数值计算龙熙华部分习题问题详解.doc
word第1章 绪论教材习题解题思路2算法提示:利用补充定理:设的近似值为为.的数字如此 (1) 如果有位有效数字,如此(2) 如果如此至少有位有效数字。由上述定理容易求得近似值有4位有效数字。3算法提示:利用变量的相对误差要求函数值的相对误差可用公式:。由此可得5算法提示:利用2中的补充定理。6算法提示:和3中应用公式一样。11算法提示:容易推得。由于2和4中都涉与两相近数相减,使有效数字丢失;(1) 在分母上的乘幂比3多,每次的乘幂都会带来误差,因此3式得到的结果最好。补充习题解题思路1为了使计算圆面积时的相对误差小于1%,问R的允许相对误差界应是多少?解:R的允许相对误差为如此所求为第2章方程求根教材习题解题思路先证存在性:由假如或,如此或为方程的根。否如此可设或,作辅助函数,显然,且有,根据连续函数的性质,至少存在一点满足即。的根存在。再证唯一性。反证法,假如方程有两个不同的根,如此得出矛盾,可知方程只有一根。4解:令,并取区间,如此。显然,如此方程的根,如此对于迭代公式1,在区间连续,且有,因而该迭代收敛。2,在区间连续,且有,因而该迭代收敛。3,如此,因而该迭代发散。事实上,假如取进展迭代,由得,显然迭代序列发散。由于在收敛的情况下,假如越小,如此迭代序列收敛于的速度越快,故此题取迭代格式2来求方程的近似根,具体结果如下:由,取,如此,迭代6次即可得方程的具有四位有效数字的根为5证:设方程的等价形式为,如此因为,所以6解:注意到如此当时,将方程写成等价形式,构造迭代形式:可望收敛,表示的反函数。补充习题解题思路1设有迭代公式 ,试证明该公式。在附近是平方收敛的,并求 。证明:迭代函数,由收敛阶判定定理,2阶收敛。 极限式=第3章 线性方程组的解法教材习题解题思路4证明:先证必要性:因为向量序列收敛于向量,即再证充分性:因为即所以。6.证明提示:先假设是不可逆矩阵,推出矛盾,说明是可逆矩阵,再利用即可推出结论。7算法提示:利用迭代法根本定理判断即可。9算法提示:利用迭代法根本定理判断。再求解谱半径小于1时可证明结论成立。10算法提示:先将迭代公式写成标准形式,求得,再利用迭代法的根本定理去证明。12算法提示:将和依次按行和列交织求出即可。补充习题解题思路1 设,。假如线性方程组仅有右端有扰动 。试估计由此引起的解的相对误差。解: 5分 9分第四章 数值积分要点:1数值积分公式的代数准确度概念,代数准确度所蕴含的余项表达式 2插值型求积公式的构造与余项表达式 3插值型求积公式关于代数准确度的结论与证明 4梯形公式、Simpson公式的形式与余项表达式 5复合梯形公式、复合Simpson公式与其余项表达式 6掌握如何根据要求的精度依据复合梯形或Simpson公式的余项确定积分区间a,b的等分次数n 7Newton-Cotes求积分公式的特点以与代数准确度的结论 8高斯型求积公式的概念复习题:1、 求积公式为(1) 确定它的代数精度,并指出它是否为Gauss公式;(2) 用此求积公式计算定积分解:1依次取代入积分公式可发现: 左端=右端, 而当取时,左端 可端可见该是求积公式具有5阶代数准确度由于求积公式节点数为,而公式代数准确度所以该求积公式为Gauss公式(1) 对于, 有故 2、 对于2结点插值型求积公式。1如果求积分公式是两结点牛顿科特斯求积公式,请给出求积系数,求积结点,并给出积分余项表达式2假如使其具有最高的代数精度,试确定求积系数与求积结点?代数精度为多少?注:此题不用考虑3、 分别用梯形公式和二点Gauss公式计算积分,比拟二者的精度解:利用梯形公式,注:Gauss公式局部不要4、 对于积分。1写出梯形公式与辛普森公式;2请直接指出这两个公式的代数精度;3问区间0,1应分为多少等分,用复化辛普森公式才能使误差不超过解:1, 2梯形公式余项 辛普森公式余项可见梯形公式代数精度为 ,辛普森公式代数精度3根据复合辛普森公式的余项 注意到令,解得 可见当取时,对应的复合辛普森公式可满足精度要求5、 确定如下公式中的参数,使其代数精度尽量高,并指出所得公式的代数准确度。解:依次取代入积分公式,并令: 左端=右端,得方程组 , 解得 得公式:取代入公式,有左端=右端取代入公式,有左端右端可见该求积公式代数准确度为6、 确定如下求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指出其代数精度解:解题过程与上题类同,所得结果代数准确度为7、 试设计求积公式,使之代数精度尽量高,并指出其所具有的代数精度。解:解题过程与上题类同,所得结果代数准确度为8、 求积公式具有多少次代数准确度解:依次取代入积分公式,得左端=右端当取时,左端右端,故公式的代数准确度为9、 试设计求积公式,使之代数精度尽量高,并指出其所具有的代数精度。解:依次取代入积分公式,令左端=右端,得得公式的代数准确度为10、 试确定如下求积公式的代数准确度解:依次取代入积分公式,得左端=右端当取时,左端右端,故公式的代数准确度为11、 试确定常数,使求积公式 有尽可能高的代数精度,并指出代数精度是多少,该公式是否是Gauss型?并用此公式计算积分结果保存5位小数解:依次取代入积分公式,令左端=右端,得对应求积公式依次取代入积分公式,得左端=右端当取时,左端右端,故公式的代数准确度为由于求积公式节点数,而代数准确度可见该求积公式是Gauss型求积公式12、 求出二点Gauss求积公式中系数,与节点,。并用此公式计算积分结果保存5位小数解:依次取代入积分公式,令左端=右端,得由可得,继而可求得 , 与 对应求积公式:对于,利用变量代换:,如此13、 试证明高斯求积公式的求积系数恒为正注:此题不用考虑14、 确定常数与使求积公式具有尽可能高的代数准确度,是否为Gauss型求积公式?并用上述所得公式计算积分的近似值计算过程保存6位小数.解:依次取代入积分公式,令左端=右端,得 解得:相应求积公式:取代入公式,有左端=右端取代入公式,有左端右端可见求积公式代数准确度而公式具有节点数,而所以,该求积公式为Gauss型求积公式15、 求积公式的代数准确度为多少阶解:依次取代入积分公式,得左端=右端当取时,左端右端,故公式的代数准确度为16、 利用复合梯形公式近似计算定积分,要求计算误差不小于,试估计区间等分数解:根据复合辛普森公式的余项 这里 注意到 故有令,解得 可见当取时,对应的复合辛普森公式可满足精度要求10 / 10