《选择性必修三》随机变量及其分布 离散型随机变量及其分布列第6课时.docx

第6课时7.4.3二项分布的性质(-)教学内容二项分布的单调性、最大值、最小值.(二)教学目标通过具体实例，借助散点图和概率分布直方图，观察二项分布的特征，推导二项分布的性质，掌握取最值时&的取值，体会数形结合和转化思想，提高数学抽象及数据分析的核心素养.(三)教学重点和难点重点：推导二项分布的性质并运用.难点：二项分布的最值取值.(四)教学过程设计一、问题引入问题1：掷一枚质地均匀的硬币正面朝上的概率是多少？追问：掷IOO枚质地均匀的硬币最可能有多少枚硬币正面朝上？师生分析：学生回答掷一枚硬币正面朝上的概率为0.5,根据直观感觉和生活经验猜测掷100硬币时最有可能有50枚正面朝上。掷100枚硬币最可能有多少枚硬币正面朝上，即掷100枚硬币有多少枚硬币正面朝上时概率最大。设一枚掷硬币正面朝上的事件为A,掷100枚硬币正面朝上的次数为X,由于每次掷硬币的结果是相互独立的，则随机变量X服从二项分布，且事件A成功的概率为0.8,因此X8(100,0.5)°则离散型随机变量X的分布列为P(X=%)=0.5a(1-0.5)3",A=0,1,2,L,100.探究是否有50枚硬币正面朝上时概率最大，即探究P的何时取到最大值。引出新课：探究二项分布的性质。设计意图：以学生熟悉的抛硬币的例子，通过设疑，引起学生兴趣。可以先误导，引起学生的认知冲突，再解释分析题意，明确研究问题，随机变量X服从二项分布8(100,0.5)时，Z取何值时，P(X=k)最大?二、新课教学师生活动:可以把P(X=Q=GAOOO.531-0.5)K)OY,攵=0,1,2,L,100.看成以Z为自变量的函数/(k)=C：Oi)0.5*(l-0.5)3,其定义域是0,1,2,100o可以利用散点图观察性质。课前布置学生画出当掷硬币10次时的散点图,).P通过动手实践，发现画图比较复杂，教师借助信息技术，利用信息技术画出抛掷100枚质地均匀的硬币时的散点图，观察图象，抛掷10枚时当上5时概率最大，即最可能有5枚硬币正面朝上；即掷100枚硬币时，当上50时概率最大，最可能有50枚硬币正面朝上。设计意图：通过学生熟悉的例子，猜测对于二项分布仇2)，最可能值在Z=X处取到，引起认知冲突，激发学生的学习兴趣。2问题2：将问题1一般化，假设随机变量X服从二项分布3(",p),则该随机变量X具有哪些性质？师生活动：当试验重复次数和事件成功概率P发生变化时,我们仍然可以把P(X=Q=C"(l-p)i=0,1,2,L,几可以看成以Z为自变量的函数f(Q=Cp"l-p尸，其定义域是0,1,2,通过观察散点图，观察值域、单调性、最值、奇偶性、对称性等性质。(教师展示三个动图：不变P变，变P不变，和P同时变化)V当前的：项分布是XB(34,0.24)0X学生观察动图，总结二项分布图象的特征：1、二项分布是一种离散型分布，图象是离散型图象2、二项分布的图象形状取决于尸和的大小2、当欠由O增加到小P(X=A)先增后减设计意图：从特殊到一般，类比以往的学习经验(二项式系数、数列)研究二项分布的性质，强化学生的类比推理能力。追问1:通过图象观察，若XB(n,p)(0<p<l),当A由0增加到时，P(X=k)先增后减，那么Z取何值时，P(XF)最大？师生活动：通过观察散点图可以看出二项分布散点图的变化趋势，从“形”的角度观察之后，如何从“数”的角度进行证明。P(X=&)可以看做离散型函数，此时研究单调性不可以通过求导的方法，可以类比数列的研究方法，比较前后两项的大小。比较两项的大小可以利用作差法或者作商法。其中作差法与0比较，a-b>0oa>ba-b=0Oa=b、a-b<0<>a<b,如果”,8>0,则可以将9与1比较，巴>l=a>b、-=l<>a=bhbb<<>a<bob记Pk=P(X=k),PA和pi均大于Pk=Cpk(-,Z=O,1,2,L,Pi=C："pi(l-P)"Z，A=0，l，2,L,.疝PkGR(Jp)Td"T(>p)ik(n-k)/gi)!(A+)!0i)(,n-k+Y)p_np-kp+p_k(-p)-kjrp+npA(I-P)Z(I-P)%(l-p)1p(+n)-kk(-p)令.>1,则A>("+l)pPk-X所以当k<5+l)p时，PDPk-1,Pit随1值得增加而增加;当k>(n+I)P时,Pk<pk-,pk随k值得增加而减小；学生分组讨论，教师给予指导：因为人一定是整数，所以需要对(+1)P是否为整数进行分类讨论-lW,iPtr.当IW的二项分布是XB(lD,Od)当(+1)P是整数时，一丝二1则Phl=P&，PI.二po<Pl<<Pk-I=Pk>pk+1>>Pn-I>pM=Pk或Pk-I0X当(+1)P非整数时，不妨以具体取值为例，方便学生理解。以n=7、P=On为例,则(n+l)P=56所以R5.6时PAPk,k>5.6时PRVPklpo<p1<p2vp3<p4<p5>p6>p7,所以M=p5.即当(+1)P非整数时火取(+1)P的整数部分(记做5+l)p)po<PlV<P(n+I)p-!<P(W+I)p当前的二项分布是X"(1.(1.4)PPK0+1)P>PK"+1)>+1>>pn->pnM=p("+i)p*.1一_OX师生总结：当(+1)P是整数时，M=PA或PA+1当5+1)P非整数时，M=P(n+i)p设计意图：先通过图象(形)直观观察，推测增减性，再利用表达式证明,体现数学的严谨性。问题3：我们利用图象观察，并通过计算得到了二项分布最大值取值情况,请同学们自己思考并探究最小值取值情况及何时可取？师生活动：学生讨论，教师巡视并给予指导,请学生代表上台发言Po=C»。(1-pr=(l-P)",Pn=Cwp)°=PnQ0<p<lap>0Jll-p>0展上V=(上丫，压>1贝工>1Po(I-P)V-79PoI-P.p>0.5时p”>o,则最小值为Po，p<0.5时0<Po,则最小值为幺P=0.5时p=Po,则最小值为O或p.过渡：刚刚我们利用散点图研究了二项分布的最值问题，体现了二项分布每一项概率的大小，还可以利用概率分布直方图进一步研究对称性等性质。师生活动：通过信息技术展示动图身前的:七分是X»(13,0.15)*i*的坳分布此XB(2l,OS)当p<0.5时，图象向左偏倚；当p>0.5时，图象向右偏倚；当P等于0.5时，图象对称，图象呈中间高两边低、先增后减的的趋势。当产等于0.5时,如果充分大时，服从二项分布伙7)的随机变量近似地服从正态分布,这正是我们下节课所需要学习的内容，体现单元教学的内在联系。教师展示动图，学生直观体会这种变化。三、例题精讲例1如果某射手每次射击击中目标的概率为0.8,每次射击的结果相互独立，那么他在10次射击中，最有可能击中目标几次解：设他在10次射击中，射中的次数为X,由于每次射击的结果是相互独立的，因此XB(10,0.8),于是可得他恰好A次射中的概率为P(X=A)=C*jO.8aO.2io=OJ,2,L,10.KX=k)(10Z+l)x0.8111x0.8Z从而-=1÷-于是，当N8.8时，Pa=hl)<P(=k);当Q8.8时，P(x=kl)<P(x=k)故该射手在10次射击中,最有可能射中8次变式：如果X8(20”),求使?(X=A)取得最大值是女的值解：XB(20)则片20,p=l,(n+l)p=733则当上6或7时，P(XY)取得最大值设计意图：这两题为简单题，不同层次的学生都应该掌握，通过此题旨在让学生掌握二项分布概率最大值计算得两种思路。例2随机变量X服从二项分布即X8(,)，试求当=10,p=0.04.0.2、色、0.98时，试求2取何值时P(XF)取到最大值和最小值。11解:当=10,p=0.04时，(n+l)p=0.4,所以当上0时P(X=Z)取得最大值=P(X=0)=(0.96),°0.66483p<0.5,所以当上10时P(X=期取得最小值z=p(=10)=(0.04)'°=0.00000000000001048576当=10,p=0.2时，(n÷l)p=2.2,所以当上2时P(XM取得最大值M=P(X=O)=(O.96)100.66483<0.5,所以当仁10时P(XY)取得最小值小=P(X=IO)=(0.2)°=0.00001024当=10,*时，(+l)p=4,所以当上4或5时P(XY)取得最大值P(=4)=Gl)Aj0.24385M=尸(X=4)=尸(X=5)0.24385p<0.5,所以当=10时P(X=Z)取得最小值m=P(X=Io)=(A)0.000040427当=10,p=0.98时，(+l)p=10.78,所以当上10时P(X=A)取得最大值M=P(X=Io)=(0.98)K)0.81707p>0.5,所以当k=0时P(X=A)取得最小值,n=P(X=O)=(0.02)'°0.00000000000000001024四、总结提升(1)知识：二项分布的图象最大值:当(+I)P为整数时M=p(+i)p-i或p(”+i)当(+l)P非整数时M=P(n+)pP>0.5时P,>0,则最小值为O最小值：p<0.5时PrI>Po,则最小值为凡P=05时p”=PO,最小值为Po或p.(2)方法：数形结合思想、类比思想等。五、作业布置1、-次数学测验，由20个单择题构成，每个选择题有4个选择项，其中有且仅有一个是正确的，若某学生在测试中对每题都从4个选项中随机地选择1个，求该生在这次测验中答对多少个题的概率最大。2、一次数学测验，由20个不定项择题构成，每个选择题有4个选择项，若某学生在测试中对每题都从4个选项中随机地选择若干个，求该生在这次测验中答对多少个题的概率最大。设计意图：这两题的背景和学生息息相关，即可以巩固本节课的知识，也可以激发学生学习数学的兴趣。自主探究题：二项分布的偏倚性的证明，二项分布的其他性质。