《选择性必修三》随机变量及其分布 条件概率与全概率公式第1课时.docx

第1课时7.1.1条件概率(-)教学内容条件概率，概率的乘法公式.(-)教学目标了解条件概率的概念，掌握条件概率的两个公式，并能用该公式计算条件概率，掌握概率的乘法公式，并会简单的应用.(三)教学重点和难点重点：条件概率与概率的乘法公式，由特殊到一般的研究方法.难点：对条件概率中“条件”的正确理解,条件概率与无条件概率的比较.(四)教学过程设计1.知识回顾(1)古典概型的概率公式:=A所包含的样本点个数，一样本空间Q包含的样本点总数；(2)当事件A与8相互独立时，有P(AB)P(A)P(B)f如果事件A与B不相互独立，如何表示积事件AB的概率呢?2.情境引入问题L某班级有45名学生，其中男、女生人数及团员的人数如表1所示.表1团员非团员合计男生16925女生14620合计301545在班级里随机选择一人做代表:(1)选到男生的概率是多少？(2)如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少？师生活动：学生尝试利用古典概型自主完成上面的问题，并要求学生在每个问题中用符号表示样本空间和相关的事件,教师完善解题过程.在问题(1)中，随机选择1人做代表，则样本空间。包含45个等可能的样本点.设A="选至IJ团员”，8二“选至IJ男生”，则有(A)=30,“(3)=25,w()=45.255根据古典概型知识可知，选到男生的概率尸(8)=2=3.459对于问题(2),引导学生分析”在选到团员的条件下，选到男生”的概率就是“在事件4发生的条件下，事件8发生”的概率，记为P(3A).此时相当于以4为样本空间来考虑事件B发生的概率，而在新的样本空间中事件3就是积事件AB,包含的样本点数n(AB)=6.根据古典概型知识可知：P(BIA)二MA)1630815追问1：事件A的发生是对样本空间产生了怎样的影响？追问2：在新的样本空间中,事件8的样本点发生了什么样的变化？师生活动：教师引导学生思考、交流、总结.设计意图：通过具体的实例，引入条件概率的直观概念，使学生认识到在事件A发生的条件下，会缩小样本空间，条件概率P(BIA)本质上是在新的样本空间A中事件AB的概率，即p(同A)=M竺2.n(A)问题2：假定生男孩和生女孩是等可能的，现在考虑有两个小孩的家庭.随机选择一个家庭，那么(1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？(2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率有多大？师生活动：在问题1的基础上,鼓励学生自主完成,尽可能规范解题步骤,然后教师引导学生进行互动交流.对于问题(1),它与抛掷硬币问题很相似,所以学生不难判断它满足古典概型，用A表示事件“选择的家庭中有女孩”，B表示“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，直接用古典概型的计算尸(6)=皿=!；(Q)4对于问题(2),首先要引导学生分析所求的概率就是“在事件A发生的条件下,事件8发生”的概率，记为P(3A).此时A成为样本空间，事件8就是积事件A8.根据古典概型知识可知，P(MA)=辿=1.(A)3追问：两个事件的概率计算中分子都是1,它们表达的意义一样吗？设计意图：通过问题1和问题2,引导学生发现对于一般的古典概型，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率都是P(BlA)=必生.(A)3 .抽象条件概率的概念问题3：结合以上两个问题，关于条件概率的计算，你能得出什么结论？师生活动：学生集体回答，教师整理，借助图1可知，若已知事件A发生，则A成为样本空间.此时，事件8发生的概率是A8包含样本点数与A包含样本点数的比值,即P(BA)=n(AB)MA)追问：在古典概型下，该表达式还可以进行怎样的变形？.(AB)学生探索：又因为P(BlA)=巡竺=7瓯=四竺，所以在事件A发生的条1n(A)"(A)P(A)词件下，事件B发生的概率也可以通过P(MA)=今翳来计算.教师总结：虽然此表达式是在古典概型中得到的，但是它适用于一般的概率模型.所以以此作为条件概率的定义(教师板书).于是，给出一般的条件概率的定义：一般地，设4B为两个随机事件，且P(A)>0,我们称P(MA)=义学为事件A发生的条件下，事件3发生的条件P(A)概率，简称条件概率.设计意图：由具体实例抽象概括共同特征以形成数学概念，是数学抽象核心素养的重要表现形式，也是重要的数学思想方法，条件概率的定义不再局限于古典概型，对于一般的概率模型都成立，这也是数学概念的一般性的体现.4 .条件概率与独立性的关系，乘法公式问题4：在问题1和问题2中，都有P(5A)P(5).一般地,P(5A)与P(B)不一定相等.如果P(8A)与P(B)相等，那么事件A与B应满足什么条件？师生活动：教师引导学生根据P(BlA)=P(5)的直观意义，先猜结果，再根据条件概率的定义及事件独立性的定义推理得出结论，教师可引导学生自己根据定义推导条件概率和独立性的关系.直观上看，当事件A与事件8相互独立时，事件4发生与否不影响事件3发生的概率，这等价于P(BIA)=P(3).事实上，若事件A与8相互独立，即P(AB)=P(A)P(B),且P(A)>O,则P(8A)=今罂=&第詈=P(A).反之，若P(BIA)=P(8),且P(A)>0,即P(BIA)=生竺2=P(B),所以有尸(AB)=P(A)P(B),即事件A与8相互独立.P(A)以上过程安排两位学生上黑板推导.因此，当P(A)>O时，当且仅当A与8相互独立时，有P(3A)=P(3)追问L关于独立性的充要条件，你还有其它的表达式吗？学生探索：当P(B)>O时，当且仅当A与B相互独立时，有P(AlB)=P(A).即当P(A)>0,P(B)>0时，A与8相互独立等价于P(BlA)=P(B),也等价于P(AIB)=P(A).追问2：对于任意两个事件A与3,如果已知MA)与P(34),如何计算MAB)呢？师生活动：教师引导学生通过对条件概率公式进行变形，得到计算P(AB)的公式，即对于任意两个事件4与8,若P(A)>0,则MAe)=P(A)P(BA),称此式为概率的乘法公式.同理，若P(8)>0,则MAB)=M8)P(AlB).提醒学生此结论适用于任意两个事件,独立事件作为特例自然也是满足.设计意图：通过对问题的进一步深入探究，得到两事件A,B相互独立的充要条件，并推导出概率的乘法公式.有了条件概率的定义、条件概率与独立性的关系、概率乘法公式，就初步具备了解决较复杂概率问题的能力.5 .应用新知例1在5道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，求：(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率.(2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.师生活动：教师先作示范性分析，再由学生独立完成.在学生完成本例题的解答以后，教师给出完整的解题过程.追问L通过本例，你能谈谈积事件与条件概率的区别和联系吗？追问2：通过以上的例题的解答，请问条件概率一般有几种求法吗？追问3：条件概率只是缩小了样本空间，你认为条件概率有什么性质？师生活动：关于追问1,学生自主回答，感受积事件的“同时”与条件概率的“序”.关于追问2,教师根据学生回答，进行总结.求条件概率一般有两种方法：一种是基于样本空间C,先计算P(A)和P(AB),利用条件概率公式求P(BIA)；另一种是根据条件概率的直观意义，增加了“A发生”的条件后，样本空间缩小为A,求P(BIA)就是以A为样本空间计算AB的概率.关于追问3,教师给出概率性质，让学生类比得到条件概率性质，并将证明留给学生课下探索.条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)>0,贝IJP(A)=1如果B和C是两个互斥事件，则P(8JCIA)=P(3A)+P(CIA)设3和7互为对立事件，则P(BIA)=I-P(BA)设计意图：通过具体实例分清条件概率与积事件概率的联系与区别，归纳求条件概率的两种一般方法，总结条件概率的三个基本性质.课堂练习已知3张奖券中只有一张有奖，甲、乙、丙3名同学依次无放回地各抽一张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？师生活动：原本教材中例题作为课堂练习以例代练，由学生自主完成，教师引导学生关注“中奖的概率与抽奖的次序有关吗？”这个问题的本质是计算甲、乙、丙中奖的概率.如果概率相等，那么与抽奖次序无关；如果概率不相等，那么与抽奖次数有关.追问：如果是有放回随机抽样，中奖的概率与抽奖的次序有关吗？获奖的情况会有什么改变？师生活动：教师引导学生与放回随机抽样中奖的概率进行比较，得出结论:在抽奖问题中，无论是放回还是不放回，中奖的概率都与抽奖的次序无关.设计意图：通过一个简单的具体问题，把对问题的判断转化成概率的计算问题，根据概率计算的结果作出正确的判断.这个问题虽然可以利用古典概型概率公式求解，安排在本节的意图是让学生体会用乘法公式计算概率，具有解题思路清晰，运算量小等优点.例2银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率.（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.师生活动：教师先要求学生分析例2中的问题，尝试自主解决问题，并实时将解题过程中的困难，通过师生互动加以解决.教师在分析中，应重点提示学生,最后1位密码“不超过2次就按对“等价于”第1次按对，或者第1次按错但第2次按对可以先把复杂事件用简单事件的运算结果表示，再利用概率性质求解.设计意图：通过具体实例，让学生进一步感受计算复杂事件的概率的方法,将复杂事件分解为简单事件，再利用互斥事件概率的加法公式、乘法公式、条件概率等求出概率.6 .总结提升教师引导学生回顾本节课的学习过程，并让学生回答以下问题：（1）什么是条件概率？（2）对于随机事件A,B,请你说一说“事件A,B同时发生”与“在事件A发生的条件下，事件B发生”的区别，这两个事件的概率有什么关系？（3）求条件概率一般有几种方法？（4）条件概率有哪些性质？设计意图：通过以上4个问题，梳理本节课的核心内容和主要方法，使学生能在整体上把握条件概率的含义，能运用条件概率的知识进行概率计算.7 .布置作业课本48页练习及习题7.1第1,2,6,9题.(五)目标检测设计从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽取1张扑克牌，抽出的牌不再放回.(1)已知第一次抽到A牌，求第2次抽到A牌的概率；(2)求第一次抽到A牌且第2次抽到A牌的概率.设计意图：考查学生对条件概率概念的了解，以及对条件概率与积事件的区别与联系的了解.