《选择性必修三》随机变量及其分布 离散型随机变量及其分布列第4课时.docx

第4课时7.4.1二项分布（-）教学内容重伯努利试验、二项分布及其数字特征.（二）教学目标结合具体实例，了解重伯努利试验的概念，了解二项分布的概念；能判断随机变量是否服从二项分布，会计算二项分布的数字特征.（三）教学重点和难点重点："重伯努利试验、二项分布及其数字特征.难点：在实际问题中抽象出模型的特征，识别二项分布.（四）教学过程设计引导语俗话说“三个臭皮匠顶个诸葛亮”，现在刘备帐下除了诸葛亮之外还有三名谋士.假设对某事进行决策时，这三名谋士的提供正确意见的概率均为0.8,诸葛亮提供正确意见的概率是0.9.现刘备为某事是否可行征求他们意见.以下有两种方案：（1）征求每名谋士的意见，并按多数人的意见做出决策.（2）采纳诸葛亮的意见.同学们，如果你是刘备，你应该选择哪种方案呢？学完本节课，你就能做决定了.设计意图：通过具体的问题情境，引发学生思考，积极参与互动，说出自己的见解，从而引入本节课内容.L重伯努利试验在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果.例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等.我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.我们将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验.问题L你能根据重伯努利试验的定义，归结总结它的特征吗？师生活动：教师提出问题，学生思考、讨论、交流，得出重伯努利试验具有以下共同特征（1）同一个伯努利试验重复做次；（2）各次试验结果相互独立.设计意图：在具体实例的基础上理解伯努利试验和重伯努利试验的概念,并探究重伯努利试验的特征，提升数学抽象的核心素养.问题2：下面3个随机试验是否为重伯努利试验？如果是，那么其中的伯努利试验是什么？对于每个试验，定义“成功”的事件为A,那么A的概率是多大？重复试验的次数是多少？关注的随机变量X是什么？（1）抛掷一枚质地均匀的硬币10次.（2）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8,连续射击3次.（3） 一批产品的次品率为5%,有放回地随机抽取20件.师生活动：在学生充分思考、讨论的基础上，找几名学生回答.根据学生的回答情况，教师进行评价指导，最后将结果以表1的形式展示给学生：表1随机试验是否为重伯努利试验伯努利试验事件AP(A)重复试验的次数关注的随机变量X(1)是抛掷一枚质地均匀的硬币正面朝上0.510正面朝上次数(2)是某飞碟运动员进行射击中靶0.83中靶次数(3)是从一批产品中随机抽取一件抽到正品0.9520正品次数问题3：通过上述实例，你能说说伯努利试验和重伯努利试验有什么不同吗？师生活动:在学生思考的同时.，教师可以适当的引导，让学生在充分理解这两个概念的基础上进行辨析.伯努利试验是一个“只有两个结果的试验”.在实验中，只关注某个事件发生或不发生；重伯努利试验是对一个“只有两个结果的试验”重复进行次，试验中关注点是某个事件“发生”的次数X.进一步地，因为X是一个离散型的随机变量，所以我们关心的是它的概率分布列.设计意图：通过具体的实例加深对伯努利试验和重伯努利试验概念的理解,通过辨析进一步理解这两个概念，提升学生逻辑推理和数学抽象的数学素养.2 .二项分布问题4：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的分布列是怎样的？师生活动：教师提出问题，学生思考、交流，教师进行指导，共同体验二项分布模型的构建过程.用A,表示“第i次射击中靶"(i=l,2,3),用如下图1的树状图表示试验的可能结果.试g结果X的取他O旦一一-QA：t一A1A2A3-一39A3一AiA2A1-一2Oyl3-AiAzA3一-2/().2o.s×/0.2PA3AiAjA3-1-OA3-A1A2A3-2O.2×-QA3().2入1入243Aq-AiA2A3一-1O?2r>A3.'AiA2A3一O图1由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有23=8种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个互相独立事件的积.由概率的加法公式和乘法公式得:MX=O)=P(*©=0.23,P(X=I)=P(Aa冗)+P(NA2A)+p(aA)=3×08×22，Rx=2)=P(AA24)+P(AAa)+屯44)=3X0.82X02P(X=3)=P(AA"OU.为了简化表示，每次射击用1表示中靶，用。表示脱靶，那么3次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为011,110,101,这三个结果发生的概率都相等，均为0.82x0.2,并且与哪两次中靶无关.因此，3次射击恰好2次中靶的概率为C=xO.82O.2.同理可求中靶O次、1次、3次的概率.于是，中靶次数X的分布列为p(=k)=c;X00X0.23d,%=o,1,2,3.问题5：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的分布列.师生活动：学生类比上面的分析，独立给出解答.用4表示“第i次射击中靶”(厂1,2,3,4),则表示中靶次数X等于2的结果有：AiA2A3A4,1A2A3A1,AiA2A3A4,AxA1AyA4,1A23A4,AA244,共6种.中靶中靶次数X的分布列为P(X=火)=CfXoaXO.2j,k=091,2,3,4.结合上面实例，师生共同归纳得出二项分布的概念：一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为(O<p<l),用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=Z)=CjPA(I-广3k=,2,.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布,记作XM",p)设计意图：通过对具体问题的分析，让学生掌握二项分布的概念及其特点,发展学生的数学抽象核心素养.追问1：二项分布与两点分布有何关系？师生活动：学生独立思考，回答该问.两点分布是一种特殊的二项分布，是二项分布=1的情况.追问2：二项分布和二项式定理有何联系？师生活动：学生思考、讨论、交流，教师指导.可以将P看成看看成*则Cy(I-P尸就是(1一0)+p的通项公式则有p(=k)=Cy(I-沪=(-p)+PT=L设计意图：通过比较，加深对二项分布概念的理解.3 .例题分析例1将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：(I)恰好出现5次正面朝上的概率；(2)正面朝上出现的频率在040.6内的概率.师生活动：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等，这是一个10重伯努利试验.因此，正面朝上的次数服从二项分布.本题宜先让学生思考、讨论和探究，可以先找几名学生回答，教师进行指导，师生共同给出完整解题过程.解：设4二“正面朝上”，则P(A)=O.5.用X表示事件A发生的次数，则XB(Io,0.5).恰好出现5次正面朝上的概率等价于X=5,则P(X=5)=C；oX0.55×0.55=;IOOO256正面朝上出现的频率在0.406内等价于4X<6,则P(4X6)=Gl)×05°+。×0.5'°+/×0,5'°=-=-.设计意图：通过典例解析，在具体的问题情境中，深化学生对二项分布的理解.发展学生数学建模和数学运算核心素养.图2例2如图2是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0,1,2,10,用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.师生活动：教师引导学生分析，小球落入哪个格子取决于在下落的过程中与各小木钉碰撞的结果.设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向，有“向左下落”和“向右下落”两种可能结果，且概率都是0.5.在下落的过程中，小球共碰撞小木钉10次，且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响，因此这是一个10重伯努利试验.小球最后落入格子的号码等于向右下的次数，因此X服从二项分布.教师找几名同学展示自己的解题结果后，师生一起给出完整解题过程.解：设A="向右下落”，则N二“向左下落”，且MA)=PR)=()5.因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以X8(10,0.5).于是，X的分布列为P(X=)=C1×0.5,°,k=0,1,2,，10.X的概率分布图如图3图3设计意图:通过教师引导分析,帮助学生逐步掌握抽象模型特征的一般步骤.钉板试验可以使学生认识到随机现象的特点，偶然中蕴含着必然的规律，提升学生数学建模核心素养.例3甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲有利？师生活动：教师引导学生分析：判断哪个赛制对甲有利，就是看在哪个赛制中甲最终获胜的概率大.可以把“甲最终获胜”这个事件，按可能的比分的情况表示若干事件的和，再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率；也可以假定赛完所有局，把局比赛看成重伯努利试验，利用二项分布求“甲最终获胜”的概率.学生思考、交流、讨论，教师找两名学生分别用不同的方法来板书过程.最后师生共同给出完整解题过程.解法1：采用3局2胜制，甲最终获胜有可能的比分2:0或2:1,前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为p1=0.62+C×0.62X0.4=0.648.类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3:0,3:1和3:2.因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为p2=0.63+C；X0.63×0.4+Cj×0.63X0.42=0.68256.解法2：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X8(306).甲最终获胜的概率为Pl=P(X=2)+P(X=3)=C；X0.62X0.4+C；X0.63=0.648.采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则X8(5,0.6).甲最终获胜的概率为“2=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=Cs×06×0.42+C；X0.64×0.4+C；X0.65=0.68256.因为P2>P,所以5局3胜制对甲更有利.实际上，比赛局数越多，对于实力较强者越有利.教师提出思考1：为什么假定赛满3局或5局，不影响甲最终获胜的概率？实际上，当甲或者乙先胜2局时，第3局就不用比赛了.如果设想进行比赛,第一局第二局第三局最终获胜者解法2概率解法1概率甲赢甲卿，甲赢甲0.630.62乙赢甲0.62×0.4乙赢乙赢乙甲赢甲0.62x0.4Ci×0.62×0.4乙赢甲赢甲赢甲0.62×0.4乙赢乙乙肺，甲赢乙乙赢乙由于0.63+0.6X0.4=0.62,因此假设赛满3局不影响甲最终获胜的概率.教师提出思考2：归纳确定一个二项分布模型的步骤有哪些？教师和学生共同总结归纳.一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：（1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率；（2）确定重复试验的次数，并判断各次试验的独立性；（3）设X为次独立重复试验中事件A发生的次数，则XM",P）思考2：我们用二项分布模型解决问题时需要注意哪些问题？教师与学生共同总结归纳.（1）判断一个随机变量是否服从二项分布要注意以下三点：每次试验只有两种结果；在每次试验中，某事件A发生的概率是同一个常数p；次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且每次试验的结果是相互独立的.（2）当随机变量X服从二项分布时，应该弄清楚试验次数和成功概率p.设计意图：对于例3,给出了两种解法.前一种解法符合比赛实际规则，比较容易理解，但不符合二项分布的特征.后一种解法用二项分布求解，解法较简单，但不易理解.需要思考的问题是为什么假定赛满3局或赛满5局不影响甲最终获胜的概率.利用不同的方法解决问题，拓展学生的思维，提高学生解决问题的能力，同时培养他们的逻辑推理和数学建模核心素养.4 .二项分布数字特征问题：假设随机变量X服从二项分布夙,p）,那么X的均值和方差是什么？师生活动：教师提出问题，学生思考讨论，先猜测X的均值和方差是什么，学生交流讨论后展示结果.教师可以从具体的实例引导学生.例如：抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”的概率为0.5,如果抛掷100次硬币，期望有IoOXO.5=50次正面朝上.根据均值的含义，对于服从二项分布的随机变量X,我们可以猜想E（X）=叩.不妨从简单开始，先考虑较小的情况.(I)当=1时，X服从两点分布，分布列为P(X=O)=l-p,p(x=)=p.经计算，均值和方差分别为MX)=P,x)=p(l-p).(2)当=2时，X的分布列为P(X=O)=(I-pF，MX=I)=2p(l-p),p(=2)=/.经计算，均值和方差分别为：E(X)=2p,D(X)=2p(l-p).得出结论：一般地，如果X8(九,p),那么E(X)=叨，D(x)=np(-p).追问：你能对上述关于均值的结论给出证明吗？师生活动：教师提出问题，学生思考讨论，本问难度较大，教师要进行适当的引，如果没有思路可建议学生阅读教材内容.在学生充分思考后，给出相应的证明如下：令q=>p,则P(X=0=GPWI.因为kC=心,所以ZHX=k)=kCpz=叩BpIqZ,所以E(X)=OxCpscx+1×C>,*,+2×C1p2qn-2+AxC,；pxC；PZO=叩©P°qi+Cp2qf+C3piqig)+C"PXqo)=叩(p+q=，中.设计意图：采用从特殊到一般的方法归纳猜测二项分布的期望与方差，然后进行简单的证明.以这种过程发展学生数学抽象和逻辑推理核心素养.5 .总结提升教师引导学生回归本节课的学习过程，并让学生回答一下几个问题：(1)伯努利试验的和重伯努利试验的概念是什么？如何判断一个试验是伯努利试验?（2）二项分布的概念是什么？二项分布与两点分布有什么关系？二项分布与二项式定理有什么联系？（3）如何确定一个随机变量服从二项分布？二项分布的均值和方差公式是什么？设计意图：通过提问的形式，帮助学生梳理本节课学习的主要没人和主要思想方法.通过提问引发学生深度思考，对重伯努利试验和二项分布的定义、性质和应用作比较深入的反思.6 .布置作业教科书第76-77页，练习1,3题.（五）目标检测设计鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒，如果5只鸡接种了疫苗，求：（1）没有鸡感染病毒的概率；（2）恰好有1只鸡感染病毒的概率.设计意图：巩固二项分布的概念，并利用概念解决实际问题，发展学生数学运算、数学建模核心素养.