数学真奇妙系列漫谈三角形.doc

-数学真奇妙系列：漫谈三角形人类研究三角形至少有两千年以上的历史，这种情况下我要讲出新的内容大概不可能，我尽量避免落入俗套，希望对读者有所裨益。一、三角形的特殊性相比于其它多边形，三角形确实有一些特殊之处，比如这是唯一一种没有对角线的多边形，是唯一一种内角和小于外角和的多边形，是唯一的只有平面没有立体的多边形，等等。但三角形最特殊的地方在于，只要确定了其中部分元素就能定下来其余元素，比如我们证明三角形全等的时候就有边角边、边边边、角边角、角角边定理。说到这里我有个疑问：那就是无论欧几里得的几何原本还是希尔伯特的几何基础，都是以边角边为基础推出另外几个全等命题（希著有专门的合同公理，欧著则不严格），则是否可以把边角边作为其它全等命题的推论呢.或者说，这需要怎样的公理体系.这是一个问题。除此以外，三角形还在希尔伯特的公理体系中有重要应用，比如除了前面提到的关于三角形的合同公理，至少还有一条直接和三角形相关的公理平面顺序公理，即一条直线从三角形的一条边穿进去，一定会从三角形的另两边之一穿出来。三角形还有几个颇为值得一提的地方，比如众多的三角形面积公式就很有l还有证明圆幂定理：在反演问题中，要证明一条已知直线关于已知圆的反演形是过该圆圆心的圆，也要引入三角形。 这方面最妙的例子，我觉得是用三角形全等证明同角的邻补角相等。立体几何中我仅举一例，即证明直线垂直平面的判定定理，需要多次证明三角形全等。三角形在立体几何中的应用远不止如此，比如要证明两个三面角全等或者对称，就和证明三角形全等差不多，而且五种正多面体中就有三种是由正三角形构成的。三、尺规作图三角形在尺规作图中很重要，比如几何原本中的第一个命题就是作正三角形，而且这个命题的第一个用途居然移动已知线段。几何原本所以这么作，是因为这其中的圆规是所谓的“松规”，即看作是只要两脚离开页面就会合在一起的圆规，因此无法直接用来移动线段（见左图）。但几何原本里的这个作图到底还是需要尺子的配合，如果没有尺子呢.方法很简单（见右图）：设已知点 A 和线段 BC，要求以 A 为顶点作一条长度等于 BC 的线段。分别以 A、B 为圆心，AB 长为半径做圆，二圆分别交于 D、E 点；分别以 D、E 为圆心，DC、EC 为半径做圆，二圆交于 F 点。AF 即为所求。勾股定理意义重大，当然会出现在尺规作图里，比如不用直尺四等分圆。也不但在限制尺规的作图方面，就是通常的作图，三角形也有重要作用，比如边边边定理还是尺规作图的重要依据，比如可以实现做角平分线、做垂线等等操作。读者对我上面的内容还满意吗. z.