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第四章 社会保险精算,社会保险课程,第一节 社会保险精算的基础第二节 养老金计划,社会保险精算是以人寿和健康保险精算为基础的，我们首先要对寿险精算的基本原理进行研究。寿险是以人的身体和生命为保险标的的保险，在人们的生命期内，一直面临着生、老、病、死等风险，需要通过保险得到经济安全保障，为了在较长时期内平衡缴费水平，寿险通常规定为长期合同。因此在寿险精算中，需要考虑资金的投资收益，利息理论便成为寿险精算的基础。寿险所承保的年老、死亡和伤残险的出险规律，是通过生存模型和多减因模型来研究和表述的，因而生命表和多减因表也是寿险精算的基础。,第一节 社会保险精算的基础,社会保险费的计算基础 生命表 多减因表,社会保险精算的基本概念,风险与不确定性 风险：指在一定条件下和一定时期内某一事件可能发生的各种结果的变动程度或可能性大小。既可以指以外收益的可能性，也可以指以外损失的可能性。一般来说，人们对损失的关注程度要高于对收益的关注程度，所以，风险通常指不利事件发生的可能性大小。,不确定性：指无法预测某一事件可能的发生结果，或即使知道可能发生某一结果，但无法了解各种结构的可能性大小。在实践中，风险与不确定性很难区分，风险事件的发生概率往往不能准确知道，而不确定事件的发生概率也只能估计。一般认为，风险是指可测定概率的不确定性。,风险与保险 风险可能带来损失，需要采取措施来应对，这就是保险。保险：为预防风险可能带来的损失以合同形式所制定的相关措施或制度。简单地说，就是应对风险的经济赔偿机制。,注意：由于风险的复杂多样性，不是所有的风险都有相应的保险措施，风险可以划分为可保风险与不可保风险两类。可保风险：可以承担的风险类别。例如，各类保险业务。不可保风险：在目前条件下不能承保的或虽能承保但经济利益不明显的风险类别。例如，农业保险中的某些险种。,保险与精算 保险是对某种风险产生所制定的经济补偿方案或措施，对经济社会发展到一定阶段的产物，是为了应对和缓解各种社会、市场风险的打击而采取的补救办法。其业务必然涉及风险确定、损失度量、保费计算和赔偿数额的核定等，业务的完成是建立在一系列精确计算的基础上。精算学：是进行保险方案设计和保险项目收支计算的专业工具，主要运用数学、统计学、人口学和金融学等学科的理论和方法，进行人口死亡率测定、生命表编制、保险条款设计和费率厘定以及保险基金运营管理等。精算是保证保险业务顺利开展的必要条件和基础工具。,商业保险精算与社会保险精算 商业保险是以保险业经营为特点、以利润最大化为目标的保险事业及其实施机构的总称，社会保险是借助商业保险分散风险的原理，以全体或部分公民为保险对象，以分散特定社会风险为目的，达到稳定社会、促进社会进步等目标的一项社会事业或福利措施。,社会保险精算主要从事社会保险基金收入的预测、支出的度量和社会保险基金的运营和管理等业务，为社会保险制度设计和基金预算平衡提供信息依据和数据支持。商业保险精算为商业保险发展提供各类技术支持。两者存在着诸多不同，例如，精算目的不同、精算主体不同、精算内容不同。但两者本质上同出一源，社会保险精算在基本原理上与商业保险精算一致，并在很多方面上直接借鉴商业保险精算的方法和技术。,社会保险精算的主要内容,养老保险精算医疗保险精算失业保险精算工伤保险精算生育保险精算,一、社会保险费的计算基础,（一）利息理论 在经济活动中，资金的周转使用会带来价值的增值。资金周转使用时间越长，实现的价值增值就越大。同时，等额的货币在不同时间上，由于受通货膨胀的影响，其实际价值也不同。因此，转让货币使用权应得到与放弃这个使用机会时期长短相应的报酬，利息正是借入资本需要支付的使用代价，或者是出让资本使用权得到的报酬。,相关概念,利息：产生于资本的借贷行为，奴隶制社会就存在。对资本借出者来说是报酬，对资本借入者来说是获取资本使用权的代价。本金：指初始转让或投入的资本金额。终值：又称积累值，指本金经转让后，经过一定时期收回时的本息总金额。积累值-本金=利息现值：指一定数额的终值采取某个利率换算成本金的数额。利息率：一定时期内（通常为1年）的利息与本金的比例，反映单位时期内资本增值的能力。,1.累积函数,我们把最初投资的滋生利息的款项称作本金，把本金经过一定时期后形成的金额称为累积额，它是本金与利息之和，又称为本利和。以t表示本金投资使用的时间长度，A(t)表示t时资金累积额，它是t的函数，称为总额函数。当t=0时，A（0）就是本金，这里只讨论t0的情况，利息是累积额与本金之差，以I（t）表示从0到t时的利息，有I（t）=A（t）-A（0）或 A（t）=A（0）+I（t）,累积额受本金的影响，本金越大，经过一定时期的累积额越大。为了反映单位本金的增值情况，引入累积函数a（t）。显然，a（0）=1，A（t）=A（0）a（t），因此，a（t）是单位本金经过t时期后的增值额函数。理论上，t可以用不同的单位来度量，如日、月、季、年等，最常用的是年。a（t）通常为t的连续函数，理论上a（t）可以是增函数，也可以是减函数，但我们总是希望它是增函数，这样，才能保证总额函数的递增性和存在正的利息。有时，当利息定期结算时，a（t）也表现为不连续的阶梯函数。,2.利息率,衡量资金生息水平的指标是利息率，它表示单位本金在单位时间内所滋生的利息。如果利息计算时期与基本时间单位相同，此时的利息率就是实际利率，以 表示第n个基本计息时间单位的实际利率，有 如果单位时间为一年，一年内一单位本金的利息就是实际年利息率。,3.单利和复利,利息的计算方法有单利和复利两种，单利只在本金上计算利息，而复利是利上生利的计息方式。在单利下，设第一年年初的本金为A(0)，第t年的实际利率为it，仅在本金上生息的一年末的累积额为：第二年末的累积额为：第n年末的累积额为：当各年利率相等，即 时，累积函数的形式为：,可见，单利每年得到的利息均为A（0）i，t年得到的利息总额为A(0)it，由于每年得到的利息额恒定，在逐渐增大的年初本金下，年实际利息率随t的增长而减小，这可以通过利息率的的计算公式得到验证。in随着n的增大而减小。,在复利下，每年在年初本金和利息基础上计息，这时，第一年末的累积额为：第二年末的累积额为：第n年末的累积额为：当各年利率相等时，累积函数形式为：a（t）=(1+i)t复利下，每年的利息额不等，第一年的利息为A（0）i，第二年的利息为A（1）i=A（0）(1+i)i，年利息额随着t的增大而增大，但年利息率不变。,单利法累计函数,复利法累计函数,a(t),t,t,a(t),4、现值和贴现率,一单位本金经过t 年后成为a(t)，那么1单位累积值在t年前的值便为1/a(t)，我们把现在1单位元在t年前的值或者未来t年1单位元在现在的值，称为t年的现值。设第t年的利率为it，在单利方式下，1单位元t年的现值为1/(1+i1+i2+it)，当年利率相等时，为1/（1+it）。在复利方式下，1单位t年的现值为1/（1+i1）(1+i2)（1+it），当年利率相等时为，1单位元t年的现值为1/（1+i1）(1+i2)（1+it），当年利率相等时为，1单位元1年在复利下的现值通常用v表示，v=1/1+i。,利息力又称息力，是衡量确切时点上利率水平的指标，对名义利率,当结算次数m趋于无穷大时，可以表示确切时点上的利率水平，因此，定义利息力为：可见，是函数 在t=0外的导数，由此可得=ln（1+i）或与利息力相对应，贴现力是名义贴现率当结算次数趋于无穷大时的值，可以证明贴现力与利息力相等。,（二）年金,1.年金的概念 年金：按相等的时间间隔支付的一系列款项的付款行为或付款额。例如，按年交或按月交的房租，按揭贷款的月付款。年金的分类：（时间与付款）根据付款的时间，分为期初付年金和期末付年金 根据是否延期付款，分为即期年金和延期年金 根据有无期限，分为有限期年金和无限期年金（永续年金）根据每次支付款项数额是否相等，分为固定数额年金和变额年金,根据付款金额是否确定，将年金分为确定年金和风险年金。确定年金是指按固定的时期支付确定数额的款项的年金，如抵押贷款的分期偿还付款。风险年金是指时期虽然固定，但付款行为是否发生时不确定的一类年金，如生存年金、养老金计划等（根据被保险人的存活状态来决定是否支付款项）。普通的确定年金是指支付期与利息结算期一致的确定年金。非普通的确定年金包括利息结算期大于支付期和支付期大于利息结算期两种情形。我们这里只考查普通的确定年金。,2.年金现值与终值年金现值是一系列收入款在期首的值。n年内每年一元期首付的年金现值以 表示。u=1/1+i,d=i/1+in年定期每年末一元年金的第一年初的现值以 表示，则,对于一年多次收付的年金，可以根据每次收付的实际利率和实际收付次数，按前面的公式估计，对于n年定期，每年收付m次，每次1/m元的期首付年金现值为：对于每年收付m次，每次1/m元的期末付年金现值为：,对于n年定期每年一元期首付的年金在n年末终值为：对于n年定期每年一元期末付的年金在n年末终值为：n年定期年金，每年收付m次，每次1/m元的期首付年金在n年末的终值为：n年定期年金，每年收付m次，每次1/m元的期末付年金在n年末的终值为：,3.永续年金永续年金是收付时期没有限制,每隔一个间隔永远连续收付的年金，相当于前面定期年金当时期n趋于无穷大时的值。每年一元期末付永续年金现值为：同样，其他年金现值为：,4.变额年金变额年金是每次收入额不等的年金，实际中通常有两种常见的变额年金，一种是每次收入额等差递增，一种是等比递增。如果在n年定期内，第一年末收付一单位元，第二年末收付两单位元，以后每次比上一次递增一单位元的期末付年金现值以 表示。上述年金期首付时，年金现值为：,当第一年收付n元，以后每隔一年收付额减少一单位元的n年定期递减的期末付年金为：上述定期递减年金在期首付时，为：变额年金的终值是相应年金现值与利率累积系数之积，比如，n年标准递增的期首付年金终值以 表示:类似的等差变额年金终值的公式，读者可以自行给出。,二、生命表,生命表是研究人口死亡规律的有力工具，它用表格的形式简单清楚地表述了同时出生的一组人以怎样的死亡率陆续死亡的全部过程。它反映在封闭的人口条件下，一批人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统计表。封闭人口是指所观察的一批人只有死亡变动，没有因出生的新增人口和迁入或迁出人口。,（一）基本函数,1.lx：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0，1，-1确切年龄是从出生到测算时点存活的时间；完全年龄是从出生到测算时点已存活的整数年数。比如，某人从出生到现在已度过20年零8个月，他现在的确切年龄为20.67岁，而完全年龄为20岁。在存活人数中，l0是同时出生的一批人数，由于关心的是出生一批人在生命期的死亡规律，即各年龄的死亡规律，因此，最初的人口绝对数并不重要，研究中可以取任意值，为方便，通常取10的整数幂。是人口生命极限年龄，是生命表的年龄上限，人口存活的最高年龄为-1。,2.ndx：在xx+n岁死亡的人数，当n=1时，简记为dx生命表0岁的人数l0经过一年后成为l1，在这一年中死亡的人数是d0，在1岁2岁的死亡人数为 d1，有：l0-d0=l1；l1-d1=l2一般地，有lx-dx+n=lx+n由于在生命最高年龄上存活人数为0，即，因此，0岁存活人数等于各个年龄上死亡人数之和。,3.nqx:x岁的人在岁死亡的概率，当n=1时，简记为qx。在已知qx后，依生命表基数l0，可以计算出各年龄的存活人数和死亡人数，生命表正是以分年龄死亡概率为基础编制出来的。与相对的一个函数是岁的存活概率，以npx表示，当n=1时，简记为px。,4.nlx:x岁的人在xx+n岁生存的人年数人年数是表示人群存活时间的复合单位.一个人存活了一年是一人年，两个人每人存活半年也是一人年，在死亡均匀分布的假设下，xx+n岁的死亡人数ndx平均来说存活了n/2年，而活到lx+n岁的人存活了n年，故:当n=1时,lx=1/2(lx+lx+1)5.Tx：X岁的人群未来累积生存人年数,6.:x岁人群的平均余寿，表明未来平均存活的时间 当x为0时，表示出生时平均余寿，即同批人从出生到死亡 平均每人存活的年数。运用生命表基本函数，可以定义和表述寿险精算中常用的死亡概率，以 表示x岁的人存活n年并在第n+1年死亡的概率，或x岁的人在 岁死亡的概率:,（二）生存分布,1.生存函数生命表描述了人口在整数年龄上存活和死亡的规律，但实际上年龄是人出生后存活时间的度量，它是一个连续随机变量，如果设新生儿未来存活时间或者设新生儿的死亡年龄为X，这是一个连续的随机变量，其分布函数为：这是新生儿在x岁前死亡的概率，以概率方式表示为。这是新生儿活到x岁的概率，以概率方式表示为 称为生存函数。新生儿在岁 间死亡的概率，以概率方式表示为：生命表函数中的存活人数正是生命表基数与岁生存函数之积,2.X岁余寿的生存函数 以（x）表示年龄是X岁的人，（x）的余寿以 表示，是一个连续随机变量，其概率分布函数为：它正是x岁的人在t时间内死亡的概率。T(x)的存活函数为：这是x岁的人在t时间内存活的概率。当 时，这是新生儿未来余寿的随机变量。如果以x变量表示，它实际上是一个条件概率,而x岁的人在 的死亡概率，以概率的方式表示为：,3.x岁整值余寿的概率函数在寿险精算中，年龄变量通常取整数，它实际上是上述 的整数部分。这里定义 为 的整数部分，即这是（x）未来存活的整数年数，称为（x）的整值余寿，其概率分布函数为：4.死亡力死亡力是描述瞬间死亡水平的指标，定义为：,5、整值平均余寿与中值余寿x岁的整值平均余寿是指x岁未来平均存活的整数年数，不包括不满1年的零数余寿，它是整值余寿随机变量 的期望值,以 表示。中值余寿是(x)的余寿T(x)的中值，(x)在这一年龄之前死亡和之后死亡的概率均等于50%，以m(x)表示x岁的中值余寿，则 即根据存活函数，容易得出。岁的平均余寿、整值平均余寿和中值余寿分析是生存分析的重要内容。,（三）选择生命表和终极生命表,在人口分析中，可以按性别、地区、种族等对人口分类，分别编制反映各类人口死亡规律的生命表。在保险精算中反映被保险人死亡规律的经验生命表与人口生命表是不同的，寿险中的被保险人并不是全部人口中的一个随机群体，它是经过选择的符合保险条件人群，由于保险只提供给符合健康标准的人，因此，在年龄相等时，有理由认为刚买保险的人比已经买了若干年保险的人的死亡率更低，保单资料的经验分析，也证实了上述结论。因此，在对被保险人依一定的健康标准加以选择后，一组被保险人的死亡率不仅随年龄而变动，而且随已投保年限长短变动。以 表示x岁加入保险，经过n年在x+n岁的死亡概率，有,经验数据表明 的值随着的增大迅速缩小。一般当 时，这一差异可以忽略不计。把同一年龄上相邻已投保年数死亡率差异明显的时期称为选择效果明显期或简称为选择期，把依据 编制的生命表称为选择生命表，它表明随年龄和已投保期限而变动的死亡规律。当选择效果消失时，死亡率只与年龄有关，如果选择期为r年，投保期超过r年的同一年龄上的死亡概率相等，此时，死亡概率可以用 表示，有,依据选择效果已经消失后的死亡率资料编制的生命表称为终极表。显然，在同一年龄上终极表的死亡概率更高。由于终极表是选择表中选择效果消失后形成的表，通常把它们放在一起，形成选择终极表。与此相对应，由不分投保年数的死亡率资料编制的生命表称为综合表，综合表的死亡概率比终极表低。选择生命表也包括 等函数，他们之间的关系与生命表类似。,（四）非整数年龄存活函数的估计,生命表是以整数年龄分组编制的，在保险精算实践中，常常需要非整数年龄存活函数的资料，比如，40岁的人存活半年的概率，40岁的人在3个月死亡的概率等，这时需要在一定假设下利用生命表函数进行估计。常用的几个假设是死亡平均分布假设、死亡力恒定假设和巴尔杜奇（Balducci）假设。,1.死亡均匀分布假设 假设死亡在整数年龄之间均匀发生，此时存活函数是线性的。s(x+t)=(1-t)s(x)+ts(x+1)(x为整数，0t 1)2.死亡力恒定假设 当假设死亡力在xx+1上恒定时，3.巴尔杜齐假设 1/S(x+t)=(1-t)/S(x)+t/S(x+1)（0 t 1）,三、多减因表,（一）基本函数在保险精算分析中,常常要研究一批人受多个因素影响陆续减少过程的规律,比如，研究在职劳动力人数受职工死亡、伤残、离职、退休等因素影响而逐步减少构成的规律，这是编制养老金计划的重要基础；研究各种死因使一批被保险人陆续减少构成的规律是健康保险精算的基础；研究一批人受死亡和伤残两个因素影响的规律是伤残保险的基础；对寿险来说，引起合同中止的原因有死亡和退保等。研究同一批人受两个或者两个以上减因影响陆续减少的数学模型就是多减因模型。与生命表一样，多减因模型通常用多减因表的形式表示，称为多减因表。,1.：确切年龄x岁时，受（1）、（2），（m），等m个减因影响的人数，或者说x岁暴露于m个减因下的人数。2.岁由减因减少的人数，k=1,2,m,当n=1时，记 为.3.岁由所有减因减少的总人数，当n=1时，记为 4.岁由(k)减因产生的减少概率，也就是(k)减因使(x)离开的概率，当n=1时，记为,5.岁的人在xx+n岁由所有减因产生的减少概率6.岁的人在岁保留在原群体中的概率,（二）减因力,与生命表死亡力类似，在多减因下也有减因力，x+t时的总减因力定义为：第k个减因的减因力为：因此，有,减因力与减因概率的一个重要差别是各减因力之间相互独立，而各减因概率之间却相互依赖。由于减因概率是某区间内由减因引起的减少概率，在这一区间内，所有减因都在起作用，由某一减因引起的减少人数越多，其他减因引起的减少人数就越少，各减因概率之间相互依赖，在数学上可以证明。而减因力是对瞬间死亡水平的衡量，它不依赖于某一特定的区间，因此，各减因力之间相互独立。,（三）联合单减因表,构成多减因表的各个减因都可以依各自独立的死亡力构成单减因表，我们把由多减因表的各个减因构成的单减因表称为联合单减因表，它是单独考虑各个减因时生成的生命表。设联合单减因表的存活函数为。在这里称为减因绝对减率，以区别于概率表述的 减因绝对减率与其他减因力无关，也称为独立减率。联合单减因函数与多减因函数的基本关系为：,第二节 养老金计划,养老保险可分为待遇预定和缴费预定两种基本类型。待遇预定计划根据职工参加养老保险的年数和工资收入水平预先规定退休后的养老金水平和养老金随着工资或物价的调整方式，缴费水平需经过精算估计定期调整。其养老基金给付不足的风险由养老保险承办人企业或到政府来承担。缴费预定计划先确定缴费水平，缴费不断积累并获得投资收益，当参加养老保险的职工退休时，以缴费及其投资收益在退休时的累积额为基础发放养老金，投资回报率降低的风险由参加者个人承担。缴费预定计划通常采用个人账户的方式，使缴费与享受间建立起直接的联系，容易被人们理解和接受，也有利于职工的流动，越来越多的养老保险采取了缴费预定的方式。,一、待遇预定养老保险成本与债务的估计,（一）成本与债务估计的含义在待遇预定计划的基金积累模式下，需要估计为实现对未来的承诺每年的缴费水平，年成本就是把承诺的未来给付责任分摊于缴费年的数额。它决定于承诺的给付种类、给付水平、养老保险参加人员的死亡率和利息率等风险因素，以及所选择的成本估计方法。养老保险的实际成本在养老保险承诺的给付全部付清之前是未知的，其最终成本等于所有给付支出加上养老保险管理费用减去投资收益。年成本的估计需要在合理的精算假设下进行。精算假设是对未来风险因素发生规律的假设，它与未来实际情况有一定的差异，有时养老保险计划承诺的养老水平也可能随经济情况的变动而调整，这使得依精算法估计的养老金成本可能不足以应付未来的承诺，使计划积累的基金不能完全抵偿积累的债务，从而存在净债务。为了监测计划的财务状况，需要定期测算养老保险的成本和债务状况。,缴费预定养老保险预先确定缴费水平，给付由缴费及其投资收益确定，在实际积累的缴费预定养老保险计划中，债务就是积累的缴费和其投资的利息，如果缴费和积累的利息以个人账户的方式记录，债务就是个人账户的累积额。因此，债务水平在任何时点都等于积累的资产，也就是说，养老保险的给付现值在任何时点都等于已积累的基金现值，不存在未备基金债务。缴费预定养老保险精算的主要任务是在计划建立前，根据养老保险的给付目标和预计的未来投资收益，估计合适的缴费水平。但缴费水平并不随给付目标和养老保险债务状况而调整。因此，对于待遇预定养老保险，成本债务的估计是建立和维持养老保险良好财务状况的前提，对于缴费预定养老保险，精算的任务主要是根据预计的给付和利率估计缴费水平，以及对投资利率进行预测，不存在对债务的定期监测问题。但是，待遇预定计划成本与债务的估计、缴费预定计划缴费水平的估计都是建立在给付现值与缴费现值平衡的关系上的，因此，两类计划精算估计的原理一致，只是实际测算的重点不同。,（二）人口理论,计划人口包括参加养老保险的在职人口、退休前退出计划但已经积累了一定养老金权利的人口、退休人口和死亡人口等。参加计划人口的数量、性别和年龄分布、已工作年数分布、开始参加养老保险的年龄分布等构成了养老金计划人口的重要特征，养老金给付和缴费一般以工资的一定比例规定，因此工资的分布也是养老保险人口的重要特征。养老金人口数量因参加计划人口的死亡、退休、调离、伤残等因素而减少，因不断新加入的职工而增加。当引起人口增减的因素在长期内保持不变时，也就是新增加人口的数量和年龄结构不变，减因概率不变时，理论上，经过长期发展，计划人口将成为年龄结构和工作年数分布稳定的静止人口。当计划人口到达静止状态，同时养老金的待遇水平和其他影响成本的因素稳定时，计划的正常成本和债务将稳定不变。与静止人口对应的是稳定人口，当人口的年龄和工作年数分布稳定不变，总人口稳定增加的人口称为稳定人口。静止人口和稳定人口是两种理论人口模型，实际参加计划的人口在每年新加入人口数量和结构、死亡率、退出率等减因概率变动的作用下表现出来各种类型的波动。,成本与债务的精算估计是在封闭人口下进行的，封闭人口指现有人口数量和结构不变，没有增减变动的人口下进行的。在长期估计中，需要每年或每二三年重新在新的封闭人口下进行估计。在长期预测中，需要考虑每年增加的职工及其年龄和工资分布，这时的估计称为开放人口估计。,（三）精算假设,养老保险成本和债务估计的基本精算假设包括保险参加人口的各种减因概率，未来工资的变动规律和基金投资的利息率等。1.减因概率养老保险精算的目的是在预定的缴费水平下估计养老金的给付水平，或者在预先承诺的养老金水平下估计缴费水平。这需要对缴费和给付的条件及其规律进行研究。养老退休年金以职工参加养老保险，并且在退休后生存为给付条件。此外，对参加养老保险期间由于死亡、残病、提前退休和调出等原因退出保险的人，通常也预先规定一定的给付。同时，养老保险的缴付以职工在职存活为条件，职工死亡、残病、调离后不再缴费。,因此，需要首先研究参加养老保险的人口的死亡概率、伤残概率、调离概率和不同年龄上的退休概率等，这些概率构成了养老保险人口的多减因概率。以表示x岁的职工在t年后仍在职的概率，分别,以,表示x岁职工在t年内死亡、调出、伤残和退休的概率,则在退休前有（x+tr）,2.工资增长率,养老保险的缴费和给付通常与职工在职期间的工资水平相联系。退休给付目标一般规定为一定的退休金替代率，退休金替代率是退休金替代退休前工资收入的比例。养老保险缴费一般也可以以工资的一定比例缴付。因此，职工工资的变动规律成为养老保险成本和债务估计的基本假设之一。职工工资随工龄、工作业绩、劳动生产率和通货膨胀率而变动。根据工资随工龄的变动规律，再加上通货膨胀率和劳动生产率使职工工资的增长率，可以估计职工工资的变动规律。设职工在x岁的业绩工资为，x岁职工的当年工资为，职工在y岁加入养老保险的工资为。（xy）式中，I为通货膨胀率使职工工资提高的比率，P为劳动生产率使职工工资的增长率，/是工作业绩提高使工资的增长比例。从加入年龄y岁起到x岁的累积职工资额以 表示，累积工资是成本债务估计的基础之一。,（四）退休给付的方式,1.退休给付的规定退休给付通常与职工的工资和工作年数有关，在职期间的工资越高、工作年数越多，得到的退休给付越多，有时退休给付只与工作年数有关。在美国，企业养老金计划的给付通常有平均工资方式和最后平均工资方式两种。平均工资方式，以在职期间平均工资的一定比例乘以工作年数规定给付水平，最后平均工资方式以退休前一年或前几年平均工资的一定比例乘以工作年数规定给付。由几个企业联合设立的养老保险，养老金一般规定为固定的数额与工作年数的乘积。,（1）固定数额,退休待遇以固定数额规定时，不考虑职工在职期间的工资水平和工作年限的差异，对每个职工规定相同的给付。以 表示 岁加入养老保险在年龄 岁得到的养老金权利，表示从加入保险到 岁得到的养老金权利总和，表示退休当年的退休金，。以固定数额规定退休给付时，k为常数。实践中的全民平均津贴就是一种固定数额给付，其待遇与工资和工作年数无关，每个老年人都可以领取到相同数额的年金。平均津贴是加拿大、冰岛、毛里求斯、荷兰、新西兰和南非等国公共年金养老保险的主体，英国1991年规定，无论男女老年职工，均按每人每周46.9英镑数额给付，瑞典也对达到法定退休年龄的雇员，给付相同数额的养老金。,（2）与工作年数相关,退休待遇与工作年数相关，而与工作期间的工资水平无关，强调每一工作年得到同等的养老金权利，不考虑在职期间工资水平的差异，这种养老金通常规定为每工作一年得到固定数额的退休给付。如果参加养老保险期间每工作一年得到k元固定给付，职工在r岁退休，y岁参加工作并加入养老保险，退休给付为.如果参加保险期间每工作一年每月得到k元给付，退休给付为。,(3)平均工资给付,平均工资给付以职工加入养老保险到退休前平均工资的一定比例乘以工作年数规定给付。设规定的退休给付为参加保险期间平均工资的g比例，设y岁加入养老保险，r岁退休，参加养老保险期间的工作年数为r-y,以 表示工作期间的平均工资，此时平均工资是参加养老保险期间工资总额除以工作年数，以 表示工资总额，有。此时，xx+1岁得到的养老金权利是 当年工资的固定比例，从y岁加入养老保险到x岁累积得到的给付权利为累积工资的g比例，,（4）最后平均工资给付,在最后平均工资给付规定下，退休给付规定为每工作一年得到退休前一年或几年平均工资的某一比例。设这一比例为g，规定的计算最后平均工资的年数为n，则退休前最后n年的平均工资为，此时简化上式，可以得出当n=1时，是按退休前一年工资的比例规定的给付。,2.给付方式,退休给付通常采取年金的方式，以保证退休职工得到定期收入来源。第一种也是最常用的一种年金方式是生存年金。在退休职工生存期内给付年金，死亡后没有给付。第二种常用的年金是定期确定的生存年金，在一定时期内给付确定年金，期满后以职工生存为条件给付生存年金。实践中的分期返还年金和现金返还年金就是定期确定的生存年金。第三种是提供联合生存年金，以两个人中任一人存活为条件给付生存年金，通常在其中一人死亡后给付额降低。美国社会保障中的夫妇老年收入保障规定，在其中一人死亡后，给付额减少一半或更多。,（五）基本成本概念,1.未来给付精算现值未来给付精算现值是养老保险承诺的所有未来给付在计算时点的现值。未来给付主要是退休给付，在规定的条件下，当职工死亡、伤残、中途调离时也有给付。x岁的未来给付精算现值以 表示。如果只考虑退休给付，且退休金不随生活水平和通货膨胀而调整，年退休金规定为.式中，为x岁的人在r岁退休前仍在保险中的概率，为利率在r-x年前的折现值，为从x岁起每年初一元生存年金的现值。,2.计划中止债务,计划中止债务(TPL)是保险计划中止执行时,过去已经积累的养老金债务.它是计划参加者已经得到的养老金权利的现值,或者说是计划已经承诺的养老金现值,不考虑将来可能产生的养老金权利.计划中止债务的计算公式为：式中，为x岁职工的计划中止债务，为y岁时在计划中止年龄x岁上已经累积得到的退休给付权利，为在单减因下，从x岁存活到r岁的概率。,与未来给付精算现值的计算公式比较，可以发现，对于已退休的职工，未来给付精算现值与养老保险中止债务相等。对于在职参加者，两者有以下两点区别：（1）中止债务是到岁累积得到的养老金权利现值，而未来给付精算现值是退休时将得到的年给付的现值。因为若计划中止执行，计划参加者将不可能得到原来承诺的所有退休后给付，只能得到过去参加养老保险期间已经得到的部分；（2）在中止债务中，存活概率是只包括死亡一个减因的概率，而不是包括死亡、伤残、退出等多减因的概率。因为若计划停止执行，职工在退休前伤残或退出计划仍然有权利得到过去已积累的养老金权利，但在退休前死亡，将不会得到这一权利。计划的中止债务是每个参加者中止债务的总和，通常用于衡量养老保险的资产状况，如果计划累积的资产与中止债务相等，这时，在财务上能够保证在计划中止时债务的兑现。,3.计划继续债务,计划继续债务(CPL)是假设计划一直持续下去（不考虑新加入的职工），对目前的职工和养老金领取人承诺的给付现值，或者说他们已得到的养老金权利现值。已得到的给付权利等于已经加入计划年数在预计加入总年数中的比例乘以退休给付。y岁加入计划，现在x岁人的计划继续债务(CPL)为：与中止债务不同的是，继续债务包含了未来给付变动的影响。同时，减因概率是包括死亡、伤残和调离等所有减因的概率。,4.正常成本,计划成本是所有给付和费用支出的总和，其实际成本在计划所有给付完成之前未知，需根据精算假设估计，年成本是精算估计的总成本在各年分摊形成的数额，年正常成本是根据精算假设估计的未来给付精算现值分摊于各年的数额，或者说是某年得到的养老金权利的现值，它类似于寿险中年保费的概念。计划的缴费以估计的正常成本为依据，实际的缴费可能有时高于或低于正常成本，但某一年低于正常成本的缴费需要在其他年份中补齐，使缴费与总成本相对应。由分摊未来给付精算现值的模式不同，产生了不同的正常成本估计方法，不同估计方法下的年成本存在差异，有的方法基金积累的速度更快，有的更慢。,x岁职工的正常成本以 表示，未来给付精算现值是过去正常成本的累积值与未来正常成本现值之和。是x岁过去正常成本的累积值，是x岁未来正常成本的现值。其中，在加入年龄y岁上，由于没有过去成本，正常成本的现值等于未来给付精算现值。,5.精算债务,精算债务类似于寿险精算中的责任准备金，它是过去累积的获得养老金权利的价值，或者说是未来给付的净责任。从未来看，它是未来给付精算现值与未来正常成本之差。从过去看，它是过去积累的正常成本。精算债务在不同成本估计方法下不同。有时，在建立计划时，对具有一定工龄的职工在过去工作期间的贡献也承诺了养老金，但过去不会有成本分摊，此时存在初始精算债务。初始精算债务以补充成本债务的形式存在，它是没有用正常成本分摊的部分。精算假设的变动以及计算成本时精算假设与实际的差异等产生的精算债务通常也以补充债务的形式存在。所以，补充债务是未来给付责任没有被正常成本分摊的部分，它等于未来给付精算现值与未来正常成本现值、过去正常成本累积终值之差。,6.补充成本,补充成本债务的分摊形成补充成本。在某些养老保险下，初始补充债务不分摊，为了避免补充成本债务的增加，以精算假设的利率使其产生利息，以补充债务的利息作为补充成本。此时，由于初始精算债务的存在，计划永远不会是完全基金的。一般情况下，补充债务需要以一定的方式分摊于未来成本中，常用的分摊方法有两种：一种是不考虑死亡率和其他风险因素，将补充债务在规定的分摊期内等额分摊，补充成本就是用年一元定期确定年金去除初始补充债务的值。另一种是以工资的一定比例分摊，以某年工资乘以补充成本债务与未来工资现值的比例计算补充成本。,正常成本与补充成本之和是年成本。x岁的补充成本以 表示，年成本以 表示，以 表示x岁过去补充成本的累积额，表示岁未来补充成本现值，有,7.未备基金债务,养老基金由缴费积累形成，缴费加上投资收益减去给付和费用形成年末基金。在退休时，累积资产等于退休后给付的精算债务，精算债务超出基金的数额称为未备基金债务，未备基金债务又称净债务，有时也称精算赤字。t年养老保险的未备基金债务以 表示:年养老保险资产,8.精算收益和损失,养老保险的成本与债务是根据精算假设在实际成本债务发生之前估计的，精算假设的死亡率和利率等风险因素与实际发生的情况存在差异，当精算假设的情况比实际发生的更有利时，会产生精算收益，反之，会产生精算损失。某一假设可能在某一给付方面产生收益，在另一给付方面产生损失，比如，当年轻的职工死亡率比假设的更低，也就是存活率更高时，实际退休给付将高于预计的水平，此时将产生精算损失，但在死亡给付部分会产生精算收益。在某年的精算收益或损失反映了各方面精算收益和损失的总和。精算收益和损失有时自动地分摊在成本中，有时精算收益被用来冲减养老保险的未备基金债务，在选择的年份内分摊。,（六）成本与债务估计方法的分类,成本是未来给付精算现值分摊于各年的数额，不同的分摊模式形成了不同的成本分配方法。根据成本债务估计方法的不同特征可以进行不同的分类。最基本的分类有两种.一种是直接以每年固定数额或工资的一定比例分配未来给付精算现值，这种方法称为成本分配精算成本方法；另一种是把将来得到的给付总权利分配于养老保险各年，使年成本成为当年得到的给付权利现值，这种方法称为给付分配精算成本方法。,精算成本法的特征有：第一，在给付分配精算成本法中，给付首先分配在各年中，然后计算已经得到给付的精算现值。在成本分配精算成本法中，首先计算所有预计给付的精算现值，再分配于各年，而不分配给付本身；第二，根据精算成本方法是否产生补充债务可以分为有补充债务和没有补充债务两种。当成本方法不产生补充债务时，必须把所有给付现值，包括计划建立时，对过去工作期间的承诺产生的债务以及其他风险因素变动产生的过去债务的变动等都以正常成本的形式分摊在未来年份中。否则，如果过去债务以补充成本债务的形式独立存在，这时成本方法将产生补充债务；第三，根据成本的分摊年龄起点不同，分为从承诺给付的年龄开始分摊和从计划建立时的年龄分摊两种。当总成本从开始有给付承诺的年龄起分摊时，在建立计划前分摊的成本形成了补充债务，当成本从计划建立起分摊时，所有未来成本等于计划总成本，计划没有补充债务；,第四，根据成本是以个人还是集体计算，分为个体精算成本法和集体精算成本法两种。在个体精算成本法下，成本和债务根据每个参加个人的情况计算，总成本及总债务是同一时期不同年龄人口的成本的及债务的总和。在集体法下，以集体作为一个整休，不能计算个人的成本；第五，根据决定和处理精算收益和损失的方法不同可以分为两种，一种称为直接方法，在这种方法下，精算收益和损失直接以测算时点实际未备基金精算债务与精算假设下预期未备基金精算债务之差计算。然后在一定时期内分摊收益和损失。另一种称为分散方法，如在集体法下，不直接计算收益和损失，精算收益和损失为正常有成本的一部分，自动分散在所有参加者的未来工作期间。以上各种分类可以看做是精算成本方法的各种特征，实际的精算成本方法可以同时具有几个方面的特征。,为了教学上的方便，精算成本方法依是否分配给付或成本分为两大类，一类是给付分配成本方法，先把给付分配在各年，再计算每年得到给付的现值，这种方法在美国雇员退休收入保障法（ERISA）中又称为预计给付成本方法；另一类是成本分配成本法，先计算总给付的现值，再分摊到各年形成年成本。,二、给付分配精算成本法,给付分配精算成本法是将在退休时得到的给付分摊在每个缴费年，参加保险计划期间每年得到的养老金权利的现值就是每年的成本，在职期间年成本的精算现值等于所有承诺的未来给付精算现值。理论上，退休给付的分摊方式有无数种，从而可以产生各种不同的给付分配成本。实践中通常分为传统的给付分配成本法和预计给付精算成本法两种。传统的给付分配成本法根据规定的每年得到的给付数额，或者说是每参加养老保险一年得到的在退休后给付增加部分，计算每年得到的给付权利