习题课一 求数列的通项.docx

习题课一求数列的通项 课堂互动HiMI题型剖析I题型一利用累加、累乘法求数列的通项公式【例1】(1)数列厮满足 = l,对任意的N"都有+I=m+即+，求数列斯的通项 公式；(2)已知数列%满足°i=§,即+ =UT”，求斯.解(I)Tazj+ =“+1, '.an+an=n- 1,即。2=2, 3<=3,，an。”一=(22).等式两边同时相加得。一=2+3+4+÷m(m2),即。=。+ 2+3+4+= 1+2+3+4+=-2，22.又色=1也适合上式，；斯=(")，"WN二(2)由条件知智=七，分别令 =1, 2, 3,，- 1,代入上式得(一 1)个等式，累乘，a” H I !即空色乌.巫=:,烹X.曰 522).a a2 6 an- 2 3 4 n吟=M又%="”=套 62.又a=)也适合上式，斯=而，N*.规律方法(1)求形如为+|=%+</()的通项公式.将原来的递推公式转化为a,l+-a,l=fin)f再用累加法(逐差相加法)求解，即a,=a+(a2-a) +(a3-a2)lF(a“-0L)=m+yU)+(2)+y(3)Fj(n-1).(2)求形如an+=fin)a,t的通项公式.将原递推公式转化为况 =«)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由念=及1),且=/(2),， a”' 白2夫=加一1),累乘可得祟=yu(2)&一 1).【训练1】 数列“中，a=2, an+-an=2nf求册的通项公式.解 因为q=2, an+-an=2,t 所以做一a=2,6一“2=2?,久“3=2',，a,t-a,l- =2"T, 22,以上各式累加得，an-a1=2+22+23+2w,故诙=2)+2=2”,当 =1时，也符合上式，所以%=2”.题型二构造等差(比)数列求通项公式【例 2】在数列斯中，«i=1, 6anall i+a,-an-=0(n2, N*).证明：数列是等差数列；求数列%的通项公式.(2)已知数列%中,ai=2f an+i=2an-3f 求 小.(1)证明 由 6a,la,l-1 ÷w+ I = O,整理得十一一Lua"，2)，故数列J1是以3为首项，6为公差的等差数列. .LlIUHJ解 由可得;=3+(-l)X6=6-3, an所以 an=_y n N.(2)解 由 an+1 1a,3 得 an+3=2(。“一3),所以数列斯一3是首项为1-3 = -1,公比为2的等比数列，则卬-3=(1)2"T,即an = -2n, + 3.规律方法(1)课程标准对递推公式要求不高，故对递推公式的考查也比较简单，一般先构造 好等差(比)数列让学生证明，再在此基础上求出通项公式，故同学们不必在此处挖掘过深.(2)形如a“+i=*+q(其中p, q为常数,且pq(p 1)0)可用待定系数法求得通项公式，步 骤如下：第一步假设递推公式可改写为0f+=p(0f+l);第二步由待定系数法，解得尸告；P-I第三步写出数列卜”+尚)的通项公式；第四步写出数列斯的通项公式.【训练2】已知各项均为正数的数列瓦J的首项为1,且前项和S满足SE=低+小3(22).试求数列力“的通项公式.解&-&-1=低+("22),，(低+低)诋-低7=低+小工(心2).又低0,，低一3 = 1.又启=1, 数列(低是首项为1,公差为1的等差数列, S=1 ÷(w-l)×l=w,故 S=/.当 时，bn=SnSn-1=w2n1)2=2-1.当W=I时，b = 符合上式.*. b2n 1.题型三 利用前项和S”与斯的关系求通项公式 【例3】(1)已知数列4的前腹项和为a,若例=如一4, "N”，则即等于()A.2n+,B.2"C.2n ,D.2 2(2)已知数列%中，前项和为S”，且§=%上斯，则'的最大值为() 3(in-A.-3B.- 1C.3D.1解析(1)因为 Sf=2%-4,所以22 时，S-=2azl-1-4,两式相减可得 与-S-1 = 2%-fldn-» 即一整理得 an2c,I-1,所以 a-=2.因为 S =ci =2d 4,即 a =4, 所以数列%是首项为4,公比为2的等比数列，则%=4乂27=2"+1,故选A.(2)由 S”=一4”得，当22 时，Sn-I= -&T，两式作差可得：恁=S-Se= 手卬一中”，整理得詈=S=1+高，D3Cin- n 1 n 1由此可得，当=2时，4取得最大值，其最大值为3.1答案(I)A (2)C规律方法 已知*=/()或*=/()的解题步骤：第一步 利用S,满足条件P，写出当 22时，SLl的表达式；第二步 利用“=S“一SLIme2),求出或者转化为4的递推公式的形式；第三步 若求出22时的斯的通项公式，则根据R=Si求出a,并代入22时的伍“的 通项公式进行脸证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.如果求出的是“的递推 公式，则问题化归为例2形式的问题.【训练 3】 在数列“中，«i = l, ÷2a2÷3«3Fa=a“+i(EN'),求数列为的通项公式外.、 +1 /日解 由。+2。2+3的+0t+,得 当 22 时，÷2t72÷3t73÷÷( -两式作差得 nan=an+ 得(+即数列为从第二项起是公比为3的等比数列，且句=1, «2=U于是2做=2,故当22 时，nan=2×3n'2."N*.逐步落实j 1, =1, 于是a”=(2X3"-2-：-，心2,素养达成一、素养落地1 .通过学习数列通项公式的求法，提升数学运算与逻辑推理素养.2 .求数列通项的方法有：(1)公式法，(2)累加、累乘法，(3)构造法等，但总的思想是转化为特 殊的数列(般是等差或等比数列)求解.二、素养训练1 .数列1, 3, 6, 10, 15,的递推公式可能是()1 (=1)A 4n。+|+一1 (7n 22)1 (=1)B. =<n 斯-+ (zzN n2)fl (n=l)C.4Z =n "-+一】("N*,1 (=l)D. =V”n-÷7i÷ 1 (wN 22)解析由题意可得，«1 = 1,“2 =2,。3一。2 二 3,一。3二4,"5 - 44 = 5,22)故选B.1 (n=l)故数列的递推公式为七= 工，UZ lan+n (wN答案B2 .数列“中， = l,且 zf+ =z+2",则的=()B.1 023A.1 024D.511C.510解析 由题意可得an+-a,l=2nt 则。9=。1+(。2。1)+(的一。2)+(做一。8)= 1 +2l÷22+ +28=291=511.故选 D.答案D3 .已知数列%的各项均为正数，且%2=0,则斯=.解析 由肥一斯一(+1)=0,得“一(+1 )(%+)=0.又白>0,所以 a=+l.答案+14 .已知数列%中, = l,对于任意的22, nN*,都有切生的%=7，则须=.2解析 由。阕23得田。2药“-|=(1尸(22),所以为=(ZIr) 2(22),所以100内。一石.处案项口味815 .已知数列斯满足勾=1, %+二一*N>求数列斯的通项公式. 斯十L解由*=u得士 v+屋+1=<+1)又 0 = 1,所以;+1=2,所以数列5+是以2为首项，2为公比的等比数列，所以：+1=2X2t=2",所以 为=占.42 1巩固提高课后作业基础达标一、选择题1 .已知数列斯中，«i=2, j+i=,+2w（N*）,则 ©00的值是（）A.9 900B.9 902C.9 904D.11 000解析 0oo=（oo-。99）+（。9998）HFQ。【）+1=2（99+98H1-2÷ 1）÷299× （99÷1）=2 X 2÷2=9 902.答案B2 .已知数列斯中， = l,。“+I=Tf一,则这个数列的第项为() 1 1 JA.2w-IcTB.2"+lD2+l解析V an+1 =1+2%，a'-=2. an+ an?为等差数列，公差为2,首项十=1. J-= 1 +5 - 1)×2=2m- 1,._!_*a,2n-V 答案C3 .若数列%中，=3, ÷-=4（n>2）,则色的值为（）A.lB.2C.3D.4解析 ,*=3,'"+”=4,.*=%+2,即奇数项、 偶数项构成的数列均为常数列，又Z=3, 42 02i=3.答案CA.2C.4 .己知数列为的首项为0 = 1,且满足%+=%”+,则此数列的通项公式等于（）B.n(n÷l)n (+1)D.予解析； %+1=呼卜2",2"。+1=2"。+2,即 2"+%+-2%”=2.又 2% = 2,数列2%是以2为首项，2为公差的等差数列，2z=2+(w-1)×2=2, _n_ a - 2 1 答案C5 .已知数列,J的前项和为S”且勾=2, Sjl+ =4zt+2,则2=()A.2O 480B.49 152C.60 152D.89 150解析 由题意得S2 = 4tZ+2,所以+2 = 41+2,解得2 = 8,故。2 2。1=4,又卜2 = 5” +2-S+1 =4。“+14。“，于是 an+22an+ = 2(an+12a,t),因此数列%+-2。是以外-24=4 为首项，2为公比的等比数列，即*-2%=4X2"T=2叫于是荆一患=1,因此数列倒 是以1为首项，1为公差的等差数列，得赁=1+(-1)=，即4=m2".所以。2=12乂212= 49 152,故选 B.答案B二、填空题6 .在等比数列小中，3，例，。3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且。1，。2，中 的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818则数列恁的通项公式为.解析 当0=3时，不合题意；当白=2时，当且仅当。2=6, 6=18时，符合题意；当S = IO时，不合题意.因此。1=2,。2=6,的=18,所以公比g=3,故%=2X3",.答案 r=2X3"T+ 7 .在数列%中， = l, %+1=一即，则数列斯的通项公式斯=.解析当22时，卬=巫.况登竽必-l。”-2 a2n n3 2一二?工立，ET-小当 =1时，。1 = 1也符合此式，.all=n.答案8 .己知数列卬满足当生喏L甯=策N*),则mo=.匚 .In a In a2 In ay In an 3*解析. 3 . 6 . 9 .3=EgN),.In «i In a> In In an- 3 (- 1)，3 (LI) = -222),32'lna=Y(22)，3"2JOO a=e“_i(22), ao=e 3.100答案eT三、解答题9.设/(x)=IOg2%IogA(Oavl),数列%的通项斯满足42斯)=2，求数列“的通项公式. 解 'TM=Iog2X-logv4(0<r< 1),42巧=2n,log22"一log2“"4=2，由换底公式得1吗2“”一器头=2小即 all-=2n, /.W2ntzrt-2=0,解得 a”=n±vw2÷2.又 0<x<l, 0<2rt<l, .all<0t: %=nyr-2,；数列”的通项公式是a,l=n-yr-f-2.10 .设数列知的前项和为S”数列1的前项和为7；,满足T“=2&-2, zN*.求助的值；(2)求数列斯的通项公式.解(1)当 n= 时，T=2S-l,因为 T=S=,所以 = 2 1,所以 = l.(2)当 22 时，V=25w-(-l)2,则 Sn=Tn-Tn-I=2Sn225m- 1( 1 )2=2(5,tSn-1)2+1 = 2a 2+1,因为当=1时，0=S1 = 1也满足上式，所以 S”=2a“2?+当22 时，Srt-I=2t7o-2(n-1)÷ 1,一，得。“=2。-2%-l2,所以斯=2% +2S22),所以%+2=2(如+2),因为 a÷2=30,所以数列%+2是以3为首项，2为公比的等比数列，所以 0f+2=3X2"T,所以 =3X2"T-2.能力提升11 .已知数列。满足。1 = 1,。2=/，若。i+2a“+i) = 3a-a+i(22, zN+),则数列为 的通项公式知=.解析 由题意知 anan-+2anan+ = 3,LIan+1,.一!-=2©一六)dn+l %- 1即+1 an 6*m 67-11 1.数列1一W是首项为2,公比为2的等比数列， 。+1 l*n)一一9=2 X 27=2”.利用累加法， an+ a,l彳苗+(99+(U+(-汨=l+2+22+2"T,1 2n 1.1即匚=FT=21，6=彳口.答案12m-112.已知数列斯的前项和为S”，且满足6 = 1, 呜+i+DS产, nN*.(1)求数列斯的通项公式.(2)是否存在正整数匕使仅，S2jt, OU成等比数列？若存在，求女的值；若不存在，请说明理 由.解(1)法一 由 S7+1-(+1)s“=",ZH t+ _%_ 何 GTT一 r数列榭是首项为¥=i,公差为抽等差数歹LS ,111. n (zz+l)寸=1+5(-1)=/+1),s“=2 .n (+1)(- 1)当22 时，an=Sn-Sn-= 2 - 2 而i = l适合上式，.zt=.I (w÷ 1)法二由 nSn+1-(w÷ l)S,l =2，.rtn (+1)得 MStt+1 Sj-Sn=,n (+1) *. nan+Sn=z5.1 _,n (- 1)-当力2 时，(-1)如一SIT= 2 ',nn (+l) n (w 1)一，得 na,l-n-)an-an=-, ficin t 1 nan ， “+1 '- Clfi 1,，数列他是从第2项起的等差数列，且首项为他=2,公差为1, .*.h=2÷(i-2)× 1 =(22).而i = l适合上式，*cin=n.,n (w÷ 1)(2)由(1),知 ann, Sn-.假设存在正整数K使以，Slk,成等比数列，m, oaS2k (2+1) I2则 5it=*&u,即2J =匕4匕TA 为正整数，.(2k+1)2=4.得象+1=2 或 2Z+l = -2,13解得或2=一参与2为正整数矛盾.,.不存在正整数幺使四，S2,。软成等比数列.创新猜想13.(多选题)已知数列斯的前项和为S，a = , a2=2,且对于任意zN*,满足 i+S-i=2(5zj+1),则()A.g=17B.10=18C.S9=8lD.So=91解析 Y对于任意>1, nN*,满足 Se+Sli=2(S,+ 1), S“+1 - Sn S11 - S11-1 4-2» I Cll 2.数列“在22时是等差数列，公差为2.又 = l,但=2,8×79×8则 49=2+7X2= 16,0o=2+8X2= 18, S9=l+8X2+-X2=73, Sg= l+9×2+-X2 =91.故选 BD.答案BD14.(多空题)设Szt是数列。的前项和，且满足f+1=2即5”，且。>0,则Szt=,000 =解析 由Sf是数列%的前项和，且满足£+l=2aS”，则当 =1 时，l+l=215,即g=1；当22 时，(S-SI I)?+1=2(SJSl-I)S1,整理得 戌一 s3=.所以数列S：是以1为首项，1为公差的等差数列，则戌=.由于卬>0,所以Sf=5，故000 =5oo-S99=T-99= 10-3TT.答案,7 103MTI