3．3 幂函数习题与解答.docx
第三章函数的概念与性质3. 3惠函数例证明幕函数/(x)=7是增函数.证明：函数定义域是0,+8).VXx20,+oo),且XlVS,有/(%)_/(工2)=喜一6(-V)(*s+)喜+嘉二"+后因X1-X2<0,亚+厄>0,所以/(%)</(£)，即累函数/(X)=6是增函数.练习1 .已知累函数y=K的图象过点(2,),试求出这个函数的解析式.【答案】y=J【解析】【分析】直接带点计算即可.【详解】由已知&二2"，得。=；，即y=1.2 .利用器函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：(-1.5)3,(-1.4)3；(2)J,-J-.-1.5-1.4【答案】(1)(1.5)3<(1.4)3；(2)-4->-4-.-1.5-1.4【解析】【分析】(1)根据/(x)=V的单调性比较大小；(2)根据g(x)=L在(7,0)上的单调性比较大小.X【详解】解：(1)设“幻=胸，则/(改在R上为增函数.v-1.5<-1.4,.(-1.5)3<(-1.4)3.(2)设g(设=一,则g(设在(-8,0)上为减函数,X1.5< 1.4 < 0,L5>L4【点睛】本题考查事函数的单调性的应用，属于基础题.3 .根据单调性和奇偶性的定义证明函数/(%)=/的单调性和奇偶性.【答案】证明见解析.【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义判断，利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可.【详解】证明：/a)=/的定义域为R任取石,WwR,且玉V/，则/()-/(%)=T-W=(X-XO储+内%+年)Z(丫3,=(Xl-X2)xx+-x2+-X2.X1,X2R,且X<工2，'X一42<0，(¾)-(¾)<o,即/&)</(£)./(x)=3在R上为增函数.又f(-x)=(-X)3=-X3=-f(x),/(X)=/为奇函数.【点睛】本题考查事函数的单调性及奇偶性的证明，属于基础题.习题3.3复习巩固4 .画出函数y=JR的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性.【答案】图像见解析，偶函数，讨论见解析【解析】【分析】将绝对值去掉，将函数解析式写出分段函数的形式，再根据事函数的性质及图象画出函数图象，从而可以判断函数的奇偶性和单调性.设f()=y=JTLfM的定义域为R.v(-x)=7Pi=7x=(x),.y=/(X)=JTi为偶函数.当XO,E)时，y=J7T为增函数，证明如下:设任意的X，WGO，+00)，且演V/，则y-%=向一洞=6-=占Xjx+yjx2VXrX2*+），且玉<¾,.5x.O,¾>0,喜+店>0,x-X2v,f<0即y<>2.y=yx在io,+）上为增函数.当x(-,0时，y=J7为减函数，证明如下:设任意的x,W£(-8,0,且芭/，则VXpX2（-,0,且XVX2,;.+>0,x2-x>°,必一%>0即y>>2.y=yx在(-,0上是减函数.【点睛】本题考查分段函数及零函数的图象及性质，属于中档题.综合运用5 .在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率打（单位：cls）与管道半径r（单位：Cm）的四次方成正比.（1）写出气体流量速率关于管道半径厂的函数解析式；（2）若气体在半径为3c机的管道中，流量速率为4（X）s,求该气体通过半径为的管道时，其流量速率y的表达式；（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm,计算该气体的流量速率（精确到Icwi3/5).【答案】(1)V=kr4；(2)V=/,4；(3)3086CM/sO1【解析】【分析】（1）设比例系数为火，由题意可得：V=Jlr4.（2）代入可得可（3）利用（2）的表达式即可得出.【详解】解：（I）设比例系数为3气体的流量速率妙关于管道半径一的函数解析（2）将r=3与y=400代入y=匕"中，有400=左x3,.解得k=,81所以，气体通过半径为厂的管道时，其流量速率V的表达式为U=当/O1（3）当r=5时，U=理x5,=生幽3086cvs.所以，当气体81通过的管8181道半径为5e时，该气体的流量速率约为3086c"/5.【点睛】本题考查了正比例函数的解析式及零函数其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.6 .试用描点法画出函数*）=-2的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证明.【答案】图像见解析，定义域：XXW0,值域：yy>0,讨论见解析，证明见解析【解析】【分析】函数/(x)=-2=J,可得XW0.可得定义域，X2>o,可得l>o,可得值域；在X求解奇偶性，并作出其大致图象，利用定义证明单调性即可;【详解】解：/(X)=4.X列表：X-3-2-1123/(X)£94114L9描点，连线.图象如图所示.定义域：w,值域：yly>J()=%”在(-qo,o)上是增函数,在(0,+)上是减函数.证明如下：设任意的大,%2e(-,°)，且n<则/(6H=N=+)DxI x2xix2.xi<x2<0,.x1+x2<0,xfx1>0,x2-X1>0.()-(¾)<0,即/()v/(W),.(X)=X-2在(-oo,0)上是增函数.设任意的X，/6(°,+00)，且XVX2，贝J()-/(w)=4一!=G+*'*-")JCyX?X>.O<x1<X2,.X2+X1>O,xfxl>0,X2-1>0/0)-/(W)>0,即/(x)>(w).f(x)=X2在(O,÷)上是减函数.f(-x)=(一幻-2=2=/(X)./（幻=k2是偶函数.【点睛】本题考查事函数的图象及性质，单调性的证明，属于中档题.
