1_9.2 椭圆及其性质.docx

9.2椭圆及其性质一、选择题1.（2022届武汉二中月考,5）已知椭圆7三11）和双曲线芸"2=150）有相同焦点,贝（）A.a=m+2B.m=a+2C.a2=m2+2D.m2=az+2答案A椭圆£&（a>l）的半焦距为疝T,双曲线为=1（m0）的半焦距为标不T,则有G=屈不I,即a=m+2.故选.2. （2022届广东深圳中学月考,6）已知直线l:y=x+l与曲线C:Xd=I相交于A,B两点,FS,-1）,则AABF的周长是（）A.2B.22C.4D.42答案D在椭圆Y唉1中,a=,b=l,则c=l,椭圆的焦点为（U）,S,T）,所以F是椭圆的一个焦点,易知直线1过椭圆的另一个焦点（0,1）,所以AABF的周长为4a=42.故选D.223. （2022届湖南郴州一中月考,7）已知点P是椭圆C:5+2（a>b>0）上一点,点FhE是椭圆C的左、右焦点,若APFE的内切圆半径的最大值为a-c,则椭圆C的离心率为（）A孝B.乎C.fD.f答案B由题意可得PR+PB=2a,FR=2c,设APFE的内切圆半径为r,所以S历/PF11+1PF21+1F1F21)r=(2c+2a)r=(c+a)r,又APFE的内切圆半径的最大值为a-c,所以SipFE=(c+a)r<(c+a)(a-c)=aY=b',又SApf抵=4FF2I|的Wa2cb=bc,所以b2=bc,可得b=a所以椭圆C的离心率=J忌T昼孝，故选B4. （2022届山西运城调研,6）已知椭圆刍+。1（a>b>O）的离心率为春直线2x÷y+10=0过椭圆的左顶点,则椭圆的方程为（c答案D直线2x+y+10=0与X轴的交点坐标为(-5,0).由直线2x+y+10=()过椭圆的左顶点,可知椭圆的左顶点坐标为(-5,0),即a=5,由椭圆的离心率为之可知M，所以c=3,所以b=N=4,所以椭圆的方程为L故选D5. (2022届合肥8月联考,7)已知椭圆幡哈=1(a>b>0)的右焦点为F,椭圆上的两点P,Q关于原点对称,若IPFI+1QF=6,且椭圆C的离心率为专则椭圆C的方程为()2y22y2A+fbt+=12y22y2c÷1D.吉哈1答案A由椭圆的定义及椭圆的对称性可得IPF+QF=2a=6,即片3,则由椭圆C的离心率为拇1式=3,所以卜=8,故选A.6. (2021辽宁丹东一模,7)已知斜率为2的直线I不经过坐标原点0,1与椭圆x,唉1相交于,B两点,M为线段AB的中点,则直线OM的斜率为()A.-B.-C.-lD.-2答案C设A(Xl,y),B(x2,yJ,M(x,y),VM是线段AB的中点.x+m=2x,y.+yi=2y,把(x1,y1),B(x2,y2)代入x+-=l,/2/+秃=2,U×2+72=2,两式相减,得2(x+xJ(Xxj+(yi+yz)(y-yJ=O,*2x(-2)+y(y-y2)=0,.,得毕尧看7,r2yx,直线OM的斜率U=-1.故选C.7. (2022届江西名校联盟10联考.6)已噂+品=1表示焦点在X轴上的椭圆,则m的取值范围是()A.(-2f-1)U(2,+)8. (-2,+8)9. (-1,2)D.(-,-l)U(2,+)答案A由椭圆的焦点在X轴上,可得,>m+2,即m'm-2>0,解得m>2或m<-l,又m+2>0,所以m>-2,于是m的取值范围为(-2,-1)U(2,+8),故选.8.(2022届福州格致中学月考,6)已知椭圆C÷=l(a>b>O)的离心率为孚,直线a-by=O与圆M:x2+y2-mx+0相切,则实数m的值是()A.±1B.±2C.±4D.±8答案B由题意知C岑a,则a=3b,直线a-by=O即y=x,代入x+y2-mx+i=0,得4-mx+i=0,由=m'-4=0,解得n=土2.故选B.229. (2022届安徽安庆10月月考,10)如图,R,R,分别为椭圆C拳=Ma>b>O)的左、右焦点,P为椭圆C上的点Q是线段PFI上靠近3的三等分点,APQR为正三角形,则椭圆C的离心率为()答案D由椭圆的定义知，PF1+PF21=2a,由题意得§PQ+PF21=2a,又APQE为正三角形,所以IPQl=IPF21,所以IPR与，IPFj=缸在APFE中,由余弦定理得4c啜a'+骡-2X,aX/iXeOS60。，得1=C又0<e<l,所以故选D.10. (2022届山西长治9月调研,11)古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线,用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥,得到的截面是圆;把平面再渐渐倾斜,得到的截面是椭圆.若用周长为72的矩形ABCD截某圆推得到椭圆,且T与矩形ABCD的四边相切.设椭圆在平面直角坐标系中的方程为今*l(a>b>O),下列选项中满足题意的方程为()2y22y2a+1b16+12y22y2cT00*1d64*1答案C由题意知椭圆焦点在X轴上,可排除B、D选项,因为用周长为72的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆，且椭圆与矩形ABCD的四边相切,所以4(a+b)=72,即a+b=18,在椭圆焦.哙=中,a=9,b=4,则a+b=13,不满足题意;在椭圆布靖看本1中,a=10,b=8,则a比=18,满足题意,故选C.11.(2022届安徽蚌埠第一次质检,ID已知椭圆Q+沪(a>b>O)的右顶点为A,坐标原点为0.若椭圆上存在一点P使得aOAP是等腰直角三角形,则该椭圆的离心'率为()A.fB.fC.fD.f答案C由题意可知点P为线段OA的中垂线与椭圆的交点,不妨设Pe£),将P点坐标代入椭圆方程可得*+=l,SP+2=1.*a2=3b即5又知C=JI所以C=Jlq=,故选C.v212.(2022届陕西宝鸡调研考试,1D设A是椭圆C:x“+±I的右顶点,点M在C上,则AM的最大值为()9一22B.D.22答案D设点M(Xayl),点M在C上,则诏+变1,即羽=3-3诏,因为A是椭圆C:x，苓=1的右顶点,所以A(1,0),IAM=J(x0-l)2+y,把郎=3-3诏代入,得AM|-2x-2x0÷4=J-2(%。+/)+3又TWX(IW1,故当Xu=T时，IAM取到最大值孥.故选I).2213. (2022届云南顶级名校月考(三)，8)已知椭%+%=l(a>b>0),R,R分别为椭圆的左、右焦点,若椭圆上存在一点匕使得IPE-PRl=2b,则该椭圆离心率的取值范围为()A(得B.住,1)答案D因为偿所以PFJ=a+b,又IPRl这a+c,所以b<c,则e*常又0<e<l,Urrl十lrr2-a,a庐+。2l所以乎We<L故选D.二、填空题2214. (2022届豫北开学定位考试,14)已知椭圆C拳+/=1(a>b>O)的左顶点为,上顶点为B,右焦点为F,且ABF是等腰三角形,则椭圆的离心率为.答案竽解析由题意可知ABI>IBF,IAFI>IBF,又AABF是等腰三角形,所以IABulAF|,即荷中=2+3平方得2aic2=a2+c2+2ac,即2c2+2ac-a*=0,故有2e2+2e-l=0,又e(0,1),所以e='L15. （2022届陕西百校联盟联考（一），15）已知F,握分别为椭圆C÷y2=l的左、右焦点,单位圆。与C的一个公共点为比MR与C异于M的交点为N,则ANFE的面积为.答案W'y= x + l,解析由题意可知点M为椭圆的上（或下）顶点,不妨设点M为椭圆的上顶点,如图,则M（0,1）,又FI（T,0）,所以直线MF1的斜率为1,所以直线MF1的方程为y=x÷l,联立/'得3x2+4x=0,解得x=0或x=4则N收+yZ=J点的横坐标x=,将x、=-3弋入y=x÷l得y=3所以zn7iF2=4IFFiiI,yl×2×16. （2022届河北保定部分学校期中,16）已知椭圆C的中心为坐标原点焦点在y轴上,F1,艮为C的两个焦点,C的短轴长为4,且C上存在一点P,使得PFJ=6PHI,写出C的一个标准方程:.答案卷÷令1（答案不唯一）22解析设C的方程为%+今=l（a>b>O）,贝U2b=4,b=2.因为IPRl=6PF2LPFl+PF21=2a,所以IPR+1PFzI=71PF21=2a,贝DPF21专,又因为a-cW*Wa+c,所以学2a-c,联衿,解得”二普所以C的标准方程可以是展哈L17. （2021湖南娄底仿真模拟,15）椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另T*焦点.根据椭圆的光学性质解决问题:如图所示,已知曲线C的方程为格展1,其左,右焦点分别是h,E,直线1与椭圆C切于点P,且PFJ4过点P且与直线1垂直的直线与椭圆长轴交于点M,则IRM：F2M=.答案3：5解析由椭圆的光学性质得到PM平分/RPR,所以黑=隅,由IPFIl=IPF1+P&|=4得到IP艮号,故F1M：IF2Mi=3：5.三、解答题r218. (2022届四川遂宁调研,20)已知直线l:y=x+m与椭圆U¾-+y'=l交于A、B两点.若直线1过椭圆C的左焦点Fu求弦长AB的值：若线段AB的垂直平分线与X轴交于点n(1,0),求rn的值解析由题知,R(-2.0),又点R在直线1上,所以0=-+m,即m=夜,则直线1的方程为y=x+2,设A(x,y),B(x2,y2),联立得?2=：+2低；消去y得4x2+62x÷3=0,(x2+3y2=3,所以A=72-48>0,x+x产XX=,所以【ABI-2(x1+x2)2-4x1x2=2(-x3.设(xl,y,)tB(x2,y2),线段AB的中点为M(,y0),(V=%+m,.d2+3213得4x+6mx+3-3=0,=48-12->0,.*.x+x2=-,o=-m,y0=-孤mg故点M的坐标为Gm,知.V线段AB的垂直平分线与X轴交于点N&0),.线段AB的垂直平分线方程为y=-÷i由线段AB的中点M在直线v-x+±.知*孤/解得mT(满足>0),因此m的值为T.19.(2022届黑龙江顶级名校质检(二)，21)设椭圆E:?京1(a>b>O)的左焦点为F,离心率为学,过点F且与X轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为竽.求椭圆E的方程；(2)设,B分别为椭圆E的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆E交于点C,D,且前DBADCB=8,求k的值.解析由已知得F(-c,0),由呆我a=Gc,将X=-C代入椭圆方程得,解得y=于是哽竽,解得b=,又a2-c2=b2,从而a=5,c=l,所以椭圆E的方程为导%.(y=k(+1)，设点C(Xby),D(X2,y2),由已知得直线CD的方程为y=k(x+l),联立/y2消去y,整理得(+2=1 l+2k 1产 乙当L,所以点H( 1,-),所以直线AH的斜率k , 18fe.因为k“k-8-2l 8fe . 118/c -1 18k -1/IW 18k -11+2J i+2c2所以A, G, H三点共线.言 1 (a>b>0)过点 A(l|)和点 B (2,0).（1）求椭圆C的标准方程和离心率;(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.贝(JA=48(k+l)>0,x+×2=-7xX23"因为A(-3,0),B(3,0),所以2+32+3ACB+ADCB=(X1+V3,y)(3-2,-y2)+(x2+3,y2)(3-,-y)=6-2xx2-2yy2=6-2xx2-2k2(x+l)(x222+1)=6-(2+2/)xlx2-2k2(xl÷xz)-2k2=6÷2fe+V由已知得60±孕=8,解得k=±2.2+3fc2+3k20.(2021朝阳二模,20)已知F为椭圆C苧J=I的左焦点,直线I:y=k(-2)与椭圆C交于不同的两点M,X.当k='时,求AFM'的面积；（2）设直线FM,FN分别与直线x=l交于两点P,Q,线段MN,PQ的中点分别为G,11,点A（l,0）.当k变化时,证明A,G,H三点共线.解析（D当k=-4时,由y=(x-2),(nx=o,7/r2解得ill'或；则MNl=竽.又因为左焦点F(T,0)到直线+y2=(y-y=l1: y=-*(-2)的距离为d=+,所以AFMN的面积为*MX，d=X京=L(2证明:设M(x,y),N(x2,y2)l+y2=L得(1+2妙江-8a+81<2-2=0.由=(-8k2)2-4(l+2k2)(8k2-2)>0,y=c（x-2）.直-2k'1 1 线AG的斜率心增解得©所以如熹XM=寓,y=k（x1÷x2-4）.所以点G的坐标为r-02-5l+2'标为（1，韶）因为蜘+第-谭P直线km的方程为y=V%（+D，则点P的坐标为（1,5告）.同理点Q的坐_2柯(4-2)(%2+1)+。2-2)(打+1)(x1+l)(x2+l)_2浅田/2-(勺+交)-旬xlx2÷(xl+x2)+121.（2022届房山开学考试,20）已知椭圆C:2仙吟4)/、心_.。斜率为I的直线与椭圆C交于M,N两点(M,N不与A重合)，直线AM,AN与x轴分别交于P,Q两点,证明：IAP=AQ.1+9=1解析由题意得TH，解得修二:所以c2=a2-b2=l,常二L一，所以椭圆C的标准方程为展1,离心率Cq=证明:设斜率为4的直线方程为弓x+m,M氏,y.),N(x2,y2),可得4x2+4mx+4m2-12=0,1y=2×+m»+¢=l所以X+x2=-m,XM=InJ3,所曲AM的方程为日爵x-1),又y弓x+m,所以T骂苧(xT),令y=0,得X=霜鬻，所以p(箱果°)，同理可得Q(箫果°)，设PQ的中点为G,所以点G的横坐标为4(:温?+等亲孙一(哥为+x2+2m-3)-m)(x2+2m-3)+(42-m)(U+2m-3)一(x1+2m-3)(x2+2m-3)2x/2+(m-3)(%i+x2)-2m(2m-3)%l42+(2m-3)(Xi+%2)+(2m-3)2J吟生皿皿)-2皿2吗)_磬;拦腔=又因为Am所以直线ag为线段PQ的垂直平分线，m2-3-m(2m-3)+(2m-3)z3mz-9m+6乙)所以IAPI=IAQ.22. (2022届江苏连云港期中,20)已知离心率为抽椭圆C:左学1(a>b>O)与直线x+2yY=0有且只有一个公共点求椭圆C的标准方程；(2)设过点P(0,-2)的动直线I与椭圆C相交于A,B两点,当坐标原点0位于以AB为直径的圆外时,求直线1的斜率的取值范围.解析因为e=,所以务即暮.则a当；所以椭圆方程为£+烹1,即3x2+4y2-4b-0,由匿威宜J"消y得/加no.22因为椭圆%+/=Ka>b>0)与直线x+2y-4=0有且只有一个公共点,故=4-4(4-b2)=0,则代3,所以C的标准方程为展L(2)由题意知过点P(O2)的动直线I的斜率存在且不为0,设A(XI,叉)”62,山)，直线1的方程为y=k-2,I2y2T+T=1消y得(3+4lx2-16kx+4=0,则=256k2-16(3+4k2)>0,即k片或k<-.y=kx-2,16k4X+X=7,XM=7，3+43+42所以yy2=(kx-2)(kx2-2)=kxx2-2k(x1+x2)+4='12c+H.3+4kz22因为坐标原点0位于以AB为直径的圆外,所以耐OB-XIX2+yy?-j12k+：212k+y)。,3+4k/3+43+4gp-23<k<.综上,直线1的斜率的取值范围为(竽,加&孥).23. (2022届长沙雅礼中学月考一,21)已知抛物线Cx2=16y的焦点为F,准线为I,椭圆E÷=l(a>b>0)的上焦点F倒1的距离为5,过E的直线1与E交于M,N两点,当MN"轴时，IMN=3.求椭圆E的方程；直线FM与X轴交于A点直线FN与X轴交于B点求证：F=FB._v22h2解析设FI(0,c),由题意知1:y=-4,所以c+4=5,解得c=l.在与-滔=1中,令y=c,得x=±0,因为M=3,所以孚=3,即b号又因为a2-b2=c2=l,联立解得=2,b=4所以椭圆E的方程为哥.证明：由题意及知F(0,4),F1(0,l),当L与y轴重合时,由题意知FAI=IFoI=IFBI;当L与y轴不重合时,设L的方程为y=kx+l,M(xby.),N(x2,y2),则x.0,x20,直线FA,FB的斜率之和为kFA+kfB=kFv+kr.=i,由y=kx1+lty2=k2+l,彳导跖+口产2,y1+'2)一2八3(：1：*2)将y=kx+l代入%至1，得(3k2+4)x2+6k-9=0,=36k2+36(3k2+4)=144k2+144>0,x+x2=,xx2=-2,3+43+418k则2k3¾x2k3%h42k-2k=Q>3k2+4从而k,故直线F,FB的倾斜角互补,所以OAF=OBF,因此FAI=IFBL综上，IFAl=IFBL