午练12 解析几何+函数与导数.docx

午练12解析几何+函数与导数【题目1】已知椭圆C，+:=1(*。>0)的离心率为义且以椭圆上的点和长轴两端点为顶点的三角形的面积的最大值为23.(1)求椭圆C的标准方程；(2)经过定点Q(z,0)(加>2)的直线/交椭圆C于不同的两点M,N,点M关于X轴的对称点为试证明：直线MW与X轴的交点S为一个定点，且IOQOSl=4(。为坐标原点).解由e=5=:,得=2c.CXJ2又层=82+。2=护+(3,则小=2A由题意知，/2。=2小，联立得=2,b=y3.椭圆C的标准方程为Y+?=i.(2)证明由题意知直线/的斜率一定存在，设直线/的方程为y=的一m),M(1,y),Mx2,”)，M,(x,>,i),S(nf0).y=k(x-m),由,罢+_j消去中得(3+4F)X28B+4Q*-12=0,3由4>0得(4一加2*+3>0,即工时，M,N一定存在，.8k%Alcnv-12加+%2=4F+3,X'X2=4lc+3,当斜率ZWO时，由必，N,S共线，知如5=麻s,则二1xnX2f即y(x n) +y 1S-)=0,.*.k(X2m)(x)÷(x-w)(2)=0,.mn4'43+3=0,化简得2X2X1(+机)(x+xz)+2=0,4即mn=4fn=-in；七,。)，且OQOS=m,=4.当斜率k=0时，直线MW与X轴重合，满足结论.综上，直线MW与X轴的交点S为一个定点牌，0),且IOQ卜QSl=4.【题目2】已知函数yU)=3x)e、一l,xR.求函数yu)的单调区间及极值；(2)设g(x)=(-r)2+°n-7),当=l时，存在(-8,+),x2(0,+°o),使方程yu)=g(2)成立，求实数小的最小值.解(1)由y(x)=(-x)CA1,得F(X)=31x)e:令F(X)=0,则(a1x)ex=0,*.x=a>当x(-8,。-1)时，/()>0;当x(-l,+8)时，/(x)<0,所以7U)的单调递增区间为(-8,«-1),单调递减区间为31,+8),所以当X=。-1时，函数氏0有极大值且为凭7l)=e"I1,7U)没有极小值.(2)当。=1时，由(1)知，函数7U)在X=Q-I=O处有最大值五0)=91=0,又因为g(x)=(-f)2+(ln-f)20,所以要使方程兀=g(M)有解，必然存在X2(0,+),使g(X2)=0,/77所以X2=r,且lnx2=7,等价于方程InX=?有解，即m=xlnx在(0,+8)上有解.1己a(x)=jdnx,x(0,÷o°),贝IJhf(x)=nx+l,令"(x)=0,得X=：，当(o,§时，"()<O,单调递减，当('+8)时，l,()>O,(X)单调递增,所以当X='J，(x)min=一；,CC所以实数m的最小值为一