充分条件与必要条件知识点.docx

充分条件与必要条件知识点充分条件与必要条件是高中数学的重要概念,因其抽象而成为学生难于理解的内容,下面是高一数学充分条件与必要条件的知识点.（一）充分条件、必要条件和充要条件1 .充分条件：如果A成立，那么B成立，即AnB,则条件A是B成立的充分条件；2 .必要条件：如果A成立，那么B成立，即AnB,这时B是A的必然结果，则条件B是A成立的必要条件；3 .充要条件：如果有事物情况A,则必然有事物情况B；如果没有事物情况A,则必然没有事物情况B,A就是B的充分必要条件,简称充要条件.简单地说，满足A,必然B；不满足A,必然不B,则A是B的充分必要条件；反之，如果有事物情况B,则必然有事物情况A；如果没有事物情况B,则必然没有事物情况A,B就是A的充分必要条件,简称充要条件.简单地说，满足B,必然A；不满足B,必然不A,则B是A的充分必要条件.即A可以推导出B,且B也可以推导出A.或者说，如果A既是B成立的充分条件，又是B成立的必要条件，即AoB,则A是B成立的充要条件；同时B也是A成立的充要条件.（二）充分条件、必要条件与充要条件的判断命题“若，则”，其条件与结论之间的逻辑关系如下，其中符号“n”叫做推出，符号“会”叫做推不出或叫做不能推出，符号“o”叫做互相推出.1 .若AnB且B弃A成立，则A是B成立的充分条件，B是A成立的必要条件；2 .若AnB且B=>成立，则A是B成立的充分且不必要条件，B是A成立必要且非充分条件;3 .若A=母B且BnA成立，则B是A成立的充分条件，A是B成立的必要条件；4 .若A=B且B=A成立，即A=B成立，则A、B互为充要条件.证明A是B的充要条件，分两步：充分性：把A当作已知条件，结合命题的前提条件推出B；必要性：把B当作己知条件，结合命题的前提条件推出A.5 .若A弃B且B=M>A成立，则A是B的既不充分也不必要条件.6 .若B=e>A且A=e>B成立，则B是A的既不充分也不必要条件.即：由条件能推出结论，但由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件；能由结论推出条件，但由条件推不出结论；此条件为必要条件；既能由结论推出条件，又能有条件推出结论，此条件为充要条件；由条件推不出结论，由结论推不出这个条件，这个条件就是即不充分也不必要条件;充分条件、必要条件的常用判断法L定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断BnA或者AnB是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可.2 .转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断.3集合法在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B,则:若AGB,则P是q的充分条件,q是P的必要条件；若A3B,则P是q的必要条件，q是P的充分条件；iA=B,则P是q的充要条件；若A不包含于B,且B不包含于A,则P是q的既不充分也不必要条件.从集合与集合间的关系看，若p：,q：xB.若AqB,则P是q的充分条件，q是P的必要条件；若A是B的真子集，则P是q的充分不必要条件；若A=B,则p、q互为充要条件；若A不是B的子集且B不是A的子集，则P是q的既不充分也不必要条件.4 .充分必要条件的常见集合表示：设A、B是两个集合.如果A是B的充分条件，那么满足A的必然满足B,表示为AqB；如果A是B的必要条件，那么满足B的必然满足A,表示为BgA,或A33；如果A是B的充分不必要条件，那么A是B的真子集；如果A是B的必要不充分条件，那么B是A的真子集；如果A是B的充分必要条件，那么A、B等价，表示为A=B.5 .充分条件与必要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：确定哪是条件，哪是结论；尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件，最后判断条件是结论的什么条件.充分条件与必要条件的内涵.1 .充分条件:指根据提供的现有条件可以直接判断事物的运行发展结果.充分条件是事物运行发展的必然性条件，体现必然性的内涵.如母亲与女儿的关系属于亲情关系吗？答案是必然属于.2 .必要性条件:事物的运行发展有其规律性，必要性条件是指一些外在或内在的条件符合该事物的运行规律的要求，但不能推动事物规律的最终运行.如亲情关系与母女关系，亲情关系符合母女关系的一种现象表达，但不能推出亲情关系属于母女关系.题型解释充分条件与必要条件相关知识例1：（I）A"三角形三条边相等”；B二“三角形三个角相等”；（2）A“某人触犯了刑律”；B二”应当依照刑法对他处以刑罚”；（3）A“付了足够的钱"；B二“能买到商店里的东西”.解：A都是B的充分必要条件：其一，A必然导致B；其二，A是B发生必需的.例2：（I）A.天下雨了，B.地面一定湿；（2）A.地面一定湿,B.天下雨了解：天下雨地面一定湿，但是地面湿不一定是下雨造成的，即A=B且B=e>A成立，所以A是B充分条件；（2）天下雨地面一定湿，但是地面湿不一定是下雨造成的，即A=B>B且BnA成立，以B是A必要条件；例3：已知P:xi,X2是方程x>5-6=O的两根，Q:Xi+x2=-5,则P是Q的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：.,X2是方程x2+5x-6=0的两根，,Xi,X2的值分别为1,-6,1Xi+x2=1-6=-5,故选A.例4：P是Q的充要条件的是（）A.P:3x+2>5,Q：-2x-3>-5B.P:a>2,b<2,Q:a>bC. P:四边形的两条对角线互相垂直平分，Q:四边形是正方形D. PraO,Q:关于X的方程ax=l有唯解解：对于A,P:3x+2>5=>x>l,Ql2x-3>-5=>xV1,P推不出Q,Q推不出P,P是Q既不充分也不必要条件；对于B,P:a>2,b<2zz>Q:a>b；但Q推不出P,故P是Q的充分不必要条件；对于C,若“两条对角线互相垂直平分”成立今“四边形是正方形"；反之，若“四边形是正方形”成立n“两条对角线互相垂直平分”成立，故P是Q的必要条件；对于D,P:a¥0QQ:关于X的方程ax=l有唯一解，故P是Q的充分必要条件；故选D.例5：若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：TA是B的充分条件，,A=B，YD是C成立的必要条件，,CnD，C<z>B，由得AnC，由得A=D,D是A成立的必要条件，故选B.例6：设命题甲为：0<x<5,命题乙为：-2V3,那么甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：解不等式|x-2V3,得TVxV5,0VxV5,-l<x<5,但TVxV5,0VxV5,二甲是乙的充分不必要条件，故选A.说明：一般情况下，如果条件甲为xA,条件乙为xB.当且仅当A=B时，甲为乙的充要条件.例7：给出下列各组条件：（l）P：ab=O,Q:a2+b2=0；P:xy2O,Q:x+y=x+y|；（3）P:m>0,Q：方程2-x-iTFO有实根；（4）P:IXTl>2,Q:x<-1.其中P是Q的充要条件的有（）A.1组B.2组C.3组D.4组解：（DP是Q的必要条件；（2）P是Q充要条件；（3）P是Q的充分条件；（4）P是Q的必要条件，故选A.