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练习三十六 可降阶的高阶方程,二、,一、,三、,四、,原题,二、2.,解,分离变量得,两边积分得,故所求通解为,的特解.,三、求,解,代入方程得,两边积分得,因此满足所给条件的特解为,则,令,满足,的通解.,三、求,解,代入方程得,两边积分得,从而将方程降为一阶方程,则,令,分离变量得,求得其通解为,分离变量得,的通解.,四、求,解,代入方程得,求得,即,故所求通解为,令,则,分离变量得,自测题七,一、1.A 2.A 3.C 4.B 5.B,二、1.一阶,七、,高等数学（一）模拟试卷解答,七、,期终复习,常见题型,1.选择题,2.填空题,3.计算题,4.应用题,5.证明题,连续性、间断点类型的判断、可导性、中值定理、不定积分的概念、原函数、积分上限的函数求导、定积分的性质、弧微分、曲率、一阶微分方程的概念,求极限、导数、不定积分、定积分,函数图形的描绘、求极值、求面积、求体积、求弧长、求曲线方程,证明方程根的存在性、证明不等式、证明积分恒等式,注意,求极限、导数、积分时，求解一阶微分 方程时首先判断类型,2.求不定积分时，要加C,3.定积分是常数，不能加C,4.求面积、体积时，先画出图形,5.考试时，带好尺规,一、填空题（每小题4分，共16分）,二、选择题（每小题4分，共16分）,三.求下列各积分（每小题5分，共35分）,四、求下列各极限（每小题5分，共10分）,六、求心形线 的全长(7分).,f(x)的定义域为,使二阶导数为零的点为,定义域内无使一阶及二阶导数不存在的点.,列表讨论 f(x)的单调性、凹凸性：,补充点：,九、证明：函数 在 上的最大值不超过，其中n为正整数（8分）.,证明,一、选择题（每小题3分，共15分）,二、填空题（每小题3分，共15分）,三、求下列各极限（每小题5分，共10分）,2.,解,四、求下列各导数（每小题5分，共10分）,解,对上式两端求导得,整理得,导数.,解,2、设 二阶可导，求,的二阶,五、求下列各积分（每小题6分，共30分）,六、设,证明,（10分）,（10分）,八、附加题：设,在 0，1上具有二阶导数，,且满足条件:,（1）解,（2）证明,祝同学们,期末考试取得好成绩！,新年快乐！,高等数学（一）模拟试卷解答,七、,一、填空题（,分）,1、当,时，,在,连续。,1,2、,且,则,3,3、设,，则与向量,同向的单位向量为,4、,5、曲线,与,所围图形的面积为,二、选择题（,分）,1、两平面,，,的夹角为 A.,；B）,；C）,；D）,A）,2、,是,的一个原函数，C为任意常数，则,的不定积分可表示为 B,B）,C）,D),A）,(C0),3、,，,在,A）不连续也不可导 B）连续不可导 C）可导不连续 D）连续且可导,处 B,4、,时，,是关于,A）同阶而不等价的无穷小 B）低阶无穷小 C）等价无穷小 D）高阶无穷小,的 B,5、设,，,，则同时与,垂直的单位向量,=B。,B）,C）,D）,A）,三、求下列极限（,分）,原式,原式,1、,2、,=,=,=,解,另解,四、求下列导数或微分（,分）,1、,，求,解,故,2、,，求,解,3、求由,所确定函数,的微分,解,4、,求,所给方程两端对x求导得,解,五、计算下列积分,分）,1、,=,=,另解原式=,=,=,2、,解,原式,=,=,3、,=,=,=,4、,=,=,=,六、(8分）求曲线,与,所围成图形绕,x旋转一周所形成旋转体的体积。,如图,=,=,解,七、（8分）求过M（2，-3，4）且与Z轴垂直相交 的直线方程.,轴交点为,由对称式方程，有,或,直线与Z,解,证明,八（8分）证明当,时，,设,=,因此，,严格单调递增，,即有,故有,九、（6分）设,在,上连续，且,证明,证明,作辅助函数,4、,已知,5、,已知,三、计算下列极限（每小题5分，共10 分）,1、,8、,，则弧微分,11、抛物线,在点（2，0）处的曲率为：,13、函数,带拉格朗日余项的n 阶麦克劳林公式是：,六.,（7分）,五、求下列导数：（本题共12分）,解,解,原式,解,对左式两端积分得,