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注册工程师执业资格考试培训材料力学,一、基本概念,内力：构件在外力作用下发生变形，引起构件内部各质点之间产生的附加内力（简称内力）。,应力：截面内一点处内力的分布集度。单位是：N/m2（Pa）、N/mm2（MPa）等。应力可分为正应力和剪应力（剪应力）。,位移：构件内任一点由其原来位置到其新位置的连线称为该点的线位移。构件内某一线段（或平面）由原始位置所转过的角度称为该线段（或平面）的角位移。,变形：构件形状的改变。,应变：构件内任一点处的变形程度。应变又可分为线应变和剪应变，均为无量纲量。,线应变 表示变形前构件内任一点处的一条微线段,变形后的长度改变量与其原始长度之比。,剪应变 表示过构件内任一点的两个互相垂直的微线段，变形后两个微线段的角度改变量。,例题 单元体变形后的形状如图中虚线所示，则A点的剪应变是多少？,答案：O，,一、轴向拉伸与压缩,大纲要求低碳钢、铸铁拉伸、压缩实验的应力应变曲线；力学性能指标。轴力和轴力图；杆件横截面和斜截面上的应力；强度条件；虎克定律；变形计算。,1、拉压内力,拉压内力：轴力FN,关键点：截面法,正负号，正确画内力图,例题 图示杆受轴向外力作用，已知P=60kN，求杆各段轴力，并绘轴力图。,解：求轴力BC段 从1-1面截开，留右段，设轴力FN1为正X=0 FN1-P=0 FN1=P=60kN（拉）,DB段 从2-2面截开，留右段，设轴力FN2为正X=0 FN2+2P-P=0 FN2=-P=-60kN（压）,3绘轴力图,AD段 从3-3面截开，留右段，设轴力FN3为正X=0 FN3+P+2P-P=0 FN3=-2P=-120kN（压）,例题 已知图示杆的轴力图，请选择该杆相应的载荷图。,答案 D,（1）拉伸（或压缩）正应力：A为横截面积。,拉压斜截面上的应力,角以逆时针为正，反之为负。,2、拉压应力及强度,最大剪应力,方向：45度,3、拉压变形,对于变内力、变截面的杆件应分段计算变形，再求和得总变形；,1）拉压变形计算公式,纵向变形,纵向应变,横向应变,最大轴力 FNmaxql,例 图示杆长为l，截面积为A，弹性模量为E。求均布荷载q引起的杆横截面应力和纵向伸长量。,解：距下端为x的横截面m-m，轴力为FN(x)=qx，轴力图如图（b）,最大正应力,在x处取微段dx，其纵向伸长为,杆件总伸长,例 图示拉杆的外表面上有一斜线，当拉杆变形时，斜线将()。(A)平动(B)转动(C)不动(D)平动加转动,答案 D,二、扭转变形,大纲要求扭矩和扭矩图；圆轴扭转切应力；切应力互等定理；剪切虎克定律；圆轴扭转的强度条件；扭转角计算及刚度条件。,1、扭转内力,扭转内力：扭矩T,关键点：截面法,正负号，正确画内力图,扭矩正负号规定,例 已知传动轴的主动轮A输入的力偶矩MA=12.74kNm，三个从动轮输出的力偶矩分别为MB=MC=3.82kNm，MD=5.10kNm。试画轴的扭矩图，并求轮的合理布局。,将此例中的A、B 轮对调，则扭矩图如图5.4-5(d)所示，由此可知，合理布置荷载可以降低内力的最大值，提高杆件的承载能力。,实心圆截面,2、圆截面轴扭转剪应力公式：,空心圆截面,例 在图示受扭圆轴横截面上的剪应力分布图中，正确的结果是()。,答案 D,例 图示圆轴由钢杆和铝套管牢固地结合在一起。扭转变形时，横截面上剪应力分布有图示四种答案。其中正确的一种是？,答案 B,3、扭转变形,例 已知扭转刚度GIP，扭转求轴两端面的相对扭转角,单位长度扭转角,扭转角,圆轴表面的圆，在圆轴受扭转后将变成什么形状？,答案：椭圆,例 实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，则圆轴的扭转角是原来的()。(A)2倍(B)4倍(C)8倍(D)16倍,答案：D,三、弯曲变形,大纲要求梁的内力方程；剪力图和弯矩图；分布载荷、剪力、弯矩之间的微分关系；正应力强度条件；切应力强度条件；梁的合理截面；弯曲中心概念；求梁变形的积分法、叠加法。,1、弯曲内力,关键点：截面法,正负号，正确画内力图,重点：,熟练利用剪力Fs、弯矩M与分布力q的微分关系及其图形的规律判断内力图的正确性。,截面法求内力:任一截面的剪力等于该截面以左或以右部分全部外力的代数和。,任一截面的弯矩等于该截面以左或以右部分全部外力对该截面形心之矩的代数和。,作图示刚架的弯矩图,（1）利用Fs、M与q之间的微分关系，有下述结论(正的剪力画在上方，正的弯矩画在下方）：,c)在Fs=0截面，M图有极值；在Fs突变处，M图有折角。,b）qc(常数)段，Fs为斜直线，M为抛物线。当q()0，Fs，M；当q()0，Fs，M,a）q0段，Fs图为水平直线，M图为斜直线；当Fs 0，M图（上升），Fs 0，M图/（下降）。,剪力、弯矩与分布力的微分关系,（2）Fs图、M图的一般规律：,a）集中力作用处，Fs突变，突变量等于集中力值，突变方向与集中力方向一致。M斜率突变，出现折角。,b）在集中力偶作用处，Fs图无变化。M图有突变，突变量等于该集中力偶矩值。,c)当梁的简支端或自由端无集中力偶时,M为零。,d）梁的最大弯矩通常发生在剪力Fs=0处或集中力、集中力偶作用点处。,e)对称结构承受对称荷载时，剪力图反对称，弯矩图对称；承受反对称荷载时，剪力图对称，弯矩图反对称。,以上剪力图与载荷关系可推广到轴力FN、扭矩T中。,例 根据梁的受力分析Fs、M图的图形,例 悬臂梁受力如图，弯矩图的三种答案：图(A)、图(B)、和图(C)中正确的是？,答案 C,例 梁的弯矩图如图示，则梁的最大剪力是：(A)(B)/2(C)/2(D)/2,答案 D,提示：最大剪力=曲线最大斜率,例 连续梁两种受力情况如图所示，力F非常靠近中间铰链。则下面四项中正确结论为()。(A)两者的Fs图和M图完全相同(B)两者的Fs图相同，M图不同(C)两者的Fs图不同，M图相同(D)两者的Fs图和M图均不相同,答案 A,矩形截面：,2、弯曲应力,空心圆截面,1）弯曲正应力公式,最大正应力,实心圆截面,2）矩形截面弯曲剪应力,矩形截面剪应力最大值在中性轴处,任意截面剪应力最大值位置不确定,三类强度计算,校核强度,设计截面,计算最大荷载,对铸铁等脆性材料,梁弯曲强度条件,例 T形截面铸铁梁的荷载及截面尺寸如图(a)示，C为T形截面的形心，惯矩Iz6013104mm4，材料的许可拉应力t40MPa，许可压应力c160MPa，试校核梁的强度。,解：作内力图,36.2MPat,78.6MPac,B截面,A截面,39.3MPat,分析 危险截面：A、B截面,提示：当梁的截面上下不对称，且有反弯矩，最大拉、压应力往往不在同一截面上,例 矩形截面混凝土梁，为提高其抗拉强度，在梁中配置钢筋。若梁弯矩如图示，则梁内钢筋(虚线所示)的合理配置是()。,答案 D,薄壁截面梁横截面上的剪应力沿壁厚均匀分布，作用线平行于截面边缘的切线，形成“剪应力流”。,3、弯曲中心的概念,当横向力作用面平行于形心主惯性平面并通过某一特定点时，杆件只发生弯曲而无扭转，称该点为弯曲中心。弯曲中心实际上是横截面上弯曲剪应力的合力作用点，因此弯曲中心又称为剪切中心。,1）、弯曲中心,2.若截面具有对称轴时，弯曲中心必位于对称轴上；由两个狭长矩形组成的截面，如T形、L形等，弯曲中心必位于该两个狭长矩形中线的交点。,2）弯曲中心的特征,1.弯曲中心的位置仅取决于横截面的形状与尺寸，与外力无关。,2.横向外力作用平面与梁的形心主惯性平面平行并通过截面的弯曲中心,3)发生平面弯曲的条件,1.外力偶作用平面与梁的形心主惯性平面平行；,4、提高梁弯曲承载能力的措施,1）合理截面型状,在面积一定的条件下（材料不增加）,材料分布离中性轴越远，对提高正应力强度越有利。,越大越好。,P,b,h,P,b,h,(1),(2),在面积一定的条件下,空心截面优于实心截面。,例 图示铸铁梁有(A)、(B)、(C)和(D)四种截面形状可供选择，根据正应力强度条件，合理的截面形状是()。,答案：C,使Mmax尽量小,2）合理布置荷载和支座,4、弯曲变形,积分法求弯曲变形时需注意确定积分常数的条件：挠曲线连续、转角连续，满足约束条件。,例 直径为d的等直圆杆，在外力偶作用下发生纯弯曲变形，已知变形后中性层的曲率为，材料的弹性模量为E，则该梁的弯矩M为多少？,解：,例 图示梁确定积分常数的条件为()。,例 图示梁的正确挠曲线大致形状为()。,答案 B,例 图示梁的正确挠曲线大致形状为()。(A)(b)(d)(B)(b)(c)(C)(a)(c)(D)(a)(d),答案 C,例 在等直梁平面弯曲的挠曲线上，曲率最大值发生在下列何项的截面上？（A）挠度最大（B）转角最大（C）弯矩最大（D）剪力最大,答案 C,例 材料相同的两矩形截面梁如图示，其中(B)梁是用两根高为0.5h,宽为b的矩形截面梁叠合而成，且相互间磨擦不计，则下面结论中正确的是()。(A)强度和刚度均不同(B)强度和刚度均相同(C)强度相同，刚度不同(D)强度不同，刚度相同,答案 A,例 图示两根简支梁，一根材料为钢，另一根材料为铝。已知它们的抗弯刚度EI相同，在相同外力作用下，二者的可能不同之处是：(A)弯曲最大正应力(B)剪力图(C)最大挠度(D)最大转角,答案 A,关键在于正确确定剪切面AQ、挤压面Abs及相应的剪力Q和挤压力Fbs。,四、剪切强度的实用计算,名义剪应力：,名义挤压应力：,四、剪切强度的实用计算,大纲要求剪切和挤压的实用计算；剪切面；挤压面；剪切强度；挤压强度。,答案：B,例 图示拉杆接头的剪切面A和挤压面Abs为()。(A):ab Abs:cb(B):ce Abs:cd(C)A:ce Abs:ab(D)A:ce Abs:bc,例 边长200mm正方形截面的混凝土柱，其基底为边长a=1m的正方形混凝土板。柱的轴向压力P=100kN。混凝土许的许可剪应力=1.5MPa。设地基对混凝土板的支反力均匀分布，为使柱不致压穿底板，混凝土板所需的最小厚度t是？(A)83mm(B)100mm(C)125mm(D)80mm,解：,五、截面的几何性质,大纲要求静矩和形心；惯性矩和惯性积；平行轴公式；形心主轴及形心主惯性矩概念。,（2）形心,五、截面的几何性质,同一截面对不同轴的静矩可能为正、负值或为零。,1）静矩与形心,(1)静矩,若截面对某轴的静矩为零，则该轴必通过截面形心；截面对任一形心轴的静矩为零。,2）惯性矩 惯性积,（3）截面对x、y轴的惯性积,（1）截面对x、y轴的惯性矩,（2）截面对坐标原点O点的极惯性矩,3）形心主惯性轴与形心主惯性矩,形心主惯性矩是截面图形对通过形心C点所有轴的惯性矩中的最大值（Imax）和最小值（Imin）,主轴：若截面图形对任意一对正交坐标轴（x、y）的惯性积Ixy=0，则该对坐标轴称为主惯性轴(主轴)。若该对坐标轴通过截面形心，则称该对主轴为形心主轴。,主惯性矩：截面图形对主轴的惯性矩称为主惯性矩。形心主惯性矩：截面图形对一对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。,截面图形对于过形心C点的任意一对直角坐标轴x、y的两个惯性矩之和为常数，即,3）形心主惯性轴与形心主惯性矩,形心主惯性矩是截面图形对通过形心C点所有轴的惯性矩中的最大值（Imax）和最小值（Imin）,主轴：若截面图形对任意一对正交坐标轴（x、y）的惯性积Ixy=0，则该对坐标轴称为主惯性轴(主轴)。若该对坐标轴通过截面形心，则称该对主轴为形心主轴。,主惯性矩：截面图形对主轴的惯性矩称为主惯性矩。形心主惯性矩：截面图形对一对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。,截面图形对于过形心C点的任意一对直角坐标轴x、y的两个惯性矩之和为常数，即,4）平行移轴公式,重点：利用平行移轴公式计算惯性矩。注意：必须以截面对形心轴的惯性矩为基础进行计算。,惯性矩、极惯性矩恒为正值。惯性积值可能为正，可能为负，也可能为零。(2)若一对坐标轴中有一轴为截面的对称轴，则截面对这对坐标轴的惯性积必为零；但截面对某一对坐标轴的惯性积为零，这对坐标却不一定是截面的对称轴。(3)在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小；但其惯性积不一定最小。,5）惯性矩、惯性积的性质,（4）通过截面形心C，至少存在一对形心主轴。（5）若截面有两根对称轴，此两轴即为形心主轴。若截面有一根对称轴，则该轴必为形心主轴，另一形心主轴为通过截面形心且与该轴垂直的轴。（6）若截面有三根（或以上）对称轴时，则通过形心的任一根轴均为形心主轴，且形心主惯矩均相等（如正方形截面等）。,例 求图形对水平形心轴x的的形心主惯性矩。,解（1）求形心。建立参考坐标轴x1，设形心C距参考轴x1为yc。,将该截面分解为两个矩形，AC1=20050=10000(mm)2，yC1150mm;AC2=50150=7500(mm)2，yC225mm;,（2）求形心主惯性矩,截面1、2对自身形心轴的惯性矩：,例 图示矩形截面，Z轴过形心C，则该截面关于Z、Z1及Z2轴的惯性矩关系为()。(A)I12(B)21(C)21(D)12,答案：C,例 图示截面，其惯性矩的关系为(A)I12(B)12(C)21(D)不能确定,答案：B,例 图示两图的面积相等，对各自形心轴Z轴惯性矩是否相等？,例 图示半圆形截面半径r=1m，该截面对x轴的惯性矩(C为形心)为()：(A)1.96(B)0.78(C)3.3(D)3.68,答案：C,例 在边长为2a的正方形中挖去一个边长为a的正方形，则该图形对Z轴的惯性矩I为()。(A)a4/4(B)a4/3(C)a4/5(D)a4/,答案：D,例 图示1/4圆截面，c点为形心，下面结论中正确的是()。(A)y1，z1是主惯性轴，而y,z不是(B)y,z是主惯性轴，而y1，z1不是(C)两对轴都是主惯性轴(D)两对轴都不是主惯性轴,答案：A,六、应力状态和强度理论,大纲要求平面应力状态分析的解析法和应力圆法；主应力和最大切应力；广义虎克定律；四个常用的强度理论。,六、应力状态和强度理论,（2）单元体围绕所研究点处切取的边长为无穷小的正六面体，称为单元体。三对平面上的应力均为直接已知或能通过计算得到的单元体，称为原始单元体。,1、应力状态的概念,（1）一点处的应力状态通过受力构件内部一点的所有斜截面上的应力情况称为该点处的应力状态。,（3）主平面、主应力及主单元体定义,剪应力为零的截面称为主平面，主平面的法线方向称为主方向，主平面上的正应力称为主应力。按大小分别用1、2、3表示。受力构件内任意一点均可找到三个互相正交的主平面和主应力，由三对互相垂直的主平面所构成的单元体，称为主单元体。,（4）应力状态的分类1）单向应力状态：只有一个主应力不为零。2）平面应力状态（二向应力状态）：有二个主应力不为零。3）空间应力状态（三向应力状态）：三个主应力均不为零。,2、平面应力状态分析的解析法,（1）任意斜截面 ef上的应力:,单元体的两个互相垂直的截面上的正应力之和是一常量，剪应力互等（剪应力互等定律）。,（2）主平面主应力,主平面的方向角,上式可解出两个主方向，其最大主应力作用线所在的象限一定是两相互垂直截面上剪应力箭头所对应的象限。,（3）主剪应力,位于法线与1、3均成45的斜截面上。,3、平面应力状态分析的图解法,（1）应力圆,圆心,半径,（2）三个特殊的应力圆,1）单向拉伸（或压缩）应力圆,最大剪应力（切应力）,2）纯剪切应力圆（扭转）,主应力,主方向由x轴顺时针转45,3）等拉或等压应力状态的应力圆,对于等拉或等压应力状态，其任意斜截面上的正应力均为常数,剪应力均为零。,例 图示四种应力状态中属于单向应力状态的是()。,答案：D,解：作应力圆（A）圆心为0，半径为（B）圆心为10，半径为（C）圆心为0，半径为20（D）圆心为20，半径为20,例 三种平面应力状态如图，他们之间的关系是：（A）全部等价（B）（a）与(b)等价（C）（a）与(c)等价(D)都不等价,答案：C,例 矩形截面简支梁受力如图示，其上各点的应力状态见图示，关于它们的正确性有四种答案，其中正确的一个是()。(A)1、2(B)1、5(C)3、5(D)2、4,答案：B,4、广义胡克定律,平面应力下胡克定律：,主应力1、2、3与主应变 1、2、3方向分别一致。,主应力与主应变间关系：,例 矩形截面拉杆横截面面积为A，受轴向拉力F。已知材料的弹性模量为E，泊松比为，则杆表面直角ABC的角度改变量为()。(A)(B)(C)(D),答案：C,5、强度理论,记住四个强度理论的表达式和适用范围,第一强度理论（最大拉应力理论）（脆性材料）,第二强度理论（最大拉应变理论）（脆性）,第三强度理论（最大剪应力理论）（塑性）,第四强度理论（最大形状改变比能理论）（塑性）,例 根据构件内三点处应力状态所画应力圆分别如图(a)、(b)、(c)所示，按第三强度理论比较它们的危险程度，有()：(A)(a)最危险，其次为(b)(B)(a)最危险，(b)、(c)危险程度一样(C)(c)最危险，其次为(a)(D)(c)最危险，其次为(b),答案：A,七、组合变形,大纲要求拉/压-弯组合、弯-扭组合情况下杆件的强度校核；斜弯曲。,七、组合变形,处理组合变形问题的基本方法是叠加法：,1)按引起的变形分解外力，把组合变形分解为几个基本变形。,2)分别绘出各基本变形的内力图，确定危险截面和危险点。,3)分别计算危险点处各基本变形引起的应力。,4)叠加危险点的应力，叠加通常是在应力状态上的叠加。然后选择适当的强度理论进行强度计算。,注意：圆轴在弯扭组合变形下，第三、第四强度理论表达式：,用内力表示的弯扭组合变形下的强度条件,例 等边角钢制成的悬臂梁如图，外力P垂直于梁轴线，其作用线与形心轴y重合，该梁所发生的变形是()(A)平面弯曲(B)两个相互垂直平面(xy面和xz面)内的平面弯曲(C)扭转和斜弯曲(D)斜弯曲,答案：C,例 悬臂梁的截面如图所示，C为形心，小圆圈为弯心位置，虚线表示垂直于轴线的横向力作用线方向。试问各梁发生什么变形？,解：（a）、(c)、(f)是平面弯曲。(b)、(d)是斜弯曲。(e)是斜弯曲与扭转组合变形。,例 斜支梁AB如图示，确定梁的变形，有()(A)AB梁弯曲变形(B)AC段弯曲变形，CB段拉伸与弯曲组合变形(C)AC段压缩与弯曲，BC段拉伸与弯曲(D)AC段压缩与弯曲，BC段弯曲变形,答案 D,例 图示结构中，杆的AC部分将发生的变形为()。(A)弯曲变形(B)压弯变形(C)拉弯变形(D)压缩变形,答案 C,例 正方形受压短柱如图(A)所示，若将短柱中间部分挖去一槽，如图(B)所示，则开槽后柱的最大压应力比未开槽时增加()。(A)8倍(B)7倍(C)2倍(D)5倍,解：,答：增加7倍，选答案B,例 圆杆横截面积为A，截面惯性矩为W，同时受到轴力FN、扭矩T和弯矩M的共同作用，则第四强度理论下的相当应力为()。,(A),答案:C,(B),(C),(D),九、压杆稳定,大纲要求压杆的临界载荷；欧拉公式；柔度；临界应力总图；压杆的稳定校核。,九、压杆稳定（细长压杆为主）,细长压杆临界载荷的欧拉公式,2 1 0.7 0.5,柔度,临界应力,适用范围,例 在横截面积相等，材料性质及约束条件相同的情况下，图示四种截面形状中稳定性最好的为()。,答案：D,例 细长压杆的局部削弱对压杆的影响是()。(A)对稳定性没影响，对强度有影响(B)对稳定性有影响，对强度没影响(C)对稳定性和强度都有影响(D)对稳定性和强度都没有影响,答案：A,例 图示两细长压杆除图(B)所示压杆在跨中点增加一个活动铰链外，其他条件均相同，问图(B)压杆的临界力是图(A)压杆的几倍?()。(A)8倍(B)4倍(C)2倍(D)相等,答案：B,例 压杆下端固定，上端与水平弹簧相连，如图所示，则该压杆长度系数的范围为()。(A)0.5(B)2.0(C)0.72(D)0.50.7,答案：C,