统计学：平均指标.ppt

统计学,statistics,第五章 平均指标,第一节 平均指标的基本理论,第二节 算术平均数,第三节 调和平均数,【学习目标】通过本章的学习和习题演算，掌握平均指标的概念、特点和作用；算术平均数、调和平均数、几何平均数、中位数与众数的计算方法和应用。了解平均指标的计算原则和分布特征。,第四节 几何平均数,第五节 位置平均数,第六节 平均指标的应用,（一）作用,一、测定平均指标的作用和特点,第五章 平均指标,第一节 平均指标的基本理论,（二）特点,1、总体同质性 2、数量抽象性 3、一般代表性,1、利用平均指标可以将同类现象的一般水平在不同 的空间和时间上进行比较。,2、利用平均指标可以分析现象之间的依存关系以及 估计、推算其他有关指标。,3、利用平均指标可以反映现象总体的客观规定性。,【专栏51】,【据新华社北京2月6日电】我国2002年科技竞争力的国际排名为第25位，从近年的排名看，基本稳定在第25至28名之间，反映出我国科技发展在国际上的地位。这是中国科技促进发展研究中心根据洛桑报告评价体系得出的结论。中国科技促进发展研究中心专家杨起全、吕力之通过分析评价体系的各单项指标得出，我国的数据特点是“总量排名比较靠前，平均指标比较落后，综合评价整体排名靠后”，这也是发展中大国的共同特点。例如，我国RD（研究与开发）经费总量增长较快，1996年排名仅为19位，2002年升至第9位，而人均RD总经费排名第43位（倒数第7位）。,中国科技竞争力总量排名靠前平均指标落后,第五章 平均指标,【专栏51】,另外，我国人均RD经费的增长速度低于与我国排名比较接近的国家，1999年我国人均RD经费排名第40位，到2002年这项指标反而退后到了第43位。在科技人力资源方面也存在类似的情况。我国的RD人员总量排名第2位，而人均仅排名第34位。,第一章 金融概述,中国科技竞争力总量排名靠前平均指标落后,二、平均指标的种类,第五章 平均指标,第一节 平均指标的基本理论,算术平均数 调和平均数 几何平均数 中位数 众数,第五章 平均指标,第二节 算数平均数,一、算数平均数的基本形式,例：,直接承担者,注意区分算术平均数与强度相对数,第五章 平均指标,第二节 算数平均数,二、算数平均数的计算方法,（一）简单算术平均数,适用于总体资料未经分组整理、尚为原始资料的情况,式中：为算术平均数;为总体单位总数；为第 个单位的标志值。,第五章 平均指标,第二节 算数平均数,二、算数平均数的计算方法,解：平均每人日销售额为：,某售货小组5个人，某天的销售额分别为520元、600元、480元、750元、440元，求平均每人日销售额。,【例】,第五章 平均指标,第二节 算数平均数,二、算数平均数的计算方法,（二）加权算术平均数,适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况,式中：为算术平均数;为第 组的次数；m 为组数；为第 组的标志值或组中值。,第五章 平均指标,第二节 算数平均数,【例】某企业某日工人的日产量资料如下：,计算该企业该日全部工人的平均日产量。,第五章 平均指标,第二节 算数平均数,解：,分析：,起到权衡轻重的作用,决定平均数的变动范围,第五章 平均指标,第五章 平均指标,第二节 算数平均数,二、算数平均数的计算方法,（二）加权算术平均数,第五章 平均指标,第二节 算数平均数,二、算数平均数的数学性质,变量值与其算术平均数的离差之和衡等于零，即：如果对每个标志值加或减一个任意数A，则算术平均数也要增加或减少那个A值,第五章 平均指标,第二节 算数平均数,三、算数平均数的数学性质,3.如对每个标志值乘以或除以一个任意值A，则平均数也要乘以或除以那个A值。乘以A：简单算术平均数：除以A：简单算术平均数：4.变量值与其算术平均数的离差平方和为最小，即：,第五章 平均指标,第二节 算数平均数,三、算数平均数的数学性质,5.两个独立的同性质变量代数和的平均数等于各 变量平均数的代数和。6.两个独立的同性质变量乘积的平均数等于各变 量平均数的乘积,第五章 平均指标,第二节 算数平均数,四、算数平均数的特殊应用,（一）等级标志平均数,平均等级也正是依据等级资料计算的反映总体一般质量水平的综合指标。一般平均等级指标采用加权算术平均数的形式计算。,第五章 平均指标,第二节 算数平均数,【例】假设某企业生产的某产品分三个等级，20052006年各等级产量资料如下表：,第五章 平均指标,第二节 算数平均数,解：,产品一级品质量最好，2006年平均等级小于2005年，说明2006年产品综合质量水平较2005年有所提高。,第五章 平均指标,第二节 算数平均数,四、算数平均数的特殊应用,（二）质量评分平均数,生产工作质量要评价其产量、品种、质量、效率、消耗、利润等方面完成情况，而种种方面有些表现为数量特征，有些则表现为属性特征，要综合评判，我们可以给每一方面打分。通常在打分时，可以采用5分制，5分最优，1分最差，也可以采用百分制。在对分数加权平均时，权数的选择一般是依据各标志在综合评价中的地位和作用，根据其作用大小，确定它们各自应占的比重，即比重为权数。,第五章 平均指标,第二节 算数平均数,【例】甲、乙两企业生产同种产品，按性能、外观、费用、时间这四个主要标志对其评价，采用5 分制。,第五章 平均指标,第二节 算数平均数,解：,计算结果表明，两企业产品综合质量评判，平均说来甲企业略高于乙企业。,第五章 平均指标,第二节 算数平均数,四、算数平均数的特殊应用,（三）是非标志平均数,为研究是非标志总体的数量特征，令,指总体中全部单位只具有“是”或“否”、“有”或“无”两种表现形式的标志，又叫交替标志。,是非标志,第五章 平均指标,第二节 算数平均数,四、算数平均数的特殊应用,（三）是非标志平均数,具有某种标志表现的单位数所占的成数,不具有某种标志表现的单位数所占的成数,指是非标志总体中具有某种表现或不具有某种表现的单位数占全部总体单位总数的比重,成数,第五章 平均指标,第二节 算数平均数,四、算数平均数的特殊应用,（三）是非标志平均数,均值,标准差,第五章 平均指标,第二节 算数平均数,四、算数平均数的特殊应用,（三）是非标志平均数,方差,标准差系数,第五章 平均指标,第二节 算数平均数,四、算数平均数的特殊应用,（三）是非标志平均数,【例】某厂某月份生产了400件产品，其中合格品380件，不合格品20件。求产品质量分布的集中趋势与离中趋势。,第五章 平均指标,第三节 调和平均数,【例】设X=（2，4，6，8），则其调和平均数可由定义计算如下：,再求算术平均数：,求各标志值的倒数：，,再求倒数：,是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，又叫倒数平均数。,第五章 平均指标,第三节 调和平均数,一、简单调和平均数,适用于总体资料未经分组整理、尚为原始资料的情况,式中：为调和平均数;为变量值 的个数；为第 个变量值。,第五章 平均指标,第三节 调和平均数,二、加权调和平均数,适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况,式中：为第 组的变量值；为第 组的标志总量。,当己知各组变量值和标志总量时，作为算术平均数的变形使用。,因为：,调和平均数的应用,第五章 平均指标,第三节 调和平均数,调和平均数的应用,第五章 平均指标,第三节 调和平均数,【例】,某企业某日工人的日产量资料如下：,计算该企业该日全部工人的平均日产量。,调和平均数的应用,第五章 平均指标,第三节 调和平均数,即该企业该日全部工人的平均日产量为12.1375 件。,解：,第五章 平均指标,第三节 调和平均数,三、由相对数计算平均数,由于比值（平均数或相对数）不能直接相加，求解比值的平均数时，需将其还原为构成比值的分子、分母原值总计进行对比,设相对数,则有：,第五章 平均指标,第三节 调和平均数,三、由相对数计算平均数,第五章 平均指标,第三节 调和平均数,三、由相对数计算平均数,【例A】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：,计算该公司该季度的平均计划完成程度。,第五章 平均指标,第三节 调和平均数,三、由相对数计算平均数,【例A】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：,计算该公司该季度的平均计划完成程度。,第五章 平均指标,第三节 调和平均数,三、由相对数计算平均数,【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下（按计划完成程度分组）：,计算该公司该季度的平均计划完成程度。,应采用平均数的基本公式计算,第五章 平均指标,第四节 几何平均数,是N项变量值连乘积的开N次方根,第五章 平均指标,第四节 几何平均数,一、简单几何平均数,适用于总体资料未经分组整理尚为原始资料的情况。,式中：为几何平均数;为变量值的个数；为第 个变量值。,第五章 平均指标,第四节 几何平均数,一、简单几何平均数,【例】某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各工序产品的合格率分别为95、92、90、85、80，求整个流水生产线产品的平均合格率。,分析：,设最初投产100A个单位，则第一道工序的合格品为100A0.95；第二道工序的合格品为（100A0.95）0.92；第五道工序的合格品为（100A0.950.920.900.85）0.80；,第五章 平均指标,第四节 几何平均数,一、简单几何平均数,因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品，故该流水线总的合格品应为 100A0.950.920.900.850.80；则该流水线产品总的合格率为：,即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需采用几何平均法计算。,第五章 平均指标,第四节 几何平均数,一、简单几何平均数,因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品，故该流水线总的合格品应为 100A0.950.920.900.850.80；则该流水线产品总的合格率为：,即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需采用几何平均法计算。,解：,【专栏52】,第一章 金融导论,若上题中不是由五道连续作业的工序组成的流水生 产线，而是五个独立作业的车间，且各车间的合格 率同前，又假定各车间的产量相等均为100件，求该企业的平均合格率。,思考,【专栏52】,第一章 金融导论,思考,因各车间彼此独立作业，所以有 第一车间的合格品为：1000.95；第二车间的合格品为：1000.92；第五车间的合格品为：1000.80。则该企业全部合格品应为各车间合格品的总和，即总合格品=1000.95+1000.80,分析：,【专栏52】,第一章 金融导论,思考,不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解相对数的平均数的方法计算。又因为,应采用加权算术平均数公式计算，即,第五章 平均指标,第四节 几何平均数,二、加权几何平均数,适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况,式中：为几何平均数;为变量值的个数；为第 个变量值。,第五章 平均指标,第四节 几何平均数,二、加权几何平均数,【例】某金融机构以复利计息。近12年来的年利率有4年为 3，2年为5，2年为8，3年为10，1年为15。求平均年利率。,设本金为V，则至各年末的本利和应为：,第1年末的本利和为：,第2年末的本利和为：,第12年末的本利和为：,分析：,第五章 平均指标,第四节 几何平均数,二、加权几何平均数,则该笔本金12年总的本利率为：,即12年总本利率等于各年本利率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故计算平均年本利率应采用几何平均法。,解,【专栏53】,分析,第1年末的应得利息为：,第2年末的应得利息为：,第12年末的应得利息为：,第五章 平均指标,【专栏53】,则该笔本金12年应得的利息总和为：=V（0.034+0.052+0.151）,这里的利息率或本利率不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解比值的平均数的方法计算。因为,假定本金为V,第五章 平均指标,【专栏53】,所以，应采用加权算术平均数公式计算平均年利息率，即：,解：,（比较：按复利计息时的平均年利率为6.85）,第五章 平均指标,第五章 平均指标,是否为比率或速度,各个比率或速度的连乘积是否等于总比率或总速度,是否为其他比值,否,是,几何平均法,算术平均法,求解比值的平均数的方法,指标,三、数值平均数计算公式的选用顺序,第五章 平均指标,第五节 位置平均数,一、众数,指总体中出现次数最多的变量值，用 表示,它不受极端数值的影响，用来说明总体中大多数单位所达到的一般水平。,第五节 位置平均数,众数的确定,1.单项数列确定众数的方法：出现次数最多的标志值就是众数。,【例A】已知某企业某日工人的日产量资料如下:,计算该企业该日全部工人日产量的众数。,第五章 平均指标,第五章 平均指标,第五节 位置平均数,第五章 平均指标,2.组距数列确定众数的方法,由最多次数来确定众数所在组,按公式计算众数,第五章 平均指标,【例B】某车间50名工人月产量的资料如下：,计算该车间工人月产量的众数。,第五章 平均指标,第五节 位置平均数,2.组距数列确定众数的方法,第五章 平均指标,第五节 位置平均数,413名学生出生时间分布直方图,众数的原理及应用,（无众数）,第五章 平均指标,第五节 位置平均数,众数的原理及应用,（双众数）,当数据分布呈现出双众数或多众数时，可以断定这些数据来源于不同的总体。,第五章 平均指标,第五节 位置平均数,二、中位数,将总体各单位标志值按大小顺序排列后，指处于数列中间位置的标志值，用 表示。,不受极端数值的影响，在总体标志值差异很大时，具有较强的代表性。,中位数的作用：,第五章 平均指标,第五节 位置平均数,中位数的确定,1.由未分组资料确定中位数,（1）对某个标志值按大小顺序资料加以排列,（2）然后用下列公式确定中位数的位置,第五章 平均指标,第五节 位置平均数,中位数的确定,1.由未分组资料确定中位数,中位数的位次为：,即第3个单位的标志值就是中位数,第五章 平均指标,第五节 位置平均数,中位数的确定,1.由未分组资料确定中位数,中位数应为第3和第4个单位标志值的算术平均数，即,中位数位置：,第五章 平均指标,第五节 位置平均数,中位数的确定,2.由单项数列确定中位数,计算各组的累计次数,根据中位数位置确定中位数,第五章 平均指标,第五节 位置平均数,中位数的确定,2.由单项数列确定中位数,【例C】某企业某日工人的日产量资料如下：,计算该企业该日全部工人日产量的中位数。,第五章 平均指标,第五节 位置平均数,中位数的确定,3.由组距数列确定中位数,确定中位数的值,从数列的累积频数栏确定第 个单位所在的组，即中位数组,式中：L表示中位数所在组的下限；中为数所在组的次数；中位数所在组以前各组的累积次数；d中位数所在组的组距；,第五章 平均指标,第五节 位置平均数,中位数的确定,3.由组距数列确定中位数,【例D】某车间50名工人月产量的资料如下：,计算该车间工人月产量的中位数。,第五章 平均指标,第五节 位置平均数,3.由组距数列确定中位数,中位数的确定,第五章 平均指标,第五节 位置平均数,三、分位数,一般称能够将全部总体单位按标志值大小等分为k个部分的数值为“k分位数”,一般并不表明分布的集中趋势(也即本身不属于位置平均数)，但可以作为考察分布集中趋势和变异状况的有效工具。,分位数的作用：,第五章 平均指标,第五节 位置平均数,三、分位数,1.四分位数,四分位数是能够将全部总体单位按标志值大小等分为四部分的三个数值，分别记为。第一个四分位数 也叫“下四分位数”；第三个四分位数 也叫“上四分位数”。,第五章 平均指标,第五节 位置平均数,三、分位数,1.四分位数,的位次为：,四分位数的确定,（未分组资料）,的位次为：,的位次为：,第五章 平均指标,第五节 位置平均数,三、分位数,1.四分位数,四分位数的确定,（未分组资料）,如果(n+1)是4的倍数，则按上面公式计算出来的位次都是整数，这时，各个位次上的标志值就是相应的四分位数；如果(n+1)不是4的倍数，按上面公式计算出来的四分位数位次就可能带有小数，这时，有关的四分位数就应该是与该带小数相邻的两个整数位次上的标志值的某种加权算术平均数。,第五章 平均指标,第五节 位置平均数,三、分位数,1.四分位数,四分位数的确定,（未分组资料）,【例】当给定n=50，容易确定：的位次=514=12.75 的位次=512=25.5 的位次=3514=38.25,这时第一个四分位数应该为,(其他两个呢？),第五章 平均指标,第五节 位置平均数,三、分位数,1.四分位数,四分位数的确定,（分组资料）,第五章 平均指标,第五节 位置平均数,三、分位数,1.四分位数,四分位数的确定,（分组资料）,某市居民家庭收入资料如下，要求计算居民家庭收入的四分位数。,第五章 平均指标,第五节 位置平均数,三、分位数,1.四分位数,四分位数的确定,（分组资料）,第五章 平均指标,第五节 位置平均数,三、分位数,2.十分位数,十分位数是能够将全部总体单位按标志值大小等分为十部分的九个数值，分别记为。第一个十分位数 也叫“下十分位数”；第九个十分位数 也叫“上十分位数”。,第五章 平均指标,第五节 位置平均数,三、分位数,2.十分位数,十分位数的确定,（未分组资料）,的位次为：,的位次为：,的位次为：,的位次为：,第五章 平均指标,第五节 位置平均数,三、分位数,2.十分位数,如果(n+1)是10的倍数，则按上面公式计算出来的位次都是整数，这时，各个位次上的标志值就是相应的十分位数；,如果(n+1)不是10的倍数，按上面公式计算出来的十分位数位次就可能带有小数，这时，有关的十分位数就应该是与该带小数相邻的两个整数位次上的标志值的某种加权算术平均数。,第五章 平均指标,第六节 平均指标的应用,（一）算术平均数、调和平均数与几何平均数的关系,一、各种平均指标的比较,（二）位置平均数与算术平均数的关系,X,f,X,f,X,f,(对称分布),正偏态分布（右）,负偏态分布(左）,在偏斜不大时,1,2,1,2,第五章 平均指标,第六节 平均指标的应用,二、运用平均指标应注意的问题,1.平均指标只能运用于同质总体；,2.用组平均数补充说明总平均数,3.用分配数列补充说明平均数,4.将平均指标与离散指标结合起来分析,第五章 平均指标,第六节 平均指标的应用,二、运用平均指标应注意的问题,某企业工资情况表,第五章 平均指标,第六节 平均指标的应用,二、运用平均指标应注意的问题,某工业部门50个企业年度产值计划完成情况,本章小结：,（1）平均指标反映了总体分布的共性或一般水平，和标志变异指标一起分别从集中趋势和离中趋势两个方面来描述总体分布的特征。平均指标有动态上的平均指标和静态上的平均指标之分。静态上的平均数有算术平均数、调和平均数、几何平均数、中位数和众数。（2）算术平均数通常用来反映总体分布的集中趋势，调和平均数往往只作为算术平均数的变形来使用，即在已知标志总量而未知总体单位总量的情况下计算调和平均数；而几何平均数较适用于计算平均比率和平均速度。（3）中位数和众数是根据标志值的位置计算的，所以也叫位置平均数。把标志值从小到大排列起来处于中间位置上的数就是中位数；在一个变量数列中出现次数最多的哪个数就是众数。众数、中位数、算术平均数存在一定的数量关系。,第五章 平均指标,华盛顿大学医疗中心的Barnes医院，建于1914年，是为圣路易斯及其邻近地区的居民提供医疗服务的主要医院。该医院被公认为美国最好的医院之一。Barnes医院有一个收容计划，用以帮助身患绝症的人及其家人提高生活质量。负责收容工作的小组包括一名主治医师、一名助理医师、护士长、家庭护士和临床护士、家庭健康服务人员、社会工作者、牧师、营养师、经过培训的志愿者，以及提供必要的其他辅助服务的专业人员。通过收容工作组的共同努力，病人及其家庭会获得必要的指导和支持，以帮助他们克服由于疾病、隔离和死亡而带来的紧张情绪。在收容工作组的协作和管理上，采用每月报告和季度总结来帮助小组成员回顾过去的服务。对于工作数据的统计概括则用作方针措施的规划和执行的基础。,【专栏54】,Barnes医院,第五章 平均指标,比如，他们搜集了有关病人被工作组收容的时间的数据。一个含有67个病人记录的样本表明，病人被收容的时间在1185天内变化。频数分布表的使用对于概括总结收容天数的数据也是很有用的。此外，下面的描述统计学数值量度也被用于提供有关收容时间数据的有价值的信息。平均数：35.7天；中位数：17天；众数：1天。对以上数据进行解释，表明了平均数即对病人的平均收容时间是35.7天，也就是1个月多一点，而中位数则表明半数病人的收容时间在17天以下，半数病人的收容时间在17天以上。众数是发生频数最多的数据值，众数为1天表明许多病人仅仅被收容了短短的1天。,【专栏54】,Barnes医院,第五章 平均指标,复习思考题,一组数据的分布特征可以从哪几个方面进行测度？2.什么是平均指标，它的特点和作用如何？3.平均数与强度相对数有何区别？4.平均指标有几种？为何算术平均数是其中最基本的一种？5.如何理解加权算术平均数中权数的意义？6.什么是众数和中位数？如何运用？,第五章 平均指标,复习思考题,7.加权算术平均数和加权调和平均数之间的关系如何？什么情 况下加权调和平均数等于简单调和平均数，试举例说明。8.中位数、众数与算术平均数的关系是怎样的？9.计算和应用平均指标应注意哪几个问题？,第五章 平均指标,复习思考题,第五章 平均指标,10.某农场三种不同地段的粮食产量资料如下：,试计算每个地段的单位面积产量和三个地段的平均单位面积产量。,复习思考题,第五章 平均指标,11.某厂50名工人，各级工人工资和工人数资料如下：,试计算工人的平均月工资。,复习思考题,第五章 平均指标,12.已知某地区各工业企业产值计划完成情况及计划产值资料如下,试根据上述资料计算产值计划平均完成程度。,复习思考题,第五章 平均指标,13.某地2006年收购苹果单价及收购金额资料如下表：,试计算苹果的平均收购价格。,复习思考题,第五章 平均指标,14.为了扩大国内居民需求，银行为此多次降低存款利润，近5年年利润率分别为7、5、4、3、2，试计算在单利和复利情况下5年的平均年利率。15.某人在银行存了一笔款，前六年的年利润率为5，后四年的年利润率为6，求该笔存款的年平均利润率。,复习思考题,第五章 平均指标,16.某市居民家庭收入资料如下：,根据上述资料，计算职工家庭每户收入的众数和中位数。,