《选择性必修三》随机变量及其分布 离散型随机变量及其分布列第3课时.docx

第3课时7.3.2离散型随机变量的方差(-)教学内容离散型随机变量的方差与标准差的概念，离散型随机变量方差的性质及应用.(二)教学目标1 .通过具体实例，理解取有限值的离散型随机变量的方差的概念，体会引入方差的必要性，发展学生的数学抽象素养.2 .通过具体实例，掌握离散型随机变量的方差的运算方法，体会方差简化公式与性质在方差运算上的便捷性，发展学生的逻辑推理和数学运算素养.3 .通过具体实例，理解方差的意义，体会在不同问题背景下方差与标准差所反映的含义，发展学生的数学建模素养.(H)教学重点和难点重点：离散型随机变量方差的概念、性质及应用.难点：离散型随机变量方差意义的理解.(四)教学过程设计L情境导入从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和y的分布列如下表1和表2所示：表1表2X678910Y678910P0.090.240.320.280.07P0.070.220.380.300.03如何评价这两名同学的射击水平？问题L结合前一节所学知识，你会从什么角度来评价这两名同学的射击水平？离散型随机变量的均值，反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”，均值越大，说明相应同学击中目标靶的环数就越大.通过上一环节的学习，我们知道离散型随机变量均值的计算公式为E(X)=XI”1+X2P2+.P=lA-Z-I结合情境数据，计算可得，E(X)=6×0.09+7×0.24+8×0.32+9×0.28+10×0.07=8,E(K)=6×0.07+7×0.22+8×0.38+9×0.30+1O×O.O3=8.因为E(X)=E(丫)，两个均值相等，所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平.追问L除了击中环数的均值外，我们还可以从哪些角度来评价这两名同学的射击水平？稳定性，即选手射击击中目标靶环数的离散程度.师生活动：通过问题形式引导学生当均值不能比较这两位同学的射击水平时还可以考虑从成绩的稳定性角度去评价.设计意图：通过学生熟悉的生活实例引入新课，提高学生的数学学习兴趣,让学生体会引入方差的必要性.2 .新知探究根据两位同学击中环数x,y的分布列，作出x,y的概率分布图，结合图来尝试直观判断两位同学的射击稳定性.x,y的概率分布图如下：:LLljJLIiL6789IOX678910y追问2：比较以上两个图形，你认为哪位同学的射击成绩更稳定？由图可知，乙同学的射击水平相对于甲同学更稳定.设计意图：通过概率分布图让学生直观感受哪位同学的射击成绩更稳定，发展学生的直观想象素养.问题2：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度？追问1：在统计中，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，你知道样本方差是如何度量一组样本数据的离散程度的吗？样本方差是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的.比如：一组样本数据公.，设其均值为7,则其方差即为(x1x)2,(x7-x)2,(xzr-V)2的平均值，即S?=i(1X)2+(x2X)2HF(xX)2.n追问2：类比样本方差度量样本数据离散程度的方法，你能否给出度量离散型随机变量离散程度的表达式？U1-E(X)2p1+(x2-E(X)2p2+(xn-E(X)2pn追问3：你能解释上述表达式是如何反映离散型随机变量的离散程度的吗？上述式子值越大，说明随机变量取值相对于均值的偏离程度就越大;值越小,说明随机变量取值相对于均值的偏离程度就越小.师生活动：教师引导学生先从概率分布图直观的评价两名同学射击成绩的稳定性，然后类比样本方差刻画样本数据稳定性的方法，从而引出离散型随机变量稳定性的刻画方法一离散型随机变量的方差设计意图：类比样本方差的定义，引入离散型随机变量的方差，发展学生的数学抽象素养.3 .抽象概念定义:一般地，称D(X)=(XI-E(X)2p+(x2-E(X)2p2+(x一E(X)2p“=W(XLE(X)2pj为随机变量X的方差，有时也记为Va«X),并称5可为随机/=1变量X的标准差，记为(X).说明：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量的取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度，方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.4 .概念深化问题3：根据以上离散型随机变量方差的定义，你能评价一下上述情境中两名同学谁的射击成绩更稳定？根据数据E(X)=8,E(Y)=8.则IOD(X)=(z-8)2P(X=0=1.16,QD(X)1.077;r=6IOD(Y)=(i-3)2P(Y=i)=0.92,JD(Y)0.959;r=6因为。(丫)<0(X)(等价于疯狗V5丽)，所以随机变量y的取值相对更集中,即乙同学的射击成绩相对更稳定.师生活动：教师引导学生根据离散型随机变量方差(标准差)的定义计算出上述问题中两名同学射击成绩的方差(标准差).设计意图：进一步让学生理解方差(标准差)是如何从定量的刻画随机变量的稳定性.问题4：观察随机变量方差的表达式，尝试一下能否进行简化？O(X)=Z(K-E(X)2P,=_2E(X)再+(E(X)F)Pj/=I1=1八一=Z%2P,2E(X)Z"j+(E(X)>Zp,=ZYPL(E(X)2=iililI=I在以上的式子中，fxjpj即为2的均值，(E(X)2为X均值的平方，所以，Z=I该式表明“随机变量X的方差就等于2的均值减去X均值的平方”.在方差的计算中，利用该结论经常可以使计算简化.师生活动：让学生类比样本方差的简化公式，引导学生和教师共同对离散型随机变量的方差进行化简.设计意图：类比样本方差的化简公式，引导学生尝试对离散型随机变量方差公式的化简，发展学生的逻辑推理素养.5 .性质探究问题5：前面一节的学习中，我们知道E(X+b)=E(X)+"那么对于方差是否具有类似的性质呢？这个问题我们分三个层次来探究.(D离散型随机变量X加上一个常数b,仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，故方差保持不变，即D(X+A)="X);(2)离散型随机变量X乘以一个常数,则D(aX)X(axi)2pi-(E(aX)2=a2xjpi-(aE(X)2a2xjpi-2(E(X)2Z=IlZ=I=(f-(E(X)2)=D(X)即。(X)=(),a的方差是原X方差的/倍。/=I(3)类似于上面的，可以证明D(X+A)=z)(),即与离散型随机变量X存在线性依赖关系的变量力的方差，就等于原X方差的/倍.师生活动：通过对问题分层，引导学生首先从直观角度感受随机变量X加上常数b后不改变随机变量取值的稳定性，因此方差没有发生变化.随机变量X乘以常数后稳定性发生了改变，然后教师引导学生，师生共同推导出D(X+h)=/O(X).最后让学生类比上述的推导过程得到方差的线性性质.设计意图：将一个复杂的问题分成三个简单问题来处理，让学生体会化繁为简的数学方法，发展学生的直观想象和逻辑推理素养.6 .典例分析例1抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差.思考：本题还有其它解法吗？师生活动：教师引导学生求出掷出的点数X的方差，然后引导学生思考本题还有没有其它的解法，并让学生体会哪种方法更简便.设计意图：通过典例解析，提升对概念的理解，让学生掌握方差的算法，通过比较，让学生体会两种方法在计算方差时的各自优缺点.例2：投资Ai两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示：表1表2收敝/元-102概率?0.10.30.6收益y/元012概率尸0.30.40.3(1)投资哪种股票的期望收益大？(2)投资哪种股票的风险较高？师生活动：教师引导学生去理解“股票的期望收益”和“股票的风险”含义，引导学生建立相应的数学模型.设计意图：通过典例解析，在具体的问题情境中，深化概念的理解，理解不同问题背景下方差的意义.7 .总结提升请同学们回顾本节课的学习内容和学习过程，并回答下列问题：(1)离散型随机变量的方差的定义？为什么要学习方差？(2)有哪些方法可以帮助我们简化方差的计算？(3)你能说说方差在实际生活中都有哪些应用？师生活动：学生回顾本节课的学习过程，教师引导学生回答上述三个问题.设计意图：通过提问的方式让学生自我总结，进一步巩固本节课所学知识,同时通过学生的自我总结，培养学生的归纳总结习惯.8 .作业布置必做题：1.课本第70页练习第3题；2.课本第71页习题7.3第1,5,7题.选做题：课本第71页习题7.3第8题.(五)目标检测设计今年3月份以来，随着疫情在深圳、上海等地爆发，国内消费受到影响，为了促进消费回暖，全国超过19个省份都派发了消费券，合计金额高达50亿元通过发放消费券的形式，可以有效补贴中低收入阶层，带动消费，从而增加企业生产产能，最终拉动经济增长，除此之外，消费券还能在假期留住本市居民，减少节日期间在各个城市之间的往来，客观上能够达到降低传播新冠疫情的效果，佛山市某单位响应政策号召，组织本单位员工参加抽奖得消费优惠券活动，抽奖规则是：从装有质地均匀、大小相同的2个黄球、3个红球的箱子中随机摸出2个球，若恰有1个红球可获得20元优惠券，2个都是红球可获得50元优惠券，其它情况无优惠券，则在一次抽奖中：(1)求摸出2个红球的概率；(2)设获得优惠券金额为X,求X的方差.设计意图：考查学生对离散型随机变量方差概念的理解以及方差计算求解的一般步骤.