专题1.1 巧用平方差公式+刘智勋.docx
1.1巧用平方差公式我们把公式(。+切(46)=/一拄称为乘法公式中的平方差公式；反过来b2=(+0)(-历称之为因式分 解中的平方差公式.在一定条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式恒等变形， 平方差公式是代数式恒等变形中的重要公式之一，它在数值运算、代数式的化简与求值、不定方程(组) 的解法、代数不等式的证明、一元二次方程的解法等方面 都有广泛的运用.例1已知712-l可被40至50之间的一个素数整除，这个素数是().A. 41 B. 43 C. 47 D. 49【解】用平方差公式作因式分解：7,2-l=(76+l)(76-l)=(72+l) (74-72+l) (73÷1) (73-l)=50(74- 72+1)(7+1)(72-7+1)(7-1)(72 +7+1)=43 48 50 57(7472+1),而 74-72+l=48 49+1 不能被 41, 49, 47整除，故答案选艮【注】 也可以用立方差公式分解761,如果先用立方差公式，那么761= (72-l)( 74 +72+l) = 48(74+ 72+l),而74+72+1的分解可以通过拆项完成，具体分解知下：74+72 ÷l=74+272+l-72=(72+l)2-72=(72+7÷l)(72-7+1).例2已知对任意大于2的正整数，w5-5"3 +4w都是正整数m的倍数，求in的最大值.【解】 n5 - 5w3÷ 4/=n(n45n2+4)=n(n2-4)(n2 1)=n(w-2)(n+2)(-l)(n+l).因为(-2乂+2乂 D5+1)是五个连续正整数的乘积，所以它是5!的倍数，又当=3时，原式= 120,故?的最大值是120.【注】这里用到了一个数论中的结论：连续的5个正整数的乘积是5!的倍数，事实上，连续的5个正 整数中必有1个5的倍数，2个2的倍数(其中一个为4的倍数)，1个3的倍数，顺便提一句，也可以利 用组合数公式来证明连续个正整数的乘积是！的倍数，这是因为由 C：=加(加- 1)(加二2)(_ +D 可知连续的正整数乘积,n(fn- -2)(m- +1) =,n!从而结论成立，(24+l)(44+104 +9)例3计算:24卢(I4 + +1)(54 +1)(74 +4 +7)24444【分析】由于括号内的每一个式子代数结构都相同，因此考虑用/+工来代替，再进行因式分解后找4出规律.解 因为 4+L = 4+2+L.2 =(2+L44 I 2)卡亲+ !'所以，原式=221.例4若。是非负整数，则"一3层+9是合数还是素数？【解】 由于3/+9=（/+3）2-（30尸=（2-3+3） （/+3+3）,下面对 白 讨论：当。=0时，原式=9,是一个合数；当= 1时，原式=7,是一个素数；当=2时，原式二13,是一个素数；当>2时，因/-3+3与/+3+3都是大于1的整数，故原式是一个合数.综上所述，当。=0或。>2时，/一3标+9是合数；当。=1或2时，/-3标+9是素数.【注】在将原式分解成d-3+3M*+3+3）后，不能轻易下结论说它就是个合数，因为要保证/一 3+3与标+3。+3都大于1才能是合数.通过运用平方差公式进行因式分解的训练，可以使我们的观察 能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力得到锻炼与提高，而在条件中能否找出或构造出a2b2的形式， 然后用平方差公式进行分解成为解题的关键.例5求证：若是正整数，则存在无穷多个正整数上使得4+是合数.【证明】 令4=4/ （。为正整数），则n4 + %=+42m2+444a2n2=（n2÷ 2a2）2（2an）2=（w2 ÷ 2an ÷ 2a2（n22an+2a1）.当时，n2+ 2“+22与224+2标都是大于1的正整数，因为有无穷多个，故存在无 穷多个%，使得/+k是合数，【注】 本题的关键在于构造&=4",这用到了本章节例题3的代数形式.例6 对于不超过50的正整数，满足：恰有一对非负整数（m b）,使得 a2-b2=n,试求满足条件的的数目.【解】 由于=（+历5一例，且+b与ab同奇偶，所以2（mod4）.当为奇素数时，仅有一对（©） = （等,4满足条件；当为奇合数时，不妨设 = y （7v>l, ，V为奇数），那么至少有2组非负整数解 （。力）=（等,?）或（笺，禄）不满足题意，因此奇数中满足题意的共有:1,3,5,7,11,13, 17, 19,23,29, 31,37,41,43,47 共计 15 个;（3）当4|时，如果巴为合数，至少有2组非负整数解，也不满足题意.因此偶数中满足条件的为4, 48, 12, 20, 28, 44 共 6 个.综上所述，一共有21个正整数满足题意.【注】本题如果一开始直接枚举容易产生错误，约束适当的范围再进行枚举是关键.例7试求关于“ 的不定方程源1 =P2（/1）的所有正整数解，其中为素数.【解】因为（闭一1）（机+1）=（层一1）,下面按照作分类讨论：若P为奇素数，则P2I 1或P2 I /?/+1.若p2|mL设6=即2+l伙为非负整数），则/=靖+24+1,但是A2VZ2+2攵+1 W（kp+ 1产从而Z=O,进而，=1;若p2+,设加二炉一1(%为正整数)，则"2 = Kp2-2攵+1,但是(kp 1 )2 V2p2-2k+1 <2p2矛盾！(2)若P为2,则2|加一1, 2m÷l,设毛=2左一1(左为正整数),那么/=碌- 1)+1=但是(我-1尸/一女+1W2,故2=1,进而m=1,由此可得=1综上所述，用=1【注】本题的因式分解体现了处理整除时候常见的转成两边均是乘积式的模式, 方数之间没有平方数这一个性质，通过不等式控制，实现了论证.练习1.1L计算：(1-p-1-)2 .已知：tz2-Z?2 =l + 2, b2-c2 =-42,求a4+/+04-22-2/-3 .证明：存在无穷多个完全平方数，它们无论对怎样的素数P及怎样的正整数、 的形式4 .证明：对每个正整数，均存在正整数加，使得：(1 += V/n + ym + 5 .试确定实数Q、仄C的值，使得对任何正整数，Vn = £Ndak3 +bk2 + 或 + 1 -Jl3 + blc1 + Ck并且利用了两个相邻平的值匕都不能表示成p+，产k=0练习1.1=04I4-I¾10062013 2 4 3 5 4 62010 2012=×-×-×-×-×-×-×-××X223344552011 20112 .因 为 a4 +/?4 +c4-crb2- -b2c2-c2a2 =(2-b2>f+(b2-c2 +(c2-a2,又 因为 a1-b2 = + 41,b2-c2 =1-0,两式相加得标一¢2=2,从而原式=g(+Jj2 +(l-2)2 +22 = 5从而 P= n + n = p3 .若p+"2=zw2,则由平方差公式可得（加一泊（? + &）=，由于P为质数，则必有2+l, m=nk+,又由于有无穷多对（闱，使得P不是质数，那么此时加=（"+1）2就不能表示成p+於 的形式。4 .由于G+y展开式可分成含无理因子j部分及不含五部分，故不妨设（+y=怎十%、历，那么" =Xc 两式相乘得2寸一片=（一1）用.由于当为奇数时，取机=片=2寸一1；当 为偶数时，取? = 2寸=片-1,则均可满足题意，从而命题得证5 .对于 A=O, 1, 2,，有(jk + 1-k j = (& + l"k +1 -3(/+ 3&JZ +1 -=(4 女 +1 )H 一(4女 + 3 解=J(4Z + 1)2(0 + 1) - J(4Z + 3)2j=J16A? +24/ +9Z + 1 - J16K + 2必2 +% ,所以+24&2 +% + 1 -716&3 +24/ +而= T-因此原等式右边=Z(Jm-«) = J =左边，即a=16, b=24, c=9 A=O
