《选择性必修三》随机变量及其分布 正态分布共1课时.docx

7.5正态分布(1课时)一、内容和内容解析1 .内容正态分布.2 .内容解析(1)内容的本质：正态分布是刻画连续型随机变量概率分布规律的数学工具,能刻画很多随机现象,是概率论与统计学的重要内容.由中心极限定理可知一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从正态分布.(2)蕴含的数学思想和方法：根据频率与概率的关系,从频率分布直方图过渡到分布密度曲线,用分布密度函数刻画正态分布的概率分布,完成正态分布模型的构建过程.体会从特殊到一般、由经验分布模型建立理论模型的思想方法.(3)知识的上下位关系：本节正态分布位于选择性必修三第七章随机变量及其分布的最后一节,在学习了离散型随机变量之后安排刻画连续型随机变量分布情况的正态分布,既是对前面内容的补充及拓展,对本章知识体系的一个完善,也是对必修二概率知识的后续延展.(4)育人价值：正态分布作为现实中存在最为广泛的随机变量分布,在沟通数学与现实关系上具有得天独厚的优势,通过对正态分布模型的抽象和推导过程,落实数学抽象、数学直观和数学建模的核心素养.(5)教学重点：正态分布的特征,概率的表示,正态分布的均值、方差及其含义.二、目标和目标解析L目标L通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量；了解正态分布的均值、方差及其含义.2.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征；了解30原则.2.目标解析达成上述目标的标志是：L掌握正态分布的概念、特征以及参数的意义，以及正态曲线的性质，知道参数对密度曲线的影响以及正态分布均值、方差及其含义,学会用用函数的观点理解正态分布.2.能根据对称性求正态分布的概率问题,从具体情景中识别正态分布,用模型解决实际中的问题.三、教学问题诊断分析在必修二的学习中，学生已经掌握了统计等知识，这为学生理解利用频率分布直方图来研究误差分布规律奠定了基础.但正态分布是高中学习的唯一的连续性随机变量,正态分布的密度函数表达式较为复杂抽象,抽象性强、性质比较多，学生理解比较困难.基于以上分析：本单元的难点为描述正态分布随机变量的概率分布.四、教学支持条件分析正态分布是概率论中最重要的连续性随机变量,但是正态分布的性质多，抽象性强,在教学中可引导学生体会正态分布的知识背景,通过不同实例让学生感受到正态分布存在的普遍性,采用信息技术软件作图，直观呈现正态密度曲线的形成过程,加深学生的印象.五、课时教学设计一、问题引入创设情境：PPT展示德国10马克纸币的图片，介绍高斯是近代数学奠基者之一，被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.以“高斯”命名的成果达110YA5O61293A9lxlHosl3NH3Z个,德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布的曲线,传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的是正态分布，引入课题正态分布.设计意图：通过德国10马克纸币的图片激发学生的学习兴趣，体会数学的趣味性；同时，介绍高斯的相关背景，丰富学生的数学史，体会数学学习的乐趣.问题1：自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g.由于各种不可控制的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差（实际质量减去标准质量）,用随机变量X表示这种误差，X是离散型随机变量吗？如果不是，请说明理由.师生活动：学生回答，自动流水线上的食盐，误差的可能取值不是有限个，也不能被一一列举,所以不符合离散型随机变量的定义.现实中有大量问题的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0,我们称这类随机变量为连续型随机变量.过渡:离散型随机变量可以用分布列描述分布情况，那么对于连续型随机变量呢？此时需构建新的概率模型来刻画误差的分布.追问：1、连续型随机变量和离散型随机变量有何区别？离散型随机变量的取值有限个或能一一列举,连续型随机变量在一定区间内,甚至整个实轴,数值是连续不断的.2、生活中还有哪些随机变量也是连续型随机变量？某人在站台等车的时间X是连续型随机变量；某种无线电元件的寿命；某一地区同龄人群的身高、体重、肺活量等都是连续型随机变量.二、新课教学（-）新旧衔接，引出正态分布概念问题2：检测人员在一次产品检验中，随机抽取了IOO袋食盐，获得误差X（单位：g）的观测值如下.-0.6-1.4-0.73.3-2.9-5.21.40.14.40.9-2.6-3.4-0.7-3.2-1.72.90.61.72.91.20.5-3.72.71.1-3.0-2.6-1.91.72.60.42.6-2.()-0.21.8-0.7-1.3-0.5-1.30.2-2.12.4-1.5-0.43.8-0.11.50.3-1.80.02.53.5-4.2-1.0-0.20.10.91.12.20.9-0.6-4.4-1.13.9-1.0-0.61.70.3-2.4-0.1-1.7-0.5-0.81.71.44.41.2-1.8-3.1-2.1-1.62.20.34.8-0.8-3.5-2.73.81.4-3.5-0.9-2.2-0.7-1.31.5-1.5-2.21.01.31.7-0.9追问1：如何研究这100个样本误差数据?师生活动：可研究样本误差数据的最值、均值、方差等；也可以绘制频率分布直方图直观分析数据.追问2：频率分布直方图的步骤如何？师生活动：引导学生回忆频率分布直方图的作图步骤（求极差、确定组数和组距、确定区间分点将数据分组、列出频率分布表、画出频率分布直方图），展示学生绘制的图象，教师利用geogMm作图（图1）.频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率,所有小矩形的面积之和为1.误差有正有负并大致对称地分布在X=O的两侧,而且小误差比大误差出现图1得更频繁.设计意图:频率分布直方图虽然是学生在必修二中学习过的内容，但相隔的时间比较久，大部分学生可能对这部分的知识产生遗忘，教师引导学生回忆，可以加强新旧联系，为后面正态曲线概念的获得做铺垫.（二）由离散到连续，获得正态曲线概念追问3：随着样本数样本数据量越来越大时（即让分组越来越多，组距越来越小），频率分布直方图的轮廓如何？师生活动：教师利用信息技术展示在样本数据量越来越大时，频率分布直方图的轮廓越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线.由频率分布直方图得到钟型曲线，钟型曲线下可以看成无数个小矩形,所以钟形曲线与水平轴的面积为1.追问4：根据频率与概率的关系，如何用钟形曲线描述袋装食盐质量误差的概率分布？师生活动：可用图中的钟形曲线来描述袋装食盐质量误差的概率分布，任意抽取一袋食盐，误差落在-2,内的概率，可用图2中阴影部分的面积表示.图2设计意图：从学生熟悉的频率分布直方图入手，层层递进，过渡到概率密度曲线（钟型曲线），引出正态密度函数，体会从有限到无限的思想，让学生了解可用钟型曲线刻画概率分布，为下面引出正态分布的概念做铺垫.问题3：上图的钟形曲线是函数图象吗？如果是，这个函数是否存在解析式呢？师生活动：由学生回忆函数的概念，设A,8为两个为非空数集，如果按照某种确定的对应关系力使对于集合4中的任意一个数M在集合8中都有唯一确定的数/（x）与之对应，那么就称A-B为集合A到集合3的一个函数.记作y于Cr),xA.因为钟形曲线满足这种对应关系，所以可以看做函数.正态函数的解析式比较复杂，棣莫弗在求二项分布的渐进公式时，找到了钟型曲线的解析式，但只是作为一个数学表达式，高斯提出“正态分布”的理论之后，正态密度曲线才取得“概率分布”的身份.b>0为参数1/(x)=eXGR，其中eR,yJ2对任意的"CR/(x)>。，它的图象在X轴的上方，我们称/(6为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.若随机变量X的概率分布密度函数为/(x),则称随机变量X服从正态分布normaldistribution),记为XN(,1).特别地,当=0，=l时,称随机变量X服从标准正态分布.教师补充：可以适当补充正态分布解析式的探究史，棣莫弗曾称正态密度曲线为神之曲线，正态密度函数虽然复杂，但也十分优美，解析式中包含了圆周率兀及自然对数底数0这两大常数、最小质数的算术平方根血、还有5两个参数，增强学生的学习兴趣.(三)正态分布的性质探究通过上述学习，若XNW,),则如图3所示，X取值不超过/的概率P(XWX)为区域A的面积，而P(Xb)为区域8的面积.结合之前对函数的研究，在学习了函数的概念、解析式、图象之后，我们需要继续研究函数的性质.图3追问1:可以从哪些方面研究正态密度函数的性质？师生活动：回忆必修1中函数性质(定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、)的推导，可以结合图象观察和解析式推导.追问2：从形的角度研究正态分布，观察正态曲线，你能发现正态曲线的哪些特点？师生活动：通过观察正态密度函数，可以直观观察到正态分布的性质(1)对任意的XWR,图象在X轴上方；(2)曲线是单峰的，它关于直线对称;(3)曲线在处达到峰值；(4)当|川无限增大时，曲线无限接近X轴.追问3：从数的角度研究正态分布，观察正态密度函数，验证正态曲线的特点？小组讨论，并请小组代表发言:(A"1、x>0时e2>0所以/)>0恒成立.2、因为有/(+幻=/(-幻成立，所以曲线关于X=对称3、<"时了(M)>0，x> 4时/' () V。，所以 x= 取到最大值 f()-22a-")?4、当仅|趋向于+co时，一等_趋向于-co,则e2趋向于0,/趋向于0,所以曲线无限接近X轴.设计意图：“数”与“形”反映了事物两个方面的属性，从“形”上观察图象得出性质，从“数”上证明性质，“以形助数”和“以数解形”相结合，可以使复杂简单问题简单化，体会数形结合的便捷.(四)参数和。对正态分布曲线的影响问题4：一个正态分布由参数和。完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响？反映正态分布的哪些特征？师生活动：教师引导学生从函数的角度思考问题.先利用GGB直观展现结果(图4和图5),再给出严谨推导.图4当参数b取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿X轴平移.如图4所示.当取固定值时，因为正态曲线的峰值41与。成反比，而且对任意的>0,正态曲线与X轴之间的区域的面积总为1.因此，当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图5所示.观察图4和图5可以发现，参数"反映正态分布的集中位置，。反映了随机变量分布相对于均值M的离散程度.实际上，我们有若XN（4，/）,则MX）=/,O（X）=/.设计意图：通过观察正态密度曲线的特征，了解密度函数中参数的变化对曲线的影响，以及服从正态分布的变量的均值和方差,先从图象观察变化,再从解析式验证,进一步体现数学结合的思想.追问L试举例，生活中还有哪些随机变量服从或近似服从正态分布？师生活动：正态分布在概率和统计中占有重要地位,广泛存在于自然界、生产及生活实践中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.在生产中,在正常生产条件下各种产品的质量指标；在生物学中，同一群体的某一特征（身高、体重等）；在气象中,某地每年七月的平均气温、平均湿度、降雨量等正因为正态分布在现实生活中的广泛存在,正态分布是宇宙的天条法规也是万物的运行规律.过渡：在食盐产商抽取食盐,若连续两次的误差超过IOOg,就可以认为这批食盐不符合规定,其中蕴含的正是正态分布的背景.假设可以证明:对给定的ZGN*,P(-kWX+k)是一个只与k有关的定值.P(z-X+)0.6827,P(-2X+2)0.9545,尸(一3。X+3。)0.9973.在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间|-36+36内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取-3b,"+3b中的值，这在统计学中称为充原则.设计意图：质量检测中，如若没有外力干预，在检测的产品为极端产品(误差过大，出现小概率事件)时，此批产品则认为不合格，其中蕴含的数学道理即为正态分布的3。原则.三、例题精讲例1给出下列两个正态分布的函数表达式，请找出其和。XSR1(X-1)2小EL解：正态密度函数为/(X)=最号L,xR则第一小题中=0,。=1；第二小题中=1,=2练习1;设两个正态分布N(M,f)(>0)和NW，。；)。?>。)的密度函数图象如图7所示，则有(A)A、B、x<2,cr1>2C>1>2,cr1<2D、>z2,cr1>2设计意图：这两题为基础题，旨在让学生掌握正态分布函数的形式，此题要求所有学生掌握.例2李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得至J：坐公交车平均用时30阳,样本方差为36；骑自行车平均用时34根讥，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.(1)估计X,丫的分布中的参数；(2)根据(D中的估计结果，利用信息技术工具画出X和丫的分布密度曲线；(3)如果某天有38用加可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天只有34小加可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由.师生活动：教师通过问题串引导学生思考问题.(1)如何确定变量X和Y的具体分布？正态分布由两个参数完全确定，在实际问题中，可以分别用样本均值和样本方差估计参数.(2)已知正态分布的两个参数值,如何画密度曲线的草图？(3)在选择交通工具的决策中,应依据什么准则？在这个问题中，决策准则是选择能按时到校概率大的交通工具.(4)在有38机加可用时，要比较哪两个事件的概率?这两个概率如何表示？在有38机加可用时，比较P(X<38)和P(Yv38)的大小，这两个概率分别可用两条曲线下方及直线x=38左方的面积表示.例3假设我校高二男生的身高X服从正态分布XM170,52),随机选择一名我校高二年级的男生，求下列事件的概率.(1)165<X175(2)X165(3)X>175解：根据参数、。的含义，画出XM17O,52)的图象(图8)利用“对称法”以及30原则求正态分布下随机变量在某个区间的概率(1) P(165<X175)=尸(1705<X170+5)0.6827/、/、1-P(165<X<175)(2) P(X165)=0.1587(3) P(X>175)=P(X165)0.15875 .总结提升知识层面：正态密度曲线、正态密度函数的概念、正态曲线的特点、3。原则.方法层面：由特殊到一般，数形结合的思想.6 .布置作业知识：教科书第87页，练习1,2,3题.拓展：了解正态分布的前世今生.六、目标检测设计袋装食盐标准质量为400g,规定误差的绝对值不超过4g就认为合格.假设误差服从正态分布，随机抽取IOO袋食盐，误差的样本均值为0,样本方差为4,则这批袋装食盐的合格率是多少？设计意图：考查学生对于正态分布的概念的理解及其应用.