4,3,6,首先取z=0，然后，使z逐渐增大，直至找到最优解所对应的点。,可见，在Q2点z取到最大值。因此，Q2点所对应的解为最优解。Q2点坐标为(4，2)。即:x1=4，x2=2 由此求得最优解：x1*=4 x2*=2 最大值：max z=z*=2x1+3x2=14(元),4,3,7,讨论：(1)唯一最优解 max z=z*时，解唯一，如上例。,(2)无穷多最优解 eg.4 对eg.1，若目标函数 z=2x1+4x2，此时表示 目标函数的直线与表示 条件的直线平行，最优点在线段Q3Q2上。即存在无穷多最优解。,8,(3)无界解 eg.5 max z=2x1+3x2 4x1 16 x1，x2 0 则x2，z。即存在无界解。在实际问题中，可能 是缺少约束条件。,9,(4)无可行解 eg.6 max z=2x1+3x2 2x1+4x2 8 x1+x2 1 x1，x2 0 无公共部分，无可行域。即无可行解。在实际问题中，可能是关系错。,10,1.3 线性规划的标准型 1、标准型 max z=c1x1+c2x2+cnxn a11x1+a12x2+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+a2nxn=b2 am1x1+am2x2+amnxn=bm x1，x2，xn 0,11,用向量表示,12,用矩阵描述为：max z=CX AX=b X 0 其中:X=(x1,x2,xn)T C=(c1,c2,cn)b=(b1,b2,bm)T,13,2、标准型的化法(1)minmax min z=cx=-max(-z)max(-z)=-min z=-cx 令z=-z 则max z=-cx,(2)不等式(，)对于“”情况：在“”左边加上一个松弛变量（非负），变为等式；对于“”情况：在“”左边减去一个剩余变量（非负），变为等式。注意：松弛变量、剩余变量在目标函数中的价值系数为0。,(3)无约束变量 令xk=xk-xk”，xk,xk”0，代入即可。,14,eg.7将下述问题化为标准型 min z=-x1+2x2-3x3 x1+x2+x3 7 x1-x2+x3 2-3x1+x2+2x3=5 x1,x2 0，x3无约束,解：令x3=x3-x3”，x3,x3”0；式加上一个松弛变量x4；式减去一个剩余变量x5；令z=-z max z=x1-2x2+3(x3-x3”)+0 x4+0 x5 x1+x2+(x3-x3”)+x4=7 x1-x2+(x3-x3”)-x5=2-3x1+x2+2(x3-x3”)=5 x1,x2,x3,x3”,x4,x5 0,15,1.4 线性规划解的概念 设线性规划为 max z=CX AX=b X 0 A为m n矩阵,n m,Rank A=m(A为行满秩矩阵）,1、可行解：满足条件、的X；,2、最优解：满足条件的可行解；,3、基：取B为A中的m m子矩阵，Rank B=m，则称B为线性规 划问题的一个基。取B=(p1,p2,pm)pj=(a1j,a2j,amj)T 则称x1,x2,xm为基变量，其它为非基变量。,16,4、基解：取B=(p1,p2,pm)a11,a1m x1 a1m+1,a1n xm+1 b1+=am1,amm xm amm+1,amn xn bm 基 基变量 非基 非基变量 令 xm+1=xn=0(非基变量为0)则 BXB=b,17,5、基可行解 满足式要求的基解。如右图所示，各边交点O,Q1,Q2,Q3,Q4均为基可行解；而其延长线的交点Q5为基解，但不是基可行解。,O(0,0),Q1(4,0),Q2(4,2),Q4(0,3),Q3(2,3),Q5(4,3),6、可行基 基可行解对应的B为可行基。,18,2 线性规划问题的几何意义2.1 基本概念 1、凸集：设K为En(n维欧式空间)的一点集，X(1)K，X(2)K。若X(1)+(1-)X(2)K，则称K为凸集。（01）,19,2、顶点：XK，X(1)K，X(2)K(任意两点)。若X不能用X(1)+(1-)X(2)表示，则称X为K的一个顶点。(01)注：顶点所对应的解是基可行解。3、凸组合：设X(i)En，若存在0i1，i=1,2,k，使,则称X为X(i)(i=1,2,k)的凸组合。,2.2 基本定理 1、定理1 若线性规划存在可行域，则:可行域 D=X|AX=b,X 0为凸集。,20,证明：设 X(1)=(x1(1),x2(1),xn(1)T D；X(2)=(x1(2),x2(2),xn(2)T D；(X(1)X(2)有 AX(1)=b，AX(2)=b 令 X=X(1)+(1-)X(2)(0 0 1 0 X 0，即D为凸集,2、定理2 线性规划的基可行解对应于可行域的顶点。,3、定理3 若线性规划有解，则一定存在基可行解为最优解。,21,3 单纯形法 基本思路：从可行域的一个顶点到另一个顶点迭代求最优解。,3.1 初始基可行解的确定 1、松弛基（松弛变量对应的B）eg.8max z=x1+3x2 x1+2x2 3 2x1+3x2 4 x1,x2 0,max z=x1+3x2+0 x3+0 x4 x1+2x2+x3=3 2x1+3x2+x4=4 x1,x2,x3,x4 0,取x3、x4为基变量,令非基变量x1=x2=0 初始基可行解：X(0)=(0 0 3 4)T,22,2、观察法 eg.9max z=x1+3x2+2x3+x4 x1+2x2+3x3=3 3x2+x3+x4=4 x1,x2,x3,x4 0,选 XB=(x1 x4)T 令x2=x3=0 则 初始基可行解：X(0)=(3 0 0 4)T,23,3、人工基 eg.10max z=x1+2x2+3x3 x1+3x2+2x3=3 2x1+x2+x3=4 x1,x2,x3 0,分析：A=1 3 2 2 1 1 找不到单位矩阵基 引入人工变量为初始基变量（2个）,24,3.2 最优性的检验与解的判别,25,则,26,解的判别：1.若，则此时的基可行解为最优解；2.若存在某个非基变量 的检验数，且，则该线性规划问题具有无界解（或称无最优解）；3.若所有，又，对于某个非基变量 有，则该线性规划问题具有无穷多最优解。,27,3.3 基变换,28,3.4 旋转运算（消元运算）a1k 0 al-1k 0 pk=（alk）（1）al+1k 0 amk 0 得到基可行解，重复3.23.4，求出最优解。,29,3.5 单纯形表 展开如下：a11x1+a12x2+a1nxn+xn+1=b1-cn+1 a21x1+a22x2+a2nxn+xn+2=b2-cn+2 am1x1+am2x2+amnxn+xn+m=bm-cn+m c1x1+c2x2+cnxn+cn+1xn+1+cn+mxn+m-z=0 1x1+2x2+nxn+0 xn+1+0 xn+m-z=Z0,30,建立单纯形表,eg.11用单纯形法求解 max z=x1+3x2 x1+2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1,x2 0,31,解：标准化，建立单纯形表 引入松弛变量x3，x4，x5为初始基变量 max z=x1+3x2+0 x3+0 x4+0 x5 x1+2x2+x3=8 4x1+x4=16 4x2+x5=12 x1,x2,x3,x4,x5 0,此时的解：x(0)=(0 0 8 16 12)Tz(0)=0,32,解的判别,1=1 2=3 0 x(0)非最优解,基变换 max1,2=3=2 x2入基 min8/2,-,12/4=12/4 x5出基,33,此时的解：x(1)=(0 3 2 16 0)Tz(1)=9x(1)非最优x1入基 x3出基,此时的解：x(2)=(2 3 0 8 0)Tz(2)=11x(2)为最优解,即：最优解：x*=(2 3 0 8 0)T 最大值：z*=11,34,X(0)=(0 0 8 16 12)T O(0,0)X(1)=(0 3 2 16 0)T Q4(0,3)X(2)=(2 3 0 8 0)T Q3(2,3),35,4 单纯形法的进一步讨论4.1 人工变量法 1、大M法（M为很大的正数）法则：对于max问题，人工变量在目标函数中的价值系数为-M；对于min问题，人工变量在目标函数中的价值系数为M。eg.12min z=x1+5x2+0 x3+0 x4 2x1+3x2+x3=6 2x1+x2 x4=1 x1,x2,x3,x4 0 解：min z=x1+5x2+0 x3+0 x4+Mx5：x5为人工变量 2x1+3x2+x3=6 2x1+x2 x4+x5=1 x1,x2,x3,x4,x5 0 列单纯形表求解。,36,min z=x1+5x2+0 x3+0 x4+Mx5 2x1+3x2+x3=6 2x1+x2 x4+x5=1 x1,x2,x3,x4,x5 0对于min问题，若 minj0=k,则xk为入基变量。这里：x1为入基变量，x5为出基变量，a21=2为主元。,37,进一步迭代,38,因为所有j0，于是得问题的最优解：最优解：X*=(x1 x2 x3 x4 x5)T=(1/2 0 5 0 0)T目标函数最小值：Z*=1/22.两阶段法 由于大M不是一个确定的数，所以大M法适宜于手工计算，而不适合求解。为此，引入两阶段法。第一阶段：给线性规划加入人工变量，并构造辅助规划。辅助规划的目标函数为 min w=xn+1+xn+m 这里 xn+1,xn+m为人工变量。,39,以人工变量为初始基变量,列表计算。若本阶段无最优解，表示原线性规划无解，停止计算；若有最优解，则转第二阶段。第二阶段：在第一阶段最优表中，去掉人工变量，换上原问题目标函数，作为本阶段初始表，以此用单纯形法进行迭代运算，求出结果。,40,例13 用两阶段法求解min z=x1+5x2 2x1+3x2 6 2x1+x2 1 x1,x2 0解：第一阶段：将问题化为等式约束 引进人工变量x5得辅助规划：min z=x1+5x2+0 x3+0 x4 min w=x5 2x1+3x2+x3=6 2x1+3x2+x3=6 2x1+x2 x4=1 2x1+x2 x4+x5=1 x1,x2,x3,x4 0 x1,x2,x3,x4,x5 0,41,min w=x5 2x1+3x2+x3=6 2x1+x2 x4+x5=1 x1,x2,x3,x4,x5 0,42,第一阶段有最优解。第二阶段：去掉人工变量，换上原线性规划目标函数（见下表）。最优解：X*=(1/2 0 5 0)T Z*=1/2,43,4.2 几个问题 若存在两个以上相同的最小比值，就会出现退化解。理论上讲，退化解可能使计算出现循环，从而得不到最优解。然而，实际问题中很少出现这种情况。,44,当计算中出现最小比值相同的情况时，可按Bland规则来计算。Bland 规则：在j0中，选下标小的非基变量入基；对相同的最小比值，选下标小的基变量出基。,第二章,j与i的计算同max问题。,45,习题P45，1.4分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划,并指出单纯形法迭代的每一步相当于图形上的哪一个顶点？,46,第二章对偶理论与灵敏度分析,1 单纯形法的矩阵描述 设max z=CX AX=b X 0 A为mn阶矩阵 RankA=m,取B为可行基,N为非基，,47,48,49,求解步骤：,50,51,现在出租，设y1为设备单位台时的租金 y2,y3为材料A、B转让附加费(kg-1),则M2为M1的对偶问题，反之亦然。,52,一般的，原问题：max z=CX AX b X 0,对偶问题：min w=Yb YA C Y 0,比较：max z min w 决策变量为n个 约束条件为n个 约束条件为m个 决策变量为m个“”“”,53,3 对偶问题的化法 1、典型情况 eg.2max z=x1+2x2+x3 2x1+x2 6 2x2+x3 8 x1,x2,x3 0,54,2、含等式的情况 eg.3max z=x1+2x2+4x3 2x1+x2+3x3=3 x1+2x2+5x3 4 x1,x2,x3 0,一般，原问题第i个约束取等式，对偶问题第i个变量无约束。,55,3、含“”的max问题 eg.4max z=x1+2x2+4x3 2x1+x2+3x3 3 x1+2x2+5x3 4 x1,x2,x3 0,56,一般:max问题第i个约束取“”，则min问题第i个变量 0；,min问题第i个约束取“”，则max问题第i个变量 0；,原问题第i个约束取等式，对偶问题第i个变量 无约束；,max问题第j个变量 0,则min问题第j个约束取“”；,min问题第j个变量 0，则max问题第j个约束取“”；,原问题第j个变量无约束，对偶问题第j个约束取等式。,57,eg.5min z=2x1+3x2-5x3+x4 x1+x2-3x3+x4 5 2x1+2x3-x4 4 x2+x3+x4=6 x1 0,x2,x3 0,x4无约束,58,4 对偶问题的性质,1、对称性 对偶问题的对偶为原问题.,59,60,61,推论：(1)max问题任一可解的目标值为min问题目标值的一个下界；(2)min问题任一可解的目标值为max问题目标值的一个上界。,3、无界性 若原问题(对偶问题)为无界解，则对偶问题(原问题)为无可行解。,注：该性质的逆不存在。若原(对偶)问题为无可行解，对偶(原问题)问题或为无界解，或为无可行解。,62,4、最优性 设X*，Y*分别为原问题和对偶问题可行解，当 CX*=Y*b时，X*，Y*分别为最优解。,63,5、对偶定理 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且目标值相等。,64,Y*为对偶问题的最优解，且原问题和对偶问题的目标值相等。证毕,6、松弛性 若X*，Y*分别为原问题及对偶问题的可行解，那么Ys*X*=0，Y*Xs*=0，当且仅当X*，Y*分别为 最优解。,证明：,65,将b,C分别代入目标函数：,66,其中：,用分量表示：,67,7、检验数与解的关系(1)原问题非最优检验数的负值为对偶问题的一个基解。(2)原问题最优检验数的负值为对偶问题的最优解。,检验数：=(C 0)-CBB-1(A I)=(C-CBB-1A-CBB-1)=(c s)c=C-CBB-1A X对应的检验数 s=-CBB-1 Xs对应的检验数,68,eg.6已知：min w=20y1+20y2 的最优解为y1*=1.2,y2*=0.2-ys1 y1+2y2 1 试用松弛性求对偶-ys2 2y1+y2 2 问题的最优解。-ys3 2y1+3y2 3-ys4 3y1+2y2 4 y1,y2 0,y1*xs1*=0 y2*xs2*=0 ys1*x1*=0 ys2*x2*=0 ys3*x3*=0 ys4*x4*=0,69,y1*=1.2,y2*0.2 0 xs1*=xs2*=0 由 y1*+2y2*=1.6 1 ys1*0 x1*=0 由 2y1*+y2*=2.6 2 ys2*0 x2*=0 由 2y1*+3y2*=3=右边 ys3*=0 x3*待定 由 3y1*+2y2*=4=右边 ys4*=0 x4*待定,最优解：x1*=0 x2*=0 x3*=4 x4*=4 xs1*=0 xs2*=0 最大值：z*=28=w*,70,5 对偶问题的经济含义影子价格 最优情况：z*=w*=b1y1*+biyi*+bmym*,71,6 对偶单纯形法 单纯形法：由 XB=B-1b 0，使j 0，j=1,m对偶单纯形法：由j 0(j=1,n)，使XB=B-1b 0,步骤：(1)保持j 0，j=1,n，确定XB，建立计算表格；,(2)判别XB=B-1b 0是否成立？若成立，XB为最优基变量；若不成立，转(3)；,72,(4)消元运算，得到新的XB。,(3)基变换 出基变量，,入基变量，,重复（2）-（4）步，求出结果。,73,eg.8用对偶单纯形法求解 min w=2x1+3x2+4x3 x1+2x2+x3 1 2x1-x2+3x3 4 x1,x2,x3 0,74,x4,x5 0 非最优,x1,x4 0 最优,最优解：x1*=2，x2*=0，x3*=0，x4*=1，x5*=0目标值：w*=-z*=4,75,7 灵敏度分析,分析 变化对最优解的影响。,76,77,例1 已知下述问题的最优解及最优单纯形表,78,最优单纯形表如下:,79,由最优单纯形表得:,80,81,不可行!,用对偶单纯形法计算,82,3/4,-2,83,84,例2 求例1 c4的变化范围,使最优解不变.,解:,85,分析:,86,方法:,例3 求例1 c2的变化范围,使最优解不变.,87,解:,88,89,分析:,90,91,例4 求例1 a24的变化范围,使最优解不变.,解:,92,例5 在例1的基础上，企业要增加一个新产品,每件产品需2个台时，原材料A 6kg，原材料B 3kg，利润 5元/件，问如何安排各产品的产量，使利润最大？解：,93,表明生产新品有利。,94,95,2,96,小结,1、对偶问题及其化法,原问题决策变量决定对偶问题约束条件关系,原问题约束条件决定对偶问题决策变量取值方向。,97,2、检验数的计算方法,98,3、对偶问题的性质,4、对偶单纯形法,弱对偶性,无界性,最优性,松弛性,检验数与对偶问题的解,99,5、灵敏度分析,100,101,第三章 整数规划Integer Programming,1 问题的提出 eg.1用集装箱托运货物 问：甲乙货物托运多少箱，使总利润最大？,102,图解法：,x1*=4 x2*=1 zI*=90,103,一般，整数规划的最优解不会优于相应线性规划的最优解。,对于max问题，zI*zl*对于min问题，zI*zl*,数学模型：,104,2 分枝定界法 用单纯形法，去掉整数约束,105,3 0-1规划（xi=0或1的规划）eg.2选择投资场所 Ai投资Bi元，总投资B，收益Ci元.问：如何选择Ai，使收益最大？,南区,西区,东区,106,eg.3求解如下0-1规划 max z=3x1-2x2+5x3 x1+2x2-x3 2 x1+4x2+x3 4 x1+x2 3 4x2+x3 6 x1,x2,x3=0或1,解：(1)观察一个可行解x1=1 x2=x3=0 此时，z=3,107,(3)列表计算,第四章,108,第四章 非线性数规划 Nonlinear Programming,1 问题的提出 eg.1某单位拟建一排厂房，厂房建筑平面如图所示。由于资金及材料的限制，围墙及隔墙的总长度不能超过80米。为使建筑面积最大，应如何选择长宽尺寸？,分析：设长为 米，宽为 米，则有,f(x)为非线性函数,109,例2 设某物理过程具有如下规律 用试验法。现要确定参数 使所得试验点构成的曲线与理论曲线误差平方和为最小，且满足,110,非线性规划：目标函数或（和）约束条件为非线性函数的规划。,分析：,f(x)为非线性函数，求最小。,111,2 基本概念,2.1非线性规划的数学模型数学模型的一般描述,112,或,113,2.2非线性规划的图示,例1 求解如下非线性规划问题,114,分析：,非线性规划的最优解可能在可行域的任一点达到。,115,2.3极值问题,极值存在的条件,116,117,118,119,120,121,2.4凸函熟与凸规划,1、凸函熟与凹函熟,122,函数f(x)图示,123,2、凸性的判别,124,例3,125,3.凸函数的极值,对于定义在凸集上的凸函数，其极小点就是最小点，极小值就是最小值。4.凸规划 下述问题为凸规划.,126,凸规划的局部最优解为全局最优解，当凸规 划的目标函数为严格凸函数时，若存在最优解，则最优解必定唯一。凸规划是一类比较简单而又具有重要理论意义的非线性规划。,127,例 如下非线性规划是否为凸规划：,128,的海赛矩阵：,所以，该问题为凸规划。,129,如图所示，该问题最优解（最小点）在C点取得。,130,5.下降迭代算法,下降迭代算法,131,几种终止迭代的准则：,132,3无约束非线性规划的解法,无约束非线性规划的数学描述解法分类：解析法：用函数的解析性（一阶、二阶导数）。梯度法、共扼梯度法、变尺度法等。直接法：用问题的函数值。步长加速法。,133,梯度法,1.基本原理,134,对于充分小的,135,2、求解步骤,(1),136,其中,重复迭代，直至满足精度为止。,137,例,138,找下一点,139,于是,140,几何分析,对于等值线为圆的无约束极小化问题，不管初始点选在哪里，只要一次迭代即可求得最优解。,141,4 有约束的非线性规划,有约束非线性规划数学描述,142,4.1 库恩-塔克(Kuha-Tucker)条件,1.几何说明,143,对于,144,2.库恩-塔克(Kuha-Tucker)条件,设,145,式中,146,例 用K-T条件求解如下非线性规划。,147,引入乘子,148,讨论：,149,4.2 二次规划,二次规划的数学描述,150,1.二次规划的K-T条件,求相应问题梯度,151,引拉格朗日乘子,152,2.线性规划描述,引入松弛变量及人工变量,153,取,154,于是得到相应的线性规划问题。,155,以,156,第五章 动态规划(Dynamic programming),1.引言 研究多阶段决策问题 R.E.Bellman 1951年提出动态规划。1957年出版Dynamic Programming 应用：最优调度、资源分配 最优路径、最优控制 设备更新、库存问题,157,2.多阶段决策问题,例.某产品从A城运至F城，其间要经过若干 个城镇和若干条道路，路线结构如图所示，图中给出了每段道路的运费（元），试选 择一条合理的运输路线，使总运费最小？,158,分析：方案：AB1C1E1F 运费：26元 方案:AB3C3E3F 运费：22元 方案:AB2C1E2F 运费：18元 最优方案：方案,159,3.基本概念,1.阶段和阶段变量 阶段：过程的划分，包括时间、空间的划分，阶段数:n 阶段变量：描述阶段的变量用k 表示，k=1,2,.,n2.状态和状态变量状态：描述过程的必要信息。状态应具有无后效性:若给定了某阶段状态，则在这阶段以后过程的发展不受这阶段以前各阶段状态的影响.,160,状态变量：描述状态的变量，用s表示。,161,3.决策和决策变量,决策：决定（选择），从一个阶段的状态到 下一个阶段状态的选择。决策变量：描述决策的变量，用u表示.,162,4.策略,策略：决策按顺序构成的序列，用p表示。,163,164,165,166,7.多阶段过程,对于动态系统，,167,8.多阶段决策过程,多阶段决策过程就是在各个阶段都要进行决策。,168,数学描述,169,4 动态规划的基本方程,4.1最优性原理,170,4.2基本方程,设指标函数为,171,172,173,基本方程的解法,174,175,176,177,178,179,180,5 资源分配问题,181,182,逆推求解,183,184,185,186,第六章 网络分析(Network Analysis),网络最大流问题1.问题的提出 交通系统：车辆流量 企业：物资流、信息流 信息系统（网络）：信息流 供水网络：水流量 金融系统：现金流,187,例：产品从产地 运往销售地点，图中给出了每段的运输能力，问：最大的运输能力为多少？,分析：方案如图所示。流量=3+1=4 是否为最大？,188,2 基本概念,189,190,191,192,193,194,.,195,解：一.标号过程,196,二.调整,197,198,199,第七章 决策分析,1 引言决策：从多个可行动的方案中找出一个达到目标的最优解要素：1.决策者 2.方案（可控）3.事件（自然状态，不可控）4.准则 5.益损值2.风险决策,200,已知条件 事件出现的概率.方案.准则.益损值,201,例.产品生产与销售 单位：万元,202,203,用决策树法决策：决策点,：方案,方案枝,概率枝,(1)画决策树，（2）用期望值准则决策。,204,3.不确定型决策事件出现的概率未知；方案、益损值、准则已知 1 乐观准则（maxmax）,205,例1.某产品每件成本价为0.5万元，正常售价为 0.7万元；若供大于求，则以0.4万元处理销售。拟定生产方案为100、200、300件，正常需求为100、200、300件。用乐观准则决策。解：求出益损值,206,207,208,209,解：,210,211,