群论习题及答案.ppt

群论及其应用习题及答案,2习题:试将由 D3 群二维不可约表示 D3 的矩阵元构成的投影算符 P223,P213 与 P123 作用到函数 F=sin2 上,求 D3 的一组基矢 13 和 23.并结合课上介绍的 P113 对 F 作用的结果一起进行 讨论*,答案:3按照投影算符的公式 P i=(ni/h)R D i*(R)PR 可算得P223 F=(2/6)(PE PA+PB/2+PC/2 PD/2 PF/2)F=sin2-sin2(-)+sin2(120o-)/2+sin2(240o-)/2-sin2(+120o)/2-sin2(-120o)/2/3=sin2-sin2()+sin2(120o-)/2+sin2(120o+)/2-sin2(+120o)/2-sin2(-120o)/2=0 P123 F=(31/2/6)(PB-PC+PD PF)F=(31/2/6)sin2(120o-)-sin2(240o-)+sin2(+120o)-sin2(-120o)=(31/2/6)sin2(120o-)-sin2(120o+)+sin2(+120o)-sin2(-120o)=0*,P213 F=(31/2/6)(PB-PC-PD+PF)F 4=(31/2/6)sin2(120o-)-sin2(240o-)-sin2(+120o)+sin2(-120o)=(31/2/6)2 sin2(-120o)2 sin2(+120o)=(31/2/3)sin2(-120o)+sin2(+120o)sin2(-120o)sin2(+120o)=(31/2/3)(sincos120o+cossin120o-cossin120o+sincos120o)(sincos120o-cossin120o-sincos120o-cossin120o)=(31/2/3)2 sincos120o(-2cossin120o)=(31/2/3)4(1/2)(31/2/2)sin cos=sin cos 将此归一化得 23=2 1/2 cos sin,或 2-1/2 sin cos,再将 P123 作用在 23 上可得 13 5 P123 23=(sin2-cos2)/2 将此归一化得 13=2-1/2(sin2-cos2)课上曾讲过 P113 F=P113 sin2=(sin2-cos2)/2 将此归一化得 13=2-1/2(sin2-cos2)结果整理如下:P223 F=P223 sin2=0 P123 F=P223 sin2=0 P213 F=P223 sin2=sin cos 23=2 1/2 cos sin P123 23=(sin2-cos2)/2 P113 F=P113 sin2=(sin2-cos2)/2 13=2-1/2(sin2-cos2),讨论:6 问题1:P223 F=P123 F=0 说明什么?答案:说明 F=sin2 中不含有D3 群二维不可约表示D3 的第二 个基矢 23=2 1/2 cos sin 问题2:有什么途径可以得到 23?答案:由 P213 F=P223 sin2=cos sin,可得到23 问题3:为什么由 P213 F 可得到 23?答案:F 中有 13,P213 作用在 F 中的 13 上可得到 23 问题4:还有什么途径可以得到 23?答案:先由 P113 F=P113 sin2 得 13=2-1/2(sin2-cos2),再由 P213 13 得 23=2 1/2 cos sin 问题5:由 P213 F 可得 23,是否可由P123 F 可得 13?为什么?答案:因为 F 中没有 23,所以不能由P123 F 可得 13*,