《选择性必修三》随机变量及其分布 条件概率与全概率公式第3课时.docx

第3课时7.1.3贝叶斯公式与人工智能(-)教学内容贝叶斯公式在医学、游戏中的应用(-)教学目标1 .通过贝叶斯公式在医学、游戏中的案例研究，掌握贝叶斯公式的简单应用，发展学生数学运算的核心素养；2 .通过案例的学习，能体会贝叶斯公式蕴含的数学思想，发展学生数学建模的核心素养.(三)教学重点和难点重点：贝叶斯公式的应用难点：贝叶斯公式应用中的数学方法.(四)教学过程设计一、情境引入导入视频，教师引言：近年来，人工智能(Artifici出nte山gence,缩写为AI)越来越热门，自4paGo在人机围棋大战，深蓝在人机国际象棋大赛中获胜.人工智能于是成为全世界关注的焦点.本节课我们一起学习一个与人工智能有关的数学公式：贝叶斯公式.引导语：1我们一起看下贝叶斯的人物生平.2.贝叶斯本人介绍：贝叶斯(约1701-1761)Thomas8Qyes,英国数学家、神学家，贝叶斯在数学方面主要研究概率论，他对统计推理的主要贡献就是提出了“逆概率”这个概念，并把它作为一个普通的推理方法.他首先将归纳推理法用于概率论基础理论，并创立了贝叶斯统计理论.代表著作有机会问题的解法等.设计意图：视频引入，激发学生的学习兴趣，贝叶斯人物介绍，帮助学生了解贝叶斯公式的由来.引导语:我们不仅要学会利用贝叶斯公式求解,还要掌握其蕴含的实际意义,理解概率思想.下面看一道与贝叶斯公式相关的例题.二、新课引入例1核酸检测是新冠肺炎诊断的主要手段，临床中有新冠病毒感染者核酸检测结果为阴性或阳性却没有任何相关的症状表现.现假设：事件A为“某人为新冠病毒感染者”，事件5为“核酸检测结果呈阳性”.99%的新冠病毒感染者核酸检测结果呈阳性(这一数据是通过新闻以及相关数据通告估计)，1%的未感染者核酸检测结果呈阳性.若某市新冠病毒感染者人数约30000人,以该市常住人口1000万来粗略计算.若某人核酸检测结果呈阳性，求其为新冠病毒感染者的概率是多少？解析：由题意可知：P(A)=0.3%,P()=99.7%则新冠病毒感染者中核酸检测结果呈阳性的条件概率为P(BlA)=99%,未感染者中核酸结果呈阳性的条件概率为a)=i%.用贝叶斯公式推测：某人核酸检测结果呈阳性时，其被确诊为新冠病毒感染者的概率为：P(AIm_N'''一MA)尸网、一2295%(IkP(B)-NA)P(B|1)；P网例不一教师总结：教师指出，新冠病毒感染者包括确诊患者和无症状感染者，同时以图示的方式展示贝叶斯公式的计算思路，并强调贝叶斯公式的本质是“执果索因”.通过计算发现，这个结果与我们直觉认为99%的确诊率相悖，原因是P(A)值计算为所有人群.教师指出，P(8A)是检验的准确率，若想提高检验结果的准确率，医学上通常采用复查的方式.引导语：临床上通常采用复查的方式判断是否确诊.这是为什么呢？追问：若采用复查的方式，此时P(A)=22.95%,则P(A8)变为多少？P(AIB)=96.72%教师总结:P(A)P(BIA)p(a)p(ba)+p(a)p(bA)P(A)=0.15%P(A)=22.95%P(A)=96.72%通过分析可知，在已知结果呈阳性以后，复查得到阳性确诊的概率会大大增加.因此，医学中经常复查是很有必要的.设计意图：在当前新冠疫情的背景下，通过例题计算，不仅加深了学生对贝叶斯公式的理解，也让学生体会到疫情的严峻以及医学中复查的重要性.三、新课探究引导语：贝叶斯公式在医学中的应用是较多，在游戏中也有应用，下面我们一起做一个有趣的游戏.例2在一个抽奖游戏中，主持人将奖品随机放入三个外观相同的空箱子中.假设你是抽奖人，从中随机选一个箱子,规定在打开你选择的箱子之前，主持人先打开另外两个箱子中的一个空箱子，若另外两个都是空箱子，则主持人随机选择一个打开：问题：当主持人打开另外两个箱子中的一个空箱子时,你会坚持自己的选择,还是改选另外一个箱子？师生活动：由于随机性，无法保证一定能够成功选中有奖品的箱子.因此，要不要改变选择是个风险决策问题，应以得到奖品的概率最大为准则.师生交流得出以下三个观点：（1）三个箱子中有奖品的概率都是g,不必改选；（2）主持人打开的是空箱子,那么奖品另外两个箱子中的概率都是L不必2改选；（3）选择的箱子有奖品的概率是:，主持人打开空箱后，另外一个箱子有奖品的概率是士，需要改选.3师生活动：教师将学生分成10组，每组准备三个箱子，让每组学生自主组织抽奖并记录更换后获奖次数和试验次数，配合教师完成教学活动.教师总结：选择1号箱，其中有奖品的概率为J,无奖品的概率为2,主持33人打开了无奖品的3号箱，若决策是不换号，则你在1号箱里有奖品的情况下得奖，成功的概率为g;若决策是换号，则你在1号箱里无奖品的情况下得奖，成功的概率为士.所以改选2号是正确的决策.3追问1：观点（1）和观点（2）错在哪里？师生总结：观点（1）和观点（2）均忽略了概率中的条件；观点（1）忽略了“主持人打开3号箱子”这一条件，观点（2）忽略了“主持人只打开你的选择之外的空箱子”这一条件.设计意图：综合学生掌握的情况，从古典概型的角度思考，提高学生直观想象和数学建模的核心素养.追问2：能否用全概率公式和贝叶斯公式，从条件概率的角度分析？引导语：为了便于理解计算，不妨给三个箱子编号，并假设你选择的是1号箱，当主持人打开的是3号箱时，现在给你一个重新选择的机会，你会坚持选1号箱，还是改选2号箱？师生总结：用A，A2,分别表示1，2,3号箱子里有奖品，用用，B2,分别表示主持人打开1,2,3号箱子.如上所述，学生初次选择了1号箱.因为在做选择时不知道奖品在哪个箱子里，学生的选择不影响奖品在三个箱子中的概率分配，所以事件A，A2,A?的概率仍为g,此为先验概率.主持人打开1号箱之外的一个空箱子，有以下几种可能情况：奖品在1号箱里，主持人可打开2,3号箱，故尸（用14）=3；奖品在2号箱里，主持人只能打开3号箱，故尸（伐14）=1;奖品在3号箱里，主持人只能打开2号箱，故M44）=0利用全概率公式，主持人打开3号箱的概率为：31P（B3）=Xp（A）P（B3IA）=-i=L再根据贝叶斯公式，在3号箱打开的条件下，1号箱和2号箱里有奖品的条件概率分别为尸厚)=岂嚅4,/(&翳这两个条件概率是后验概率，它们修正了前面的先验概率，通过比较后验概率不难发现，改选2号箱是正确的决策.引导语：由于主持人每打开一个箱子，相当于提供了新的信息，后验概率也随之发生了变化.我们再进一步研究这个例子.追问3：当3个箱子变为4个箱子时，若主持人打开的是4号箱子，其他条件不变，你会改换2号箱子吗？概率变化是怎样的？分析：利用全概率公式和贝叶斯公式，可以从条件概率的角度进行分析：用凡，A2,A3,Al分别表示1，2,3,4号箱子里有奖品；用用，B2,员，乩分别表示主持人打开1，2,3,4号箱子.由题意可得：P(A)=M4)=p(4)=p(4)=;若奖品在1号箱里，主持人可打开2,3,4号箱，故P(&l4)=g；若奖品在2号箱里，主持人只能打开3,4号箱，故P(a4)=g;若奖品在3号箱里，主持人只能打开2,4号箱，故P(a4)=g;若奖品在4号箱里，主持人只能打开2,3号箱，故P(BJA1)=O-利用全概率公式，主持人打开4号箱的概率为：P(B4)=XP(A)P(B4IA)=I»=1J在4号箱打开的条件下，1号箱、2号箱和3号箱里有奖品的概率分别为P(A闾J(4嗯V'47P(BJ4P(4)=尸(&)。(FA2)JP(B4)8Mg)J(A嗯一V347P(BJ8师生活动：利用贝叶斯公式发现，对于四个甚至多个箱子的抽奖游戏，在第一次选择后，当主持人打开此外的一个空箱子，并给你重新选择的机会时，你同样可以通过改变选择提高成功的概率，而且，在你第2次选择后，仍然可以通过改变自己的选择，以获得更大的成功概率，这个策略也适用于多次选择的情况.事实上，在上述多次选择的游戏中，主持人每打开一个空箱子都提供了新的有用信息，抽奖人需要不断根据这些信息，利用贝叶斯公式计算出(新的)后验概率,并据此修正自己的选择以提高成功的概率.这种不断改进和校正决策的过程非常近似于人类的学习和思维模式，也是贝叶斯方法许多应用的关键，正是由于这个特点，贝叶斯方法在人工智能领域发挥了非常重要的作用，已经成为学习型人工智能的理论基础.教师总结：贝叶斯方法在数据处理方面有其独特的优势，它可以通过不完全数据，利用已有的先验信息进行模糊判断，然后不断地学习和调整做出更合理的判断，最终得出最优解，这就使得贝叶斯计算不用建立在完整的数据基础上，只需要已有的部分数据，利用计算机强大的数据计算和数据存储能力，让计算机不断的计算验证和学习并积累收集有效数据，达到人工智能的效果，可以说，贝叶斯公式是学习型人工智能的基础.设计意图：贝叶斯方法在当今最先进的科技领域中扮演着重要角色，人工智能系统AlphaGo系列就是学习型人工智能成功应用的例子.借助本案例让学生理解贝叶斯公式的基本原理及其应用，激发学生学习兴趣和探索乐趣.四、总结提升(1)知识：贝叶斯公式：设4,A24“是一组两两互斥的事件，A1UA2U-U,r=,且P(AJ>0J=1,2,f，则对任意的事件BGC,有P(4J(A)疗二Ma)P4)j=L2,3,P斗(4,4)Jt=I(2)应用：贝叶斯公式在医学、游戏中的应用.五、课后作业同学们上网查阅资料，了解人工智能的最新研究领域及发展历程.六、目标检测设计某商业银行对创业人群提供小额贷款，某人承诺两年内还清贷款，否则视为不守承诺.假设银行对该人的信任度为0.7,可信的人不遵守承诺的概率为0.1,不可信的人不遵守承诺的概率为0.8.若此人两年内未还清贷款.问题1:求银行对此人的信任度变为多少？问题2：假设此人之后再次提出贷款申请，承诺两年内还清贷款，银行批准.若此人两年内又未还清贷款，求银行对此人的信任程度变为多少？问题3：如果此人之后再次提出贷款申请，承诺两年内还清贷款，银行批准.若此人两年内还清贷款，求银行对此人的信任程度变为多少？设计意图：从生活实际出发，帮助学生加深贝叶斯公式的理解，并利用贝叶斯公式解决实际问题，让学生意识到“一诺千金”的重要性，发展学生数学运算、数学建模核心素养.