空间几何体的结构和练习题.doc

§12空间几何体的结构知识要点1简单空间几何体的基本概念：<1><2>特殊的四棱柱：<3>其他空间几何体的基本概念：几何体基本概念正棱锥底面是正多面形.并且顶点在底面的射影是底面的中心正棱台正棱锥被平行于底面的平面所截.截面与底面间的几何体是正棱台圆柱以矩形的一边所在的直线为轴.将矩形旋转一周形成的曲面围成的几何体圆锥以直角三角形的一边所在的直线为轴.将直角三角形旋转一周形成的曲面围成的几何体圆台以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为轴.将直角梯形旋转一周形成的曲面围成的几何体球面半圆以它的直径为轴旋转.旋转而成的曲面球球面所围成的几何体2简单空间几何体的基本性质：几何体性质补充说明棱柱<1>侧棱都相等.侧面是平行四边形<2>两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形<3>过不相邻的两条侧棱的截面<对角面>是平行四边形<1>直棱柱的侧棱长与高相等.侧面及对角面都是矩形<2>长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和正棱锥<1>侧棱都相等.侧面是全等的等腰三角形<2>棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形球<1>球心和球的截面圆心的连线垂直于截面<2>球心到截面的距离d.球的半径R.截面圆的半径r满足<1>过球心的截面叫球的大圆.不过球心的截面叫球的小圆<2>在球面上.两点之间的最短距离.就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度<两点的球面距离>3简单几何体的三视图与直观图：<1>平行投影：概念：如图.已知图形F.直线l与平面a 相交.过F上任意一点M作直线MM1平行于l.交平面a 于点M1.则点M1叫做点M在平面a 内关于直线l的平行投影如果图形F上的所有点在平面a 内关于直线l的平行投影构成图形F1.则F1叫图形F在a 内关于直线l的平行投影平面a 叫投射面.直线l叫投射线平行投影的性质：性质1直线或线段的平行投影仍是直线或线段；性质2平行直线的平行投影是平行或重合的直线；性质3平行于投射面的线段.它的投影与这条线段平行且等长；性质4与投射面平行的平面图形.它的投影与这个图形全等；性质5在同一直线或平行直线上.两条线段平行投影的比等于这两条线段的比<2>直观图：斜二侧画法画简单空间图形的直观图<3>三视图：正投影：在平行投影中.如果投射线与投射面垂直.这样的平行投影叫做正投影三视图：选取三个两两垂直的平面作为投射面若投射面水平放置.叫做水平投射面.投射到这个平面内的图形叫做俯视图；若投射面放置在正前方.叫做直立投射面.投射到这个平面内的图形叫做主视图；和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面.投射到这个平面内的图形叫做左视图将空间图形向这三个平面做正投影.然后把三个投影按右图所示的布局放在一个水平面内.这样构成的图形叫空间图形的三视图画三视图的基本原则是"主左一样高.主俯一样长.俯左一样宽"4简单几何体的表面积与体积：<1>柱体、锥体、台体和球的表面积：S直棱柱侧面积ch.其中c为底面多边形的周长.h为直棱柱的高.其中c为底面多边形的周长.h为正棱锥的斜高.其中c.c分别是棱台的上、下底面周长.h为正棱台的斜高S圆柱侧面积2pRh.其中R是圆柱的底面半径.h是圆柱的高S圆锥侧面积pRl.其中R是圆锥的底面半径.l是圆锥的母线长S球4pR2.其中R是球的半径<2>柱体、锥体、台体和球的体积：V柱体Sh.其中S是柱体的底面积.h是柱体的高.其中S是锥体的底面积.h是锥体的高.其中S.S分别是台体的上、下底面的面积.h为台体的高.其中R是球的半径复习要求1了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征；2会画出简单几何体的三视图.会用斜二侧法画简单空间图形的直观图；3理解球、棱柱、棱锥、台的表面积与体积的计算公式例题分析例1 如图.正三棱锥PABC的底面边长为a.侧棱长为b<>证明：PABC；<>求三棱锥PABC的表面积；<>求三棱锥PABC的体积分析对于<>只要证明BC<PA>垂直于经过PA<BC>的平面即可；对于<>则要根据正三棱锥的基本性质进行求解证明：<>取BC中点D.连接AD.PDPABC是正三棱锥.ABC是正三角形.三个侧面PAB.PBC.PAC是全等的等腰三角形D是BC的中点.BCAD.且BCPD.BC平面PAD.PABC<>解：在RtPBD中.三个侧面PAB.PBC.PAC是全等的等腰三角形.三棱锥PABC的侧面积是ABC是边长为a的正三角形.三棱锥PABC的底面积是三棱锥PABC的表面积为<>解：过点P作PO平面ABC于点O.则点O是正ABC的中心.在RtPOD中.三棱锥PABC的体积为评述1、解决此问题要求同学们熟悉正棱锥中的几个直角三角形.如本题中的RtPOD.其中含有棱锥的高PO；如RtPBD.其中含有侧面三角形的高PD.即正棱锥的斜高；如果连接OC.则在RtPOC中含有侧棱熟练运用这几个直角三角形.对解决正棱锥的有关问题很有帮助2、正n<n3.4.6>边形中的相关数据： 正三角形正方形正六边形边长aaa对角线长长：2a；短：边心距面积a2外接圆半径a例2 如图.正三棱柱ABCA1B1C1中.E是AC的中点<>求证：平面BEC1平面ACC1A1；<>求证：AB1平面BEC1分析本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图.这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求.可以根据几何体自身的性质.适当添加辅助线帮助思考证明：<>ABCA1B1C1是正三棱柱.AA1平面ABC.BEAA1ABC是正三角形.E是AC的中点.BEAC.BE平面ACC1A1.又BE平面BEC1.平面BEC1平面ACC1A1<>证明：连接B1C.设BC1B1CDBCC1B1是矩形.D是B1C的中点.DEAB1又DE平面BEC1.AB1平面BEC1.AB1平面BEC1例3 在四棱锥PABCD中.平面PAD平面ABCD.ABDC.PAD是等边三角形.已知BD2AD8.<>设M是PC上的一点.证明：平面MBD平面PAD；<>求四棱锥PABCD的体积分析本题中的数量关系较多.可考虑从"算"的角度入手分析.如从M是PC上的动点分析知.MB.MD随点M的变动而运动.因此可考虑平面MBD内"不动"的直线BD是否垂直平面PAD证明：<>在ABD中.由于AD4.BD8.所以AD2BD2AB2故ADBD又平面PAD平面ABCD.平面PAD平面ABCDAD.BD平面ABCD.所以BD平面PAD.又BD平面MBD.故平面MBD平面PAD<>解：过P作POAD交AD于O.由于平面PAD平面ABCD.所以PO平面ABCD因此PO为四棱锥PABCD的高.又PAD是边长为4的等边三角形因此在底面四边形ABCD中.ABDC.AB2DC.所以四边形ABCD是梯形.在RtADB中.斜边AB边上的高为.即为梯形ABCD的高.所以四边形ABCD的面积为故例4 如下的三个图中.上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图它的主视图和左视图在下面画出<单位：cm><>画出该多面体的俯视图；<>按照给出的尺寸.求该多面体的体积；<>在所给直观图中连结BC.证明：BC平面EFG分析画三视图的基本原则是"主左一样高.主俯一样长.俯左一样宽".根据此原则及相关数据可以画出三视图证明：<>该几何体三视图如下图：<>所求多面体体积<>证明：在长方体ABCDA'B'C'D'中.连结AD'.则AD'BC'因为E.G分别为AA'.A'D'中点. 所以AD'EG.从而EGBC '又BC'平面EFG. 所以BC'平面EFG例5 有两个相同的直三棱柱.底面三角形的三边长分别是3a.4a.5a.高为.其中a0用它们拼成一个三棱柱或四棱柱.在所有可能的情形中.表面积最小的一个是四棱柱.求a的取值范围解：直三棱柱ABCA1B1C1的三个侧面的面积分别是6.8.10.底面积是6a2.因此每个三棱柱的表面积均是2×6a2681012a224情形：将两个直三棱柱的底面重合拼在一起.只能拼成三棱柱.其表面积为：2×<12a224>2×6a212a248情形：将两个直三棱柱的侧面ABB1A1重合拼在一起.结果可能拼成三棱柱.也可能拼成四棱柱.但表面积一定是：2×<12a224>2×824a232情形：将两个直三棱柱的侧面ACC1A1重合拼在一起.结果可能拼成三棱柱.也可能拼成四棱柱.但表面积一定是：2×<12a224>2×624a236情形：将两个直三棱柱的侧面BCC1B1重合拼在一起.只能拼成四棱柱.其表面积为：2×<12a224>2×1024a228在以上四种情形中.、的结果都比大.所以表面积最小的情形只能在、中产生依题意"表面积最小的一个是四棱柱".得24a22812a248.解得所以a的取值范围是例6 在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中.E.F分别是BB1.CD的中点.求三棱锥FA1ED1的体积分析计算三棱锥FA1ED1的体积时.需要确定锥体的高.即点F到平面A1ED1的距离.直接求解比较困难利用等积的方法.调换顶点与底面的方式.如.也不易计算.因此可以考虑使用等价转化的方法求解解法1：取AB中点G.连接FG.EG.A1GGFADA1D1.GF平面A1ED1.F到平面A1ED1的距离等于点G到平面A1ED1的距离解法2：取CC1中点H.连接FA1.FD1.FH.FC1.D1H.并记FC1D1HKA1D1EH.A1D1EH.A1.D1.H.E四点共面A1D1平面C1CDD1.FCA1D1又由平面几何知识可得FC1D1H.FC平面A1D1HEFK的长度是点F到平面A1D1HE<A1ED1>的距离容易求得练习12一、选择题：1将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球.则这个球的表面积为< ><A>2p<B>4p<C>8p<D>16p2如图是一个几何体的三视图.根据图中数据.可得该几何体的表面积是< ><A>9p<B>10p<C>11p<D>12p3有一种圆柱体形状的笔筒.底面半径为4 cm.高为12 cm现要为100个这种相同规格的笔筒涂色<笔筒内外均要涂色.笔筒厚度忽略不计>如果所用涂料每0.5 kg可以涂1 m2.那么为这批笔筒涂色约需涂料< ><A>1.23 kg<B>1.76 kg<C>2.46 kg<D>3.52 kg4某几何体的一条棱长为.在该几何体的正视图中.这条棱的投影是长为的线段.在该几何体的侧视图与俯视图中.这条棱的投影分别是长为a和b的线段.则ab的最大值为< ><A><B><C>4<D>二、填空题：5如图.正三棱柱ABCA1B1C1的每条棱长均为2.E、F分别是BC、A1C1的中点.则EF的长等于_6将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起.使得BD1.则三棱锥DABC的体积是_7一个六棱柱的底面是正六边形.其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上.且该六棱柱的高为.底面周长为3.则这个球的体积为_8平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个.如两组对边分别平行.类似地.写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件：_；充要条件：_<写出你认为正确的两个充要条件>三、解答题：9如图.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中.E是DD1的中点<>求证：BD1平面ACE；<>求证：平面ACE平面B1BDD110已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形.正视图<或称主视图>是一个底边长为8、高为4的等腰三角形.侧视图<或称左视图>是一个底边长为6、高为4的等腰三角形<>求该几何体的体积V；<>求该几何体的侧面积S11如图.已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体.点E在AA1上.点F在CC1上.且AEFC11<>求证：E.B.F.D1四点共面；<>若点G在BC上.点M在BB1上.GMBF.求证：EM面BCC1B1