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    弹性力学04(习题答案).ppt

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    弹性力学04(习题答案).ppt

    第四章 平面问题的极坐标解答,(习题讲解),习题4-1,试导出位移分量的坐标变换式,习题4-2,设有内径为 a 而外径为 b 的圆筒受内压力 q,试求内半径及外半径的改变,并求圆筒厚度的改变。,解:,轴对称问题的径向位移公式(平面应变):,对于圆筒轴对称问题,有,ur 不随 变化,即,又由位移单值条件,有,常数A、B由应力边界条件确定。,应力分量:,边界条件:,习题4-3,设有刚体,具有半径为 b 的圆柱形孔道,孔道内放置一外半径为 b而内半径为 a的圆筒,受内压力 q,试求圆筒壁的应力。,解:,刚体,边界条件:,代入边界条件,有,将常数A、C 代入,有,将常数A、C 代入,有,刚体,习题4-4,矩形薄板受纯剪,剪力集度为q,如图所示。如果离板边较远处有一小圆孔,试求孔边的最大和最小正应力。,解:,由图(a)给出的孔边应力结果:,得:,习题4-5,楔形体在两侧受有均布剪应力q,如图所示。试求其应力分量。,解:,(1)应力函数 的确定,由因次分析法,可知,代入相容方程:,得到:,(2)应力分量的确定,由对称性,,应为 的偶函数;,应为 的奇函数,,因而有,,(3)由边界条件确定常数,边界条件:,代入,有:,代入应力分量式,有,代入应力分量式,有,习题4-6,三角形悬臂梁在自由端受集中荷载 P,如图所示。试用公式(4-21)求任一铅直截面上的正应力和剪应力,并与材料力学中的结果对比。,解:,由密切尔(J.H.Michell)解答,得,由应力分量的坐标变换式:,由坐标变换式:,材料力学结果:,截面弯矩,截面惯性矩,截面正应力,弹性力学结果,两者结果相差较大。,习题4-7,曲梁在两端受相反的两个力 P 作用,如图所示。试求其应力分量。,解:,(1)应力函数的确定,分析:,任取一截面,截面弯矩为,将其代入相容方程:,(a),上述欧拉方程的解:,(b),代入应力函数为,(c),(2)应力分量的确定,(d),边界条件:,代入应力分量得:,端部条件(右端):,代入剪应力分量得:,(f),联立求解式(e)、(f),得:,(e),自然满足,其中,,代入应力分量式(d),有:,(f),习题4-8,设有无限大的薄板,在板内的小孔中受有集中力P,如图所示。试用如下应力函数求其应力分量。,解:,(1)应力分量,提示:须要考虑位移单值条件。,(2)确定常数,取一半径为 r 的圆板为隔离体,,其上受力如图。,由圆板的平衡,得,代入应力分量,有,代入应力分量,有,恒等式,(3)由位移单值条件确定常数 A,由物理方程与几何方程:,其中:,应力分量:,积分得:,代入:,将 ur 代入积分得:,将 ur u 代入r,要使上式对任意的 r、成立,有,其中:L为常数。,(a),(b),求解式(a),有,(c),将式(b)变为:,(d),(d),求解式(b),有,(e),(f),将 代入 u,有,由位移单值条件,有,代入应力分量:,得到:,习题4-9,半平面在其一段边界上受法向分布载荷作用 q,如图所示。试证半平面体中直角坐标应力分量为:,(叠加法),证法1:,(叠加法),证法1:,分析思路:,求解步骤:,由楔形体在一面受均布压力问题的结果:,(4-25),(由应力分量的坐标变换),应力分量的直角坐标形式,y y+a,y ya,(积分法),证法2:,利用半限平面边界上作用法向集中力 P 的结果,有:,由图中的几何关系,有:,(1),将以上关系式代入式(1),有,(2),(3),积分上式,有:,补充题,列写图示问题的边界条件,试证明:,补充题,满足极坐标下平衡微分方程(4-1),补充题,证明极坐标系下应变协调方程可表示为:,轴对称情况下:,补充题,设弹性体受径向和环向常体力:作用,试证明下列应力分量可作为极坐标下平衡微分方程(4-1)的一个特解:,证明:,(41),代入极坐标下的平衡微分方程:,显然,有:,(1),表明式(1)为方程(4-1)的一个特解。,在弹性体受径向和环向常体力:作用下,下列应力分量可否为某个问题的可能解?,思考题:,(2),答案:,不能成为某个问题的解。,为什么?,有一薄壁圆筒的平均半径为 R,壁厚为 t,两端受相等相反的扭矩 M 作用。现在圆筒上发现半径为 a 的小圆孔,如图所示,则孔边的最大应力如何?最大应力发生在何处?,有一薄壁压力容器,受内压 p 作用,其平均半径为 R,壁厚为 t。现在容器壁上发现一半径为 a 的小圆孔,如图所示,则孔边的最大应力如何?最大应力发生在何处?,补充题1.,补充题2.,

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