习题课二 求数列的和.docx

习题课二求数列的和课堂互动Illlll题以剖析题型一分组分解求和【例1】已知正项等比数列%中，a+2=6, a3+a4=24.(1)求数列斯的通项公式；(2)数列儿满足bzt=log2即，求数歹Ua”+4的前n项和.解(1)设数列斯的公比为q(g>O),m+mg=6,a=21则 U 3 X解得 C sg+夕3=24,l=2,an=a-qnl=2×2ni=2n.(2=log22rt=w,设伍+瓦的前n项和为Sn, 则 S=(a + bi)+3+62)H卜 3"+bn)=Qi +做+ +。)+(6 +历+ +4) =(2+22+ +2w)+(l+2÷ ÷) 2义(2-1) /I (1+) =271+2=2" " - 2 ÷2zj2*2,规律方法1.若数列的的通项公式为c=a±b，且(斯, 九为等差或等比数列，可采用分 组求和法求数列0的前n项和.ant 为奇数，2.若数列c的通项公式为cn= t幺R乩其中数列斯,出“是等比数列或等差数列，为，为偶数，可采用分组求和法求GJ的前n项和.【训练1】 已知等差数列的前项和为S”，且0 = 1, S3+S4=S5.(1)求数列斯的通项公式；(2)令仇=(一1广1%,求数列仇的前2n项和T2tl.解(1)设等差数列斯的公差为d, 由 S3+S4=S5 可得 0+02+3=05,即 加2=5, >3(1+G= l+4d,解得 d=2, alt= 1 +(- 1)X2=2- 1.由(1)可得乩=(一 I)GX(2- 1),7=(l-3)+(57)+(4/3)(4- 1)=(2)n= 12n.题型二裂项相消法求和【例2】已知数列斯的前项和为S”满足S2=2, S4=I6, zt+l是等比数列.(1)求数列斯的通项公式；若斯0,设儿=log2(3小+3),求数列最的前项和.解(1)设等比数列斯+1的公比为9，其前项和为因为 S2=2, S4=I6,所以 7=4, C=20,易知9句，所以“=(0 + ：_；-产=4,由布得l+(72=5,解得夕=土2.I42" I当 q=2 时，a=y 所以知+1=§乂2厂|=一§一；当 q=-2 时，0 = 5,所以 为+1=(4)X(2)一| = 一(一2)"+1.2"+1所以。”=一§一一 1 或许=(2)"+-1.2+1因为 n>0,所以 an=-19 所以 bw=log2(3art+3)=n+1,诉回 1 _1_ I _ 1bbt+(+1) (+2)+1 +2'所以数列I的前n项和为2 +2 2 (+2) 规律方法(1)把数列的每一项拆成两项之差，求和时有些部分可以相互抵消，从而达到求和 的目的.常见的拆项公式：(.11_1(1 )n (+1) n +1；(ii)+1)=区2-12+1)：(W)g+何=gf (2)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止.(3)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.【训练2】 设S为等差数列m的前项和，已知S3=7,图-2的=3.求an;(2)设儿=J,求数列仇的前项和为解(1)设数列”的公差为乩3t7 + 3d= a ÷ 6d,由题意得(+7) -2 (s+2d) =3,解得 =3, d=2,.*.an=a-(- l)d=2"+ 1.,n (- 1)(2)由(1)得 Sn=na +d= n(n+2),：'bn=n (w+2) =2(«-«+2): Tn=b-b-卜瓦-1 + 瓦斗(IT)+(H)+(吉)+(H)40+H题型三错位相减法求和 【例3】 已知小是各项均为正数的等比数列，且m+2=6, 02=3(1)求数列斯的通项公式；瓦为各项非零的等差数列，其前项和为工,已知S2+=b也山，求数歹UeI的前项和解(1)设斯的公比为外由题意知：m(l+g)=6, t=炉，又。”>0,解得：=2, q=2,所以。=2".(2)由题意知：52rt+ =(2"+1)(加+岳”+)=(2+1)瓦+1，又 S2n+l=bnbtt+, b”+WO,所以6=2+L 人 bn l 2+1 令 Cn=-9 则 Cn= On ，“力乙2n , 2w+1_3-2因此 Tn=C-C2Fcn 2 ,又如=+*+*H两式相减得如=擀+小+册)_当F3I-S 2w÷._/+1 1 2m+i,-2_5_2n±52 _ 2+'，2/1 + 5所以 Tn=5-.规律方法1.一般地，如果数列”是等差数列，e是等比数列，求数列斯/的前项和 时，可采用错位相减法.2.用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.在写出“SJ与"qSl''的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出 “S一qSj的表达式.【训练3】 已知数列为的通项公式为在等差数列九中，bn>0,且加+岳+庆 =15»又出+加,汲+岳,内+例成等比数列.(1)求数列伍疝的通项公式；(2)求数列面的前n项和Tn.解(l)*an=3rt 1, *ci 1,。2=3, s=9.Y在等差数列(九中，"+历+加=15,3岳=15,则岳=5.设等差数列儿的公差为乩又出+",政+/，的+必成等比数列， .(l+5-)(9+5+J)=64,解得"=-10 或 d=2.V,>0, .d=-10 应舍去，:d=2, b =3» * bn=2 +1.故斯瓦=(2腹+l)3"-, N*.(2)由(1)知 7,=3× 1 +5×3+7×32+(27- l)3n2+(2rz+ l)3,r,35=3X3+5X32+7X33+ (2-1)3"-1 + (2+1)3“，一，得-27,=3× l+2×3+2×32+2×33+-+2×3rt ,-(2zz+1)3h= 3+2(3+32+33+3n,)-(2z+l)3n33= 3+2 XyTTy(2+1)3"=3一(2+1)3=一2分3.：.Tn=n 3 "N'.素养达成逐步落实一、素养落地L通过学习数列求和的方法，提升数学运算和逻辑推理素养.2.求数列的前项和，一般有下列几种方法.(1)错位相减适用于一个等差数列和个等比数列对应项相乘构成的数列求和.(2)分组求和把一个数列分成几个可以直接求和的数列.(3)裂项相消有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.(4)奇偶并项当数列通项中出现(一1)”或(一1)+1时，常常需要对取值的奇偶性进行分类讨论.(5)倒序相加例如，等差数列前项和公式的推导方法.二、素养训练1.数歹J2% 4, 6心，的前项和S,为()A.m2÷1+TB.w2+2-C.w(w÷ 1)÷-+7D.w(÷ l)÷+7解析 S,=(2+4+6+ 2)+(；+t+声)1=工=n(w+1)+-7答案C2.等比数列斯中，«5=2, 46=5,则数列lg%的前10项和等于()A.6B.5C.4D.3解析数列诙是等比数列,«5 = 2, 46 = 5, 0。10 =。2。9 =。3«8 = 47 =。5。6= 10, * Ig m + lg aFlg 0o=lg(m20o)=lg(056)5=51g 10=5. 故选B. 答案B3数歹) (zj2H)的前2 020项和为.解析因为-75-=2七一制,所以 S2o2o=2 -2 + 2-3 +2 020 2 021=2。-忐)=揣.答案4 0402 0214.已知数列斯=n 1, 为奇数, “为偶数，则 SK)O=解析由题意得Sloo = l+sHFt799÷=(3+©+的+"'+499)+(42+4+.+000)= (0÷2+4+÷98)+(2÷4+6÷ + 100) =5 000.答案5 0005.在数列0z中， = l, +=20÷2, N*.设小=券,证明：数列(6)是等差数列: (2)在(1)的条件下求数列j的前n项和Sn.证明 由已知。”+|=2斯+2",得瓦十产筌=当¥=%+1=+1.* b+1 bn= 1, 又=4 = L与是首项为1,公差为1的等差数列.(2)解 由(1)知，btt=, 2'I=力=.an=2rt,.Sm=1+2×2,÷3×22+w×2mi,两边同时乘以2得2S,产 1X2+2X2?+ 5-l)2L+“2",两式相减得一 S"=l+2+2?+2 T 一 2"=2n-1 -2=(l -n)2n-1,Sm=(-1)×2m+1.三、审题答题示范(一)数列求和问题【典型示例】(12分)已知数列z,的前项和为S，且满足=4, 2SJ=的+' , nN.(1)求数列斯的通项公式；(2)若取出数列中的部分项。2，。6，。22，依次组成一个等比数列C“,若数列力满足On = %的”求证：数列的前项和/ J.联想解题看到，想到=SS(“22),利用S与的关系结合定义法或等差中项法证明数列优 为等差数列并求通项公式.看到，想到利用错位相减法求数列出的前项和北，从而得到。的取值范围，即可证明 北|.满分示范(1)解 数列小的前项和为s，且 2S“=a"+，WN*,当=1 时，2"=m + l,则 = l.当22时，斯=SfSf7，an+1= Sn+1-S”.2 分由一得，S”+12Sw÷5zj-= an+ 一斯, (+1) (w+1)(-1) (,-+1)所以2-n(an-1)+2=斯+1 %，(1) tz+÷ (-1) an-所以2=(- 1)斯,即也学口=小，所以数列。为等差数列.5分又m = l,且s=4,整理得。“=3-2.6分证明由s=4,俏=16,解得c=4",所以加=(3-2)X*8分则 7L=lX(+4X*+(3-2)X色，上.= 1X%+4X/HH3-2)X, 9 分由一得,3÷*÷-(3w-2)X+T=2 4h+, , 解得 刀尸？_3X4"2分满分心得(1)利用数列的递推公式求通项公式主要应用构造法，即构造出等差、等比数列，或可应用累 加、累乘求解的形式.(2)利用错位相减法求数列的和最容易出现运算错误，运算时要注意作差后所得各项的符号， 所得等比数列的项数.(3)与数列的和有关的不等式证明问题，一般是先求和及其范围，再证明不等式.课后作业巩固提高基础达标一、选择题1.己知数列斯的通项斯=2+1, N由己=生+侬+宁+十四所确定的数列阿的前 项的和是()A.”("+2)B.；(+4)C.g"("+5)D.J"("+7)解析 V÷t72H-n-2(2n+4)=w2+2w.,f d -< n (+5)* bn = fl + 2, ； b”的刖项和 Sn=2-答案C2数列2X5' 5×8, 8×11,(3-1)义(3? + 2)'的前”项和为()A7Bt73十26十4C-D %+4u+2解析由数列通项公式(3w-l) (3w+2)3w-l-3w+2/得前项和S尸/一1+1上+:一=+一壶)=晶一5)=鼎.答案B1-2+H1+JHF +2÷4 -5 原式=+2+a”4-+21 期+2-S=2n-g+-+)=2 u-Z=2il(l=2(11 1 +1)=20+在.答案B4.已知函数"t)=j3(xR),若等比数列0满足 0a2o21 = l，则y(0)+Aa2)+7(a3)HF2O2) = ()的值为()A.18÷9B.2O÷2oC.22÷2TTD.l8÷20解析 设 an= I +HFFT+ +y(S02i)=2 021.故选 A. 答案A5 .定义4:4_为个正数m，P2,，p”的“均倒数” 若已知数列斯的前项的“均 Pl十曲十十P”倒数”为不±7,又儿=色妙，则士+£+-+=()3+1O bbz 勘2。3 WioA-LB 也a11b,11c 9CllcToDT2解析 由题意得一I-=TTTT ,所以 “ I + S HF a”=(3 +1)=3"+,记数列a.Cl I Cl2 * ee* I cl 3 1的前项和为Sn,则* = 3"+.当ZZ=I时，0=S1=4;当心2时，如=S“一Sr7=3 + I f一3(-1)2+(-1)=6-2.经检验m=4也符合此式，所以小=6-2,WN*,则bli=籍-,所以晒+丽+.Oo= X2+2×3T(T-+(H191而=而故选C.答案C二、填空题 解析。产扁+5=后-521 +5数列m的前n项和S”=9,则n=故 Sn=y2-1 +小一班+ SI=n+ - 1 =9.解得=99.答案997 .在数列%中,已知 S=l一5+9 13+1721 +( I)E(4一3), "N",则 S5+S22 $31的值是.解析 S5= - 4X7+05=28+57 = 29,S22=-4× 11 = -44,S31 = -4×15÷3i = -60+121=61,S15+S22S3=294461 = -76.答案一768 .己知数列知的前n项和为Snf且满足S=2a一 15N*),则数列皿的前n项和&为解析.3=24l15N*),n = 1 时，a=2a -1,解得 a = l, “22 时，an=SnSn-=2an 1-(2- 1)» 化为 an =2z,数列小是首项为1,公比为2的等比数列，aw=2n,.*. nall=n2nl.则数列小的前 n 项和 7；=1+2×2+3×22+-+zz2,.27,=2+2×22+(n-l)×2,+22n,12m-7:,= l+2+22+-÷2,1-w2n=-py-H2n=(l-)2n-l,7;=(n-I)2+1.答案(rt-l)2n+l三、解答题9.已知函数()=2x-3 1,点(，斯)在_/(>)的图象上，数列伍的前项和为S“，求S”.解 由题意得斯=2"-3- 1,S"=+s+”=(2+22+2")-3(l+2+3 + +")一"2 (l-2) n (h+1)=1-2 3, -2-一+ 1 n (3+5) =2w+,-5-2.10.已知等差数列%中,2a2+3+a5=20,且前10项和SO=I00.(1)求数列斯的通项公式；(2)若"=一，求数列仍的前项和. QMj+ I2。2+。3+。5=4。1 +8d=20,解(1)由已知得，10 +10×9d= 10m+45d= 100,41= 1d=2,所以数列”的通项公式为Cill= 1 + 2(- 1)=2- L Q)3 (2-1) 1 (2+1)=区2-12+1)所以能力提升IL已知等差数列小中,佻+的=出+7, o=19,则数列dcosm的前2020项和为()A.l 009C.2 019B.l OlOD.2 02024+6d=a+3d+7,a=,解得彳 *an=2n-. +9d=19,d=2tT bn=ancos n1 1b+岳=cos 兀+2c0s 2=2, b3+b4=03cos 3兀+4c0s 4=2, ,*.数列mcos 的前 2 020 项和 S2 020=Si+坊)+(+公)HF (62 oi9+岳 O2o)=2 X ?产=2 020.故选 D.答案D12 .已知数列斯满足内=1, an+= 2an+(为常数).(1)试探究数列*+2是不是等比数列，并求an当2=1时,求数歹U(如+2)的前n项和Tn. 解(1)因为%+1=2小+九所以。”+1+/=2(m+2). 又 = 1,所以当i=-1时，0+2=0,数列斯+火不是等比数列，此时。”+2=斯-1=0,即。=1；当 2N-1 时，d1÷0t 所以 Gf+/IW0,所以数列期+2是以1+2为首项，2为公比的等比数列，此时册+2=(1+4)2"，即 n=(l÷2)2w,-由知 an=2n-lf 所以 (an+l)=2n, =2+2×22+3×23+i2, 2=22+2×23+3×24+n2rt+l,2 (1 -2n) 一得：-A=2 + 22 + 23+ 2""2"+1=-2f,+ ,=2n+l-2-n2n+l = (l-n)2n+1-2.所以 Tn=(n-)2n+l+2.创新猜想13 .(多空题)设等差数列小满足42 = 5, 46 + 4 = 30,则斯=,数列错误!的前项 和为.解析 设等差数列小的公差为d.m是等差数列，%+。8=30=2S，解得S=15, s 一。2=54.又 2=5,则 d=2.=2÷(-2)J=2÷ 1.错误!=错误！错误!错误！，错误!的前项和为K-2÷H÷÷i-)=M)=4 (n+l) ,答案2+14 (+1)14.(多空题)设数列4的前项和为S”，已知s = l, 2S=(l§即,"=(T)"(log3%)2, 则an=,数列儿的前2n项和为.由一可得(1 一/)3 1解析 根据题意，数列m满足2S,=(->“+，则当22时，有2S=(l一册),13n)=0,所以 a+|3%=0,即 4 1=3小(22).由 2S”= art+,可求得“2=3, a2=3,则数列斯是首项为1,公比为3的等比数列，所以斯=3"-1瓦=(一 D"Qog刈A=(1 产Qog33")2=(-l)(n-I)2,则 b2n-b2n=-(2n-2)2+(2n-l)2M ( + 43 )=4-3.所以数列瓦的前 2 项和 7rt= 1+5+9+-+(4/7-3)=:一=2n1-n.答案 3 I 2rr-n2 021A.2 021B.5C.2D,解析,/ 函数4X)=j金(Xe R)，贝x)+0=7+一方=7+*7=2.数列为为等比数列,且Ois021 = 1,*«12 021=。2。2 020=。342 019=2 02IaI = L/(0)+/(。2 021)=2)÷2 O2)=3)÷A2 019)=(a2 021)+.*。1) = 2,；/(。1)+./(。2)+/(。3)